対数関数｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (3) 指数関数・対数関数ア (エ)「対数関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。

0. どういうまとまりか

$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ のとき、 $y = lo g_{a} x$ を $a$ を底とする対数関数といいます。
$y = lo g_{a} x$ は $x = a^{y}$ と同じことなので、指数関数 $y = a^{x}$ の $x$ と $y$ を入れかえた関数です。
そのためグラフは $y = a^{x}$ のグラフと直線 $y = x$ に関して対称になり、増減の分かれ目も指数関数と同じく底で決まります。

	$a > 1$	$0 < a < 1$
増減	増加	減少
共通	定義域は $x > 0$ ・点 $(1, 0)$ を通る・y 軸が漸近線	同左
大小（ $p > 0$ 、 $q > 0$ ）	$p < q ⟺ lo g_{a} p < lo g_{a} q$	$p < q ⟺ lo g_{a} p > lo g_{a} q$

分かれ目は次の 3 つ。

定義域は $x > 0$ 。方程式・不等式では、真数条件を先に書いてから解き、最後に照らし合わせる
底が 1 より小さいと、真数の大小と対数の大小が逆。不等式では不等号の向きが変わる
大小比較は底をそろえ、数（2 や $\frac{3}{2}$ など）も同じ底の対数で書く

1. 対数関数のグラフ

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(エ)

指数関数 $y = a^{x}$ が点 $(0, 1)$ を通り x 軸を漸近線にもつことを、 $x$ と $y$ を入れかえて読みかえると、対数関数の性質になります。

対数関数 $y = lo g_{a} x$ のグラフと、指数関数 $y = a^{x}$ のグラフは、どんな位置関係にあるか？

直線 $y = x$ に関して対称

$y = lo g_{a} x$ は $x = a^{y}$ と同じで、 $y = a^{x}$ の $x$ と $y$ を入れかえたものだから。

対数関数 $y = lo g_{a} x$ の定義域と値域は？

定義域は $x > 0$ （正の実数全体）、値域は実数全体

指数関数 $y = a^{x}$ の定義域（実数全体）と値域（ $y > 0$ ）が入れかわっている。

$y = lo g_{a} x$ のグラフが、底によらず必ず通る点と、漸近線は？

点 $(1, 0)$ を通り、y 軸が漸近線

$lo g_{a} 1 = 0$ だから。点 $(a, 1)$ も通る。

$y = lo g_{a} x$ は、 $a > 1$ と $0 < a < 1$ で増減がどう違うか？

$a > 1$ なら増加関数、 $0 < a < 1$ なら減少関数

$y = lo g_{2} x$ は右上がり、 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ は右下がり。 $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ なので、2 つのグラフは x 軸に関して対称。

2. 大小比較

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(エ)

底が同じなら、真数の大小を比べれば済みます。底が 1 より小さいときは向きが逆になります。

$0 < p < q$ のとき、 $lo g_{a} p$ と $lo g_{a} q$ の大小は？（ $a > 1$ のときと $0 < a < 1$ のとき）

$a > 1$ なら $lo g_{a} p < lo g_{a} q$ 、 $0 < a < 1$ なら $lo g_{a} p > lo g_{a} q$

$lo g_{\frac{1}{2}} 3 > lo g_{\frac{1}{2}} 5$ のように、底が 1 より小さいと真数の大きいほうが小さくなる。

$lo g_{2} 5$ 、 $2$ 、 $lo g_{4} 20$ の大小はどう比べるか？

底を 2 にそろえ、2 も $lo g_{2} 4$ と書いて真数を比べる

$lo g_{4} 20 = \frac{l o g _{2} 20}{l o g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 20 = lo g_{2} 20$ 。 $4 < 20 < 5$ なので $2 < lo g_{4} 20 < lo g_{2} 5$ 。

3. 対数方程式・対数不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(エ)

対数関数は増加か減少のどちらかなので、 $lo g_{a} p = lo g_{a} q$ なら $p = q$ です。ただし真数は正でなければならないので、変形の前に真数条件を書いておきます。

対数方程式・対数不等式を解くとき、最初に何をするか？

真数条件（真数がすべて正）を書き出す

$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} M N$ とまとめると、 $M > 0$ かつ $N > 0$ の条件が式から消えてしまう。最後にこの条件で解をしぼる。

$lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) = 3$ を解くと、なぜ解が 1 つになるか？

$(x - 1) (x + 1) = 8$ から $x = \pm 3$ が出るが、真数条件 $x > 1$ で $x = - 3$ は捨てるから

答えは $x = 3$ 。まとめたあとの $lo g_{2} (x^{2} - 1)$ だけを見ると、 $x = - 3$ でも真数が正になってしまう。

対数不等式 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) > - 1$ を解くとき、何に注意するか？

真数条件 $x > 2$ を先に書き、底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さいので不等号の向きを変える

$- 1 = lo g_{\frac{1}{2}} 2$ なので $x - 2 < 2$ 。真数条件と合わせて $2 < x < 4$ 。

$(lo g_{2} x)^{2} - 2 lo g_{2} x - 3 = 0$ のような方程式は、どう解くか？

$t = lo g_{2} x$ と置いて $t$ の二次方程式にする

$t^{2} - 2 t - 3 = 0$ から $t = 3, - 1$ 。 $lo g_{2} x = 3$ から $x = 8$ 、 $lo g_{2} x = - 1$ から $x = \frac{1}{2}$ 。 $t$ は実数全体をとるので、指数の置きかえのような $t > 0$ の制限はない。

練習問題

問 1　 $lo g_{3} 5$ 、 $lo g_{9} 30$ 、 $\frac{3}{2}$ を小さい順に並べよ。

$lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} < lo g_{9} 30$

方針　底が 3 と 9 で違い、 $\frac{3}{2}$ は対数ですらないので、このままでは比べられない。底を 3 にそろえ、 $\frac{3}{2}$ も底 3 の対数で書いて、真数どうしを比べる。底 3 は 1 より大きいから、真数が大きいほど対数も大きい。

$lo g_{9} 30$ の底を 3 にする。 $lo g_{3} 9 = 2$ なので、 $lo g_{9} 30 = \frac{l o g _{3} 30}{l o g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 30$
係数 $\frac{1}{2}$ を真数の指数に戻す。 $\frac{1}{2} lo g_{3} 30 = lo g_{3} 3 0^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 30$
$\frac{3}{2}$ を底 3 の対数で書く。 $\frac{3}{2} = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}}$ で、 $3^{\frac{3}{2}} = 3^{3} = 27$ なので、 $\frac{3}{2} = lo g_{3} 27$
$lo g_{3} 5$ も真数を根号でそろえる。 $5 = 25$ なので、 $lo g_{3} 5 = lo g_{3} 25$
真数を比べると、 $25 < 27 < 30$
底 3 は 1 より大きいので、真数の大小がそのまま対数の大小になり、 $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} < lo g_{9} 30$

問 2　方程式 $lo g_{3} (x + 2) + lo g_{3} (x - 4) = 3$ を解け。

$x = 7$

方針　まず真数条件を書く。次に、左辺を 1 つの対数にまとめ、右辺の 3 も底 3 の対数で書いて、真数どうしを等しいと置く。出てきた解は、最後に真数条件でしぼる。

真数条件は $x + 2 > 0$ かつ $x - 4 > 0$ 。 $x > - 2$ かつ $x > 4$ なので、 $x > 4$
左辺の和を真数の積にまとめる。 $lo g_{3} (x + 2) + lo g_{3} (x - 4) = lo g_{3} (x + 2) (x - 4)$
右辺を底 3 の対数で書く。 $3 = lo g_{3} 3^{3} = lo g_{3} 27$
$lo g_{3} (x + 2) (x - 4) = lo g_{3} 27$ から真数を比べて、 $(x + 2) (x - 4) = 27$
左辺を展開すると $x^{2} - 2 x - 8 = 27$ 。27 を移項して、 $x^{2} - 2 x - 35 = 0$
因数分解して、 $(x - 7) (x + 5) = 0$ から $x = 7, - 5$
真数条件 $x > 4$ を満たすのは、 $x = 7$

ここで間違えやすい　 $x = - 5$ は $(x + 2) (x - 4) = 27$ を満たすが、もとの式に入れると真数が $- 3$ と $- 9$ で負になる。まとめたあとの式だけを見ると気づけないので、真数条件はまとめる前に書いておく。

問 3　不等式 $lo g_{\frac{1}{3}} (2 x - 1) ≧ - 2$ を解け。

$\frac{1}{2} < x ≦ 5$

方針　まず真数条件を書く。次に、右辺の $- 2$ を底 $\frac{1}{3}$ の対数で書いて、真数どうしを比べる。底 $\frac{1}{3}$ は 1 より小さい（減少関数）ので、真数を比べるときに不等号の向きが変わる。

真数条件は $2 x - 1 > 0$ 。 $2 x > 1$ から、 $x > \frac{1}{2}$
$- 2$ を底 $\frac{1}{3}$ の対数で書く。 $(\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2} = 9$ なので、 $- 2 = lo g_{\frac{1}{3}} 9$
不等式は $lo g_{\frac{1}{3}} (2 x - 1) ≧ lo g_{\frac{1}{3}} 9$ になる
底 $\frac{1}{3}$ は 1 より小さいので、不等号の向きを変えて真数を比べる。 $2 x - 1 ≦ 9$
$- 1$ を移項して $2 x ≦ 10$ 。両辺を 2 で割って、 $x ≦ 5$
真数条件 $x > \frac{1}{2}$ と合わせて、 $\frac{1}{2} < x ≦ 5$

ここで間違えやすい　向きをそのままにして $2 x - 1 ≧ 9$ としないこと。また、真数条件のほうには等号が付かない（ $x = \frac{1}{2}$ では真数が 0 になる）。

問 4　不等式 $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) < 3$ を解け。

$2 < x < 4$

方針　まず真数条件を書く。次に、左辺を 1 つの対数にまとめ、右辺の 3 も底 2 の対数で書いて、真数どうしを比べる。底 2 は 1 より大きいので、不等号の向きはそのまま。最後に真数条件と合わせる。

真数条件は $x > 0$ かつ $x - 2 > 0$ 。 $x > 0$ かつ $x > 2$ なので、 $x > 2$
左辺の和を真数の積にまとめる。 $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = lo g_{2} x (x - 2)$
右辺を底 2 の対数で書く。 $3 = lo g_{2} 2^{3} = lo g_{2} 8$
$lo g_{2} x (x - 2) < lo g_{2} 8$ で、底 2 は 1 より大きいので、向きはそのままで $x (x - 2) < 8$
左辺を展開して 8 を移項すると、 $x^{2} - 2 x - 8 < 0$
因数分解して、 $(x + 2) (x - 4) < 0$ から $- 2 < x < 4$
真数条件 $x > 2$ と合わせて、 $2 < x < 4$

ここで間違えやすい　6 の $- 2 < x < 4$ をそのまま答えにしないこと。 $- 2 < x ≦ 2$ の部分は、もとの式の真数が正にならない。

問 5　方程式 $(lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{2} - 3 = 0$ を解け。

$x = 8, \frac{1}{2}$

方針　 $lo g_{2} x^{2}$ を $2 lo g_{2} x$ に直すと、式全体が $lo g_{2} x$ の二次式になる。 $t = lo g_{2} x$ と置いて $t$ の二次方程式を解き、 $t$ から $x$ に戻す。

真数条件は $x > 0$ かつ $x^{2} > 0$ 。合わせて、 $x > 0$
$x > 0$ のとき、真数の指数を係数として前に出せる。 $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$
$t = lo g_{2} x$ と置くと、方程式は $t^{2} - 2 t - 3 = 0$
因数分解して、 $(t - 3) (t + 1) = 0$ から $t = 3, - 1$
$t = 3$ のとき、 $lo g_{2} x = 3$ から $x = 2^{3} = 8$
$t = - 1$ のとき、 $lo g_{2} x = - 1$ から $x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$
どちらも真数条件 $x > 0$ を満たすので、 $x = 8, \frac{1}{2}$

ここで間違えやすい　 $(lo g_{2} x)^{2}$ と $lo g_{2} x^{2}$ は別のもの。前者は対数の値を 2 乗したもので、指数を前に出せるのは後者だけ。また、 $t = lo g_{2} x$ は負の値もとるので、 $t = - 1$ を捨てない（指数の置きかえ $t = 2^{x}$ の $t > 0$ とは違う）。

問 6　 $1 ≦ x ≦ 16$ のとき、関数 $y = (lo g_{2} x)^{2} - 4 lo g_{2} x + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

最大値 5（ $x = 1, 16$ のとき）、最小値 1（ $x = 4$ のとき）

方針　式全体が $lo g_{2} x$ の二次式なので、 $t = lo g_{2} x$ と置くと $y$ は $t$ の二次関数になる。 $x$ の範囲を $t$ の範囲に直してから、平方完成して頂点と両端の値を比べる。

$t = lo g_{2} x$ と置くと、 $y = t^{2} - 4 t + 5$
$t$ の範囲を求める。底 2 は 1 より大きいので、 $1 ≦ x ≦ 16$ から $lo g_{2} 1 ≦ lo g_{2} x ≦ lo g_{2} 16$ 、つまり $0 ≦ t ≦ 4$
平方完成する。 $y = (t^{2} - 4 t + 4) + 1 = (t - 2)^{2} + 1$
軸 $t = 2$ は範囲 $0 ≦ t ≦ 4$ に入っているので、 $t = 2$ で最小値 1 をとる。このとき $lo g_{2} x = 2$ から $x = 2^{2} = 4$
最大値は両端のどちらかでとる。 $t = 0$ のとき $y = (0 - 2)^{2} + 1 = 5$ 、 $t = 4$ のとき $y = (4 - 2)^{2} + 1 = 5$
両端で同じ値なので、どちらでも最大値 5 をとる。 $t = 0$ は $x = 2^{0} = 1$ 、 $t = 4$ は $x = 2^{4} = 16$

ここで間違えやすい　軸 $t = 2$ が範囲 $0 ≦ t ≦ 4$ のちょうど真ん中にあるので、両端の値が等しくなる。最大値をとる $x$ は 1 つではなく、 $x = 1$ と $x = 16$ の両方を答える。