常用対数｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (3) 指数関数・対数関数ア (ウ)「対数の意味とその基本的な性質について理解し，簡単な対数の計算をすること」。

0. どういうまとまりか

底が 10 の対数 $lo g_{10} M$ を常用対数といいます。私たちは数を 10 進法で書くので、10 を底にすると
「その数が何桁か」「小数第何位から始まるか」が、常用対数の整数部分にそのまま表れます。
$lo g_{10} 2$ と $lo g_{10} 3$ の近似値さえ覚えておけば、対数とその性質を使って多くの数の常用対数が出せます。

知りたいこと	条件	常用対数で言うと
正の数 $N$ が整数部分 $n$ 桁	$1 0^{n - 1} ≦ N < 1 0^{n}$	$n - 1 ≦ lo g_{10} N < n$
小数第 $n$ 位に初めて 0 でない数字	$1 0^{- n} ≦ N < 1 0^{- n + 1}$	$- n ≦ lo g_{10} N < - n + 1$
最高位の数字	整数部分を除いた残り（小数部分）	$lo g_{10} 1$ 〜 $lo g_{10} 9$ のどの間にあるか

分かれ目は次の 3 つ。

桁数は「整数部分 + 1」。 $lo g_{10} N = 15.05$ なら 16 桁で、15 桁ではない
小数は、負の対数を「負の整数 + 0 以上 1 未満」に分けて読む。 $lo g_{10} N = - 6.02$ は $- 7 + 0.98$ なので小数第 7 位
最高位の数字は、小数部分を $lo g_{10} 2$ 、 $lo g_{10} 3$ 、… と比べて決める

1. 常用対数とその値

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

2 と 3 の常用対数の近似値から、10 を使って 5 の常用対数も出せます。これで 1 から 10 までの整数のうち 7 以外の常用対数がそろいます。

常用対数とは何か？

底が 10 の対数 $lo g_{10} M$

$lo g_{10} 10 = 1$ 、 $lo g_{10} 100 = 2$ 、 $lo g_{10} 0.01 = - 2$ 。10 進法の位取りと結びつくので、桁数を調べるのに使う。

$lo g_{10} 2$ と $lo g_{10} 3$ の近似値は？（小数第 4 位まで）

$lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$

問題文で与えられることが多いが、覚えておくと見通しが立つ。 $lo g_{10} 4 ≒ 0.6020$ 、 $lo g_{10} 6 ≒ 0.7781$ はこの 2 つから出る。

$lo g_{10} 5$ は、 $lo g_{10} 2$ を使ってどう求めるか？

$lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - lo g_{10} 2$ で、 $lo g_{10} 5 ≒ 0.6990$

5 は $\frac{10}{2}$ として 10 と 2 で表す。

$N = a \times 1 0^{n}$ （ $1 ≦ a < 10$ 、 $n$ は整数）のとき、 $lo g_{10} N$ はどう表せるか？

$lo g_{10} N = n + lo g_{10} a$ （ $0 ≦ lo g_{10} a < 1$ ）

整数部分 $n$ が位取り（桁）を、小数部分 $lo g_{10} a$ が数字の並びを表す。 $lo g_{10} 3000 = 3 + lo g_{10} 3$ 。

2. 桁数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

$n$ 桁の正の整数は、 $1 0^{n - 1}$ 以上 $1 0^{n}$ 未満です。両辺の常用対数をとれば、桁数が常用対数の整数部分で決まります。

正の数 $N$ の整数部分が $n$ 桁であることを、常用対数で表すと？

$n - 1 ≦ lo g_{10} N < n$

$1 0^{n - 1} ≦ N < 1 0^{n}$ の各辺の常用対数をとったもの。3 桁の数は $100 ≦ N < 1000$ 、つまり $2 ≦ lo g_{10} N < 3$ 。

$2^{50}$ は何桁の整数か？（ $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ ）

16 桁

$lo g_{10} 2^{50} = 50 lo g_{10} 2$ で、 $50 \times 0.3010 = 15.05$ 。 $15 ≦ lo g_{10} 2^{50} < 16$ なので $1 0^{15} ≦ 2^{50} < 1 0^{16}$ 。整数部分 15 に 1 を足す。

$3^{30}$ は何桁の整数か？（ $lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$ ）

15 桁

$30 \times 0.4771 = 14.313$ なので $14 ≦ lo g_{10} 3^{30} < 15$ 。

3. 小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

1 より小さい正の数は常用対数が負になります。 $0.001$ 台（小数第 3 位に初めて 0 でない数字）は $1 0^{- 3}$ 以上 $1 0^{- 2}$ 未満です。

正の数 $N$ が小数第 $n$ 位に初めて 0 でない数字が現れる数であることを、常用対数で表すと？

$- n ≦ lo g_{10} N < - n + 1$

$1 0^{- n} ≦ N < 1 0^{- n + 1}$ の常用対数をとったもの。 $0.00314$ なら $- 3 ≦ lo g_{10} N < - 2$ で小数第 3 位。

$(\frac{1}{2})^{20}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか？（ $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ ）

小数第 7 位

$lo g_{10} (\frac{1}{2})^{20} = - 20 lo g_{10} 2$ で、 $- 20 \times 0.3010 = - 6.02$ 。 $- 7 ≦ - 6.02 < - 6$ なので $1 0^{- 7} ≦ (\frac{1}{2})^{20} < 1 0^{- 6}$ 。 $- 6$ と読んで第 6 位としないこと。

4. 最高位の数字

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

桁数を決めた整数部分を除くと、残った小数部分が「先頭の数字」を決めます。

$lo g_{10} N$ の小数部分から、 $N$ の最高位の数字をどう決めるか？

小数部分が $lo g_{10} k ≦ (小数部分) < lo g_{10} (k + 1)$ となる整数 $k$ （1〜9）が最高位の数字

$lo g_{10} N = n + α$ （ $0 ≦ α < 1$ ）なら $N = 1 0^{α} \times 1 0^{n}$ で、 $1 0^{α}$ の整数部分が最高位の数字。

$2^{50}$ の最高位の数字は？（ $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ ）

$lo g_{10} 2^{50} ≒ 15.05$ の小数部分は $0.05$ 。 $lo g_{10} 1 < 0.05 < lo g_{10} 2$ なので、 $2^{50}$ は $1 \times 1 0^{15}$ と $2 \times 1 0^{15}$ の間にある。

練習問題

問 1　 $6^{20}$ は何桁の整数か。また、最高位の数字を求めよ。ただし $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$ とする。

16 桁、最高位の数字は 3

方針　 $6^{20}$ を実際に計算するのは無理なので、常用対数 $lo g_{10} 6^{20}$ を求める。その整数部分が桁数を、小数部分が最高位の数字を決める。 $6 = 2 \times 3$ なので、 $lo g_{10} 6$ は与えられた 2 つの値の和で出せる。

$6 = 2 \times 3$ なので、 $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3$ 。値は $0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ から、 $lo g_{10} 6 ≒ 0.7781$
指数 20 を前に出す。 $lo g_{10} 6^{20} = 20 lo g_{10} 6$ で、 $20 \times 0.7781 = 15.562$ から、 $lo g_{10} 6^{20} ≒ 15.562$
$15 ≦ lo g_{10} 6^{20} < 16$ なので、 $1 0^{15} ≦ 6^{20} < 1 0^{16}$ 。 $1 0^{15}$ は 16 桁の数なので、 $6^{20}$ は 16 桁
小数部分は $15.562 - 15 = 0.562$ 。これを 1〜9 の常用対数と比べる
$lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$ 、 $lo g_{10} 4 = 2 lo g_{10} 2$ で $2 \times 0.3010 = 0.6020$ から $lo g_{10} 4 ≒ 0.6020$
$0.4771 < 0.562 < 0.6020$ なので、 $3 \times 1 0^{15} < 6^{20} < 4 \times 1 0^{15}$ 。最高位の数字は 3

ここで間違えやすい　桁数は整数部分 15 そのものではなく、1 を足した 16。

問 2　 $5^{30}$ は何桁の整数か。また、最高位の数字を求めよ。ただし $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$ とする。

21 桁、最高位の数字は 9

方針　常用対数 $lo g_{10} 5^{30}$ を求め、整数部分から桁数を、小数部分から最高位の数字を読む。 $lo g_{10} 5$ は与えられていないので、 $5 = \frac{10}{2}$ として $lo g_{10} 2$ から作る。

$5 = \frac{10}{2}$ なので、 $lo g_{10} 5 = lo g_{10} 10 - lo g_{10} 2 = 1 - lo g_{10} 2$ 。値は $1 - 0.3010 = 0.6990$ から、 $lo g_{10} 5 ≒ 0.6990$
指数 30 を前に出す。 $lo g_{10} 5^{30} = 30 lo g_{10} 5$ で、 $30 \times 0.6990 = 20.97$ から、 $lo g_{10} 5^{30} ≒ 20.97$
$20 ≦ lo g_{10} 5^{30} < 21$ なので、 $1 0^{20} ≦ 5^{30} < 1 0^{21}$ 。 $1 0^{20}$ は 21 桁の数なので、 $5^{30}$ は 21 桁
小数部分は $20.97 - 20 = 0.97$ 。1 に近いので、大きい数字の常用対数と比べる
$9 = 3^{2}$ なので $lo g_{10} 9 = 2 lo g_{10} 3$ で、 $2 \times 0.4771 = 0.9542$ から $lo g_{10} 9 ≒ 0.9542$ 。また $lo g_{10} 10 = 1$
$0.9542 < 0.97 < 1$ なので、 $9 \times 1 0^{20} < 5^{30} < 10 \times 1 0^{20}$ 。最高位の数字は 9

ここで間違えやすい　 $lo g_{10} 8 = 3 lo g_{10} 2$ は $3 \times 0.3010 = 0.9030$ で、 $0.97$ はこれより大きい。ここで止めて 8 としないで、9 の常用対数まで確かめる。

問 3　 $(\frac{1}{3})^{20}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか。ただし $lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$ とする。

小数第 10 位

方針　1 より小さい数は常用対数が負になる。 $lo g_{10} (\frac{1}{3})^{20}$ を求め、それがどの連続する 2 つの整数の間にあるかを見れば、 $1 0^{- n}$ 以上 $1 0^{- n + 1}$ 未満の $n$ が決まる。

$\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ なので、 $(\frac{1}{3})^{20} = 3^{- 20}$
指数 $- 20$ を前に出す。 $lo g_{10} (\frac{1}{3})^{20} = lo g_{10} 3^{- 20} = - 20 lo g_{10} 3$
値は $- 20 \times 0.4771 = - 9.542$ から、 $lo g_{10} (\frac{1}{3})^{20} ≒ - 9.542$
$- 9.542$ は $- 10$ と $- 9$ の間にあるので、 $- 10 ≦ lo g_{10} (\frac{1}{3})^{20} < - 9$
指数の形に戻すと、 $1 0^{- 10} ≦ (\frac{1}{3})^{20} < 1 0^{- 9}$
$1 0^{- 10}$ は小数第 10 位に初めて 1 が現れる数、 $1 0^{- 9}$ は小数第 9 位に初めて 1 が現れる数。その間にあるので、小数第 10 位に初めて 0 でない数字が現れる

ここで間違えやすい　 $- 9.542$ の「9」を読んで小数第 9 位としないこと。負の数は $- 9.542 = - 10 + 0.458$ と「負の整数 + 0 以上 1 未満」に分けて、 $- 10$ のほうを読む。

問 4　 $2^{n}$ が 10 桁の整数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。ただし $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ とする。

$n = 30, 31, 32, 33$

方針　「10 桁の整数」を不等式 $1 0^{9} ≦ 2^{n} < 1 0^{10}$ で書く。各辺の常用対数をとれば、 $n$ が指数から係数に下りてきて、 $n$ の一次不等式になる。

10 桁の整数は $1 0^{9}$ 以上 $1 0^{10}$ 未満なので、 $1 0^{9} ≦ 2^{n} < 1 0^{10}$
各辺の常用対数をとる（底 10 は 1 より大きいので向きはそのまま）。 $9 ≦ lo g_{10} 2^{n} < 10$
指数 $n$ を前に出して $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ を入れると、 $9 ≦ 0.3010 n < 10$
各辺を $0.3010$ で割る。 $\frac{9}{0.3010} ≒ 29.9$ 、 $\frac{10}{0.3010} ≒ 33.2$ なので、 $29.9 ≦ n < 33.2$
この範囲の自然数は、 $n = 30, 31, 32, 33$

確かめ: $0.3010 \times 30 = 9.03$ 、 $0.3010 \times 33 = 9.933$ はどちらも 9 以上 10 未満。その外側の $0.3010 \times 29 = 8.729$ と $0.3010 \times 34 = 10.234$ は範囲を外れる。

ここで間違えやすい　10 桁の条件は $9 ≦ lo g_{10} 2^{n} < 10$ で、 $10 ≦ lo g_{10} 2^{n} < 11$ ではない（ $n$ 桁は整数部分が $n - 1$ ）。

問 5　 $1. 5^{n} > 100$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし $lo g_{10} 2 ≒ 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 ≒ 0.4771$ とする。

$n = 12$

方針　求めたい $n$ が指数にあるので、両辺の常用対数をとって $n$ を係数に下ろす。 $1.5 = \frac{3}{2}$ なので、 $lo g_{10} 1.5$ は与えられた 2 つの値の差で出せる。

$1.5 = \frac{3}{2}$ なので、 $lo g_{10} 1.5 = lo g_{10} 3 - lo g_{10} 2$ 。値は $0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ から、 $lo g_{10} 1.5 ≒ 0.1761$
両辺の常用対数をとる（底 10 は 1 より大きいので向きはそのまま）。 $lo g_{10} 1. 5^{n} > lo g_{10} 100$
左辺は指数 $n$ を前に出して $n lo g_{10} 1.5$ 、右辺は $100 = 1 0^{2}$ なので 2。値を入れると、 $0.1761 n > 2$
両辺を正の数 $0.1761$ で割る。 $\frac{2}{0.1761} ≒ 11.36$ なので、 $n > 11.36$
これを満たす最小の自然数は、 $n = 12$

確かめ: $0.1761 \times 11 = 1.9371$ は 2 より小さく、 $0.1761 \times 12 = 2.1132$ は 2 より大きい。

ここで間違えやすい　 $11.36$ を四捨五入して 11 としないこと。 $n > 11.36$ なので、11 では足りず、切り上げた 12 が答え。