対数とその性質｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (3) 指数関数・対数関数ア (ウ)「対数の意味とその基本的な性質について理解し，簡単な対数の計算をすること」。

0. どういうまとまりか

$2^{x} = 8$ の解は $x = 3$ とすぐ分かりますが、 $2^{x} = 5$ の解は、これまでの記号では書けません。
そこで「 $a$ を何乗すれば $M$ になるか」という数を $lo g_{a} M$ と書き、 $a$ を底とする $M$ の対数と呼びます。
対数は指数の言いかえなので、性質はすべて指数法則から出てきます。

指数で書くと	対数で書くと
$a^{p} = M$	$p = lo g_{a} M$
$a^{r} a^{s} = a^{r + s}$	$lo g_{a} M N = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
$a^{r} \div a^{s} = a^{r - s}$	$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
$(a^{r})^{k} = a^{r k}$	$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$

分かれ目は次の 3 つ。

底は $a > 0, a \neq = 1$ 、真数は $M > 0$ 。この条件の外では対数を考えない
積は和に、商は差に、累乗は係数になる。和の対数 $lo g_{a} (M + N)$ は分けられない
底が違う対数は、底の変換公式でそろえてから計算する

1. 対数の定義

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ のとき、どんな正の数 $M$ に対しても $a^{p} = M$ となる実数 $p$ がただ 1 つ決まります。この $p$ が $lo g_{a} M$ です。

対数 $lo g_{a} M$ とは何か？指数を使って言いかえると？

$a$ を何乗すれば $M$ になるか、を表す数。 $a^{p} = M ⟺ p = lo g_{a} M$

$a$ を底、 $M$ を真数という。 $2^{3} = 8$ だから $lo g_{2} 8 = 3$ 。

$lo g_{a} M$ の底 $a$ と真数 $M$ の条件は？

底は $a > 0$ かつ $a \neq = 1$ 、真数は $M > 0$

$a^{p}$ は正の値しかとらないので、真数は正でなければならない。この条件（真数条件）は方程式・不等式を解くときに必ず最初に書く。

$lo g_{3} \frac{1}{9}$ 、 $lo g_{4} 2$ 、 $lo g_{10} 0.001$ の値は？

$- 2$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $- 3$

$3^{- 2} = \frac{1}{9}$ 、 $4^{\frac{1}{2}} = 2$ 、 $1 0^{- 3} = 0.001$ 。「底を何乗すれば真数になるか」を考える。

$lo g_{a} 1$ と $lo g_{a} a$ の値は？

$lo g_{a} 1 = 0$ 、 $lo g_{a} a = 1$

$a^{0} = 1$ 、 $a^{1} = a$ だから。さらに $lo g_{a} a^{p} = p$ 、 $a^{l o g_{a} M} = M$ も定義からすぐ出る。

2. 対数の性質

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

$M = a^{r}$ 、 $N = a^{s}$ と置けば、指数法則 $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ がそのまま対数の性質になります。

$lo g_{a} M N$ と $lo g_{a} \frac{M}{N}$ は、どう分けられるか？（ $M > 0$ 、 $N > 0$ ）

$lo g_{a} M N = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ 、 $lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$

積の対数は対数の和、商の対数は対数の差。指数法則 $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ 、 $a^{r} \div a^{s} = a^{r - s}$ の言いかえ。

$lo g_{a} M^{k}$ は、どう書きかえられるか？

$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$

真数の指数は、対数の前に係数として出せる。 $lo g_{2} 8 = \frac{1}{2} lo g_{2} 8 = \frac{3}{2}$ 。

$lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ は正しいか？

正しくない

和になるのは積の対数 $lo g_{a} M N$ 。和の対数 $lo g_{a} (M + N)$ は、そのままでは分けられない。

$lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9$ と $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3$ の値は？

$lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 = lo g_{6} 36 = 2$ 、 $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 8 = 3$

和は真数の積に、差は真数の商にまとめてから値を出す。

3. 底の変換公式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ウ)

底が違う対数どうしは、そのままでは性質が使えません。どれか 1 つの底にそろえます。

底の変換公式とは？

$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ は正の数、 $a \neq = 1$ 、 $c \neq = 1$ ）

$lo g_{a} b = p$ とすると $a^{p} = b$ 。両辺の $c$ を底とする対数をとると $p lo g_{c} a = lo g_{c} b$ になる。

$lo g_{4} 8$ を、底を 2 にそろえて計算すると？

$\frac{3}{2}$

$lo g_{4} 8 = \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ 。

$lo g_{a} b$ と $lo g_{b} a$ の関係は？また $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4$ の値は？

$lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$ 。 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 = 2$

底の変換公式で $c = b$ とすると $lo g_{a} b = \frac{l o g _{b} b}{l o g _{b} a} = \frac{1}{l o g _{b} a}$ 。 $lo g_{3} 4 = \frac{l o g _{2} 4}{l o g _{2} 3}$ なので、掛けると $lo g_{2} 4 = 2$ 。

底が 10 の対数 $lo g_{10} M$ を何というか？

常用対数

大きな数の桁数や、小さな数が小数第何位から始まるかを調べるのに使う。

練習問題

問 1　 $lo g_{3} 18 + lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4$ を計算せよ。

方針　 $lo g_{3} 18$ などは 1 つずつでは値が出ない。底がすべて 3 で同じなので、和は真数の積に、差は真数の商にまとめて 1 つの対数にする。

和を真数の積にまとめる。 $lo g_{3} 18 + lo g_{3} 6 = lo g_{3} (18 \times 6)$
差を真数の商にまとめる。 $lo g_{3} (18 \times 6) - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{18 \times 6}{4}$
真数を計算すると、 $\frac{18 \times 6}{4} = \frac{108}{4} = 27$
$27 = 3^{3}$ なので、 $lo g_{3} 27 = 3$

問 2　 $2 lo g_{5} 10 - lo g_{5} 4$ を計算せよ。

方針　係数の 2 が付いたままでは、差を商にまとめられない。 $k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}$ で係数を真数の指数に戻してから、差を真数の商にまとめる。

係数 2 を真数の指数に戻す。 $2 lo g_{5} 10 = lo g_{5} 1 0^{2} = lo g_{5} 100$
差を真数の商にまとめる。 $lo g_{5} 100 - lo g_{5} 4 = lo g_{5} \frac{100}{4}$
真数を計算すると $\frac{100}{4} = 25$ なので、 $lo g_{5} 25$
$25 = 5^{2}$ なので、 $lo g_{5} 25 = 2$

問 3　 $lo g_{2} 8$ の値を求めよ。

方針　底が $2$ のままでは「何乗すれば 8 になるか」が見えにくい。底も真数も 2 の累乗なので、底の変換公式で底を 2 にそろえる。

底の変換公式で底を 2 にする。 $lo g_{2} 8 = \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 2}$
分子は $8 = 2^{3}$ なので、 $lo g_{2} 8 = 3$
分母は $2 = 2^{\frac{1}{2}}$ なので、 $lo g_{2} 2 = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$ で割るのは 2 を掛けるのと同じなので、 $\frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$

確かめ: $(2)^{6} = (2^{\frac{1}{2}})^{6} = 2^{3} = 8$ で、たしかに $2$ を 6 乗すると 8 になる。

問 4　 $(lo g_{2} 9 + lo g_{4} 3) lo g_{3} 2$ を計算せよ。

$\frac{5}{2}$

方針　底が 2・4・3 とばらばらなので、このままでは対数の性質が使えない。底の変換公式で全部の底を 2 にそろえ、 $lo g_{2} 3$ だけで表す。最後に $lo g_{2} 3$ が約分されて消える。

$9 = 3^{2}$ なので、 $lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$
$lo g_{4} 3$ の底を 2 にする。 $lo g_{2} 4 = 2$ なので、 $lo g_{4} 3 = \frac{l o g _{2} 3}{l o g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 3$
かっこの中を足す。 $2 lo g_{2} 3 + \frac{1}{2} lo g_{2} 3 = (2 + \frac{1}{2}) lo g_{2} 3 = \frac{5}{2} lo g_{2} 3$
$lo g_{3} 2$ の底を 2 にする。 $lo g_{2} 2 = 1$ なので、 $lo g_{3} 2 = \frac{l o g _{2} 2}{l o g _{2} 3} = \frac{1}{l o g _{2} 3}$
3 と 4 を掛けると $lo g_{2} 3$ が約分されて、 $\frac{5}{2} lo g_{2} 3 \times \frac{1}{l o g _{2} 3} = \frac{5}{2}$

問 5　 $lo g_{10} 2 = a$ 、 $lo g_{10} 3 = b$ とするとき、 $lo g_{10} 12$ と $lo g_{10} 15$ を $a$ 、 $b$ で表せ。

$lo g_{10} 12 = 2 a + b$ 、 $lo g_{10} 15 = 1 - a + b$

方針　真数を 2・3・10 の積や商で表せば、対数の性質で $lo g_{10} 2 = a$ 、 $lo g_{10} 3 = b$ 、 $lo g_{10} 10 = 1$ に分けられる。5 は 2 と 3 の積では作れないので、 $\frac{10}{2}$ として 10 と 2 で表す。

12 を素因数分解する。 $12 = 2^{2} \times 3$
積の対数を和に分ける。 $lo g_{10} 12 = lo g_{10} 2^{2} + lo g_{10} 3$
指数を係数として前に出す。 $lo g_{10} 12 = 2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 2 a + b$
15 は $15 = 3 \times 5$ で、 $5 = \frac{10}{2}$ なので、 $15 = \frac{10 \times 3}{2}$
積は和に、商は差に分ける。 $lo g_{10} 15 = lo g_{10} 10 + lo g_{10} 3 - lo g_{10} 2$
$lo g_{10} 10 = 1$ なので、 $lo g_{10} 15 = 1 + b - a = 1 - a + b$

ここで間違えやすい　 $lo g_{10} 5$ は $a$ と $b$ の足し算・掛け算では作れない。5 を見たら $\frac{10}{2}$ として、 $lo g_{10} 5 = 1 - a$ とするのが定石。