指数関数｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (3) 指数関数・対数関数ア (イ)「指数関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。

0. どういうまとまりか

$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ のとき、 $y = a^{x}$ を $a$ を底とする指数関数といいます。
指数の拡張と指数法則で指数を有理数まで広げました。無理数の指数も同じように定められる（高校では直観的に認める）ので、 $x$ はどんな実数でもとれます。
グラフの形は、底 $a$ が 1 より大きいか小さいかの 2 通りしかありません。

	$a > 1$	$0 < a < 1$
増減	増加（ $x$ が大きいほど $y$ も大きい）	減少（ $x$ が大きいほど $y$ は小さい）
共通	点 $(0, 1)$ を通る・値域は $y > 0$ ・x 軸が漸近線	同左
大小	$p < q ⟺ a^{p} < a^{q}$	$p < q ⟺ a^{p} > a^{q}$

分かれ目は次の 3 つ。

底が 1 より大きいか小さいかで、大小の向きが入れかわる。不等式では底が 1 より小さいと不等号の向きが変わる
大小比較・方程式・不等式は、まず底をそろえる
$t = 2^{x}$ などと置きかえたら $t > 0$ 。二次方程式の解のうち $t ≦ 0$ のものは捨てる

1. 指数関数のグラフ

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(イ)

$y = 2^{x}$ は $x$ が 1 増えるごとに $y$ が 2 倍になり、 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ は $\frac{1}{2}$ 倍になります。どちらも $y$ が 0 や負になることはありません。

指数関数 $y = a^{x}$ の底 $a$ の条件は？

$a > 0$ かつ $a \neq = 1$

$a = 1$ だと $y = 1$ で一定になり、指数関数とは呼ばない。 $a ≦ 0$ では $a^{x}$ がすべての実数 $x$ で定まらない。

指数関数 $y = a^{x}$ のグラフが、底 $a$ によらず必ず通る点は？

点 $(0, 1)$

$a^{0} = 1$ だから。さらに点 $(1, a)$ も通る。

指数関数 $y = a^{x}$ の値域と、グラフの漸近線は？

値域は $y > 0$ （正の実数全体）。漸近線は x 軸

$a > 1$ なら $x$ を小さくするほど、 $0 < a < 1$ なら $x$ を大きくするほど、グラフは x 軸に限りなく近づくが、x 軸とは交わらない。

$y = a^{x}$ は、 $a > 1$ と $0 < a < 1$ で増減がどう違うか？

$a > 1$ なら増加関数、 $0 < a < 1$ なら減少関数

$y = 2^{x}$ は右上がり、 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ は右下がり。

$y = 2^{x}$ と $y = (\frac{1}{2})^{x}$ のグラフは、どんな位置関係にあるか？

y 軸に関して対称

$(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ なので、 $y = 2^{x}$ の $x$ を $- x$ に取りかえた式になっている。

2. 大小比較

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(イ)

底をそろえてしまえば、あとは指数の大小を比べるだけです。底が 1 より大きいか小さいかで向きが決まります。

$a > 1$ のとき、 $a^{p}$ と $a^{q}$ の大小と、 $p$ と $q$ の大小の関係は？ $0 < a < 1$ のときは？

$a > 1$ なら $p < q ⟺ a^{p} < a^{q}$ （同じ向き）。 $0 < a < 1$ なら $p < q ⟺ a^{p} > a^{q}$ （逆向き）

$a > 1$ では増加関数、 $0 < a < 1$ では減少関数だから。

$2$ 、 $34$ 、 $58$ の大小はどう比べるか？

底を 2 にそろえて $2^{\frac{1}{2}}$ 、 $2^{\frac{2}{3}}$ 、 $2^{\frac{3}{5}}$ とし、指数を比べる

$\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3}$ で底 2 は 1 より大きいので、 $2 < 58 < 34$ 。

3. 指数方程式・指数不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(イ)

指数関数は増加か減少のどちらかなので、 $a^{p} = a^{q}$ なら $p = q$ です。不等式では、底が 1 より小さいと不等号の向きが変わります。

指数方程式 $4^{x} = 8$ は、どう解くか？

底を 2 にそろえて $2^{2 x} = 2^{3}$ とし、指数を比べて $2 x = 3$ 、 $x = \frac{3}{2}$

$a^{p} = a^{q} ⟺ p = q$ を使う。

指数不等式 $(\frac{1}{3})^{x} > 9$ を解くとき、何に注意するか？

底 $\frac{1}{3}$ は 1 より小さいので、指数を比べるときに不等号の向きが変わる

$9 = (\frac{1}{3})^{- 2}$ なので $(\frac{1}{3})^{x} > (\frac{1}{3})^{- 2}$ から $x < - 2$ 。底を 3 にそろえて $3^{- x} > 3^{2}$ 、 $- x > 2$ としても同じ。

$4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ のような方程式は、どう解くか？

$t = 2^{x}$ と置くと $4^{x} = t^{2}$ なので、 $t$ の二次方程式 $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ になる。 $t > 0$ に注意して解く

$(t - 4) (t + 1) = 0$ で、 $t > 0$ より $t = 4$ 。 $2^{x} = 4$ から $x = 2$ 。

$t = 2^{x}$ と置きかえたとき、 $t$ にはどんな条件がつくか？

$t > 0$

$2^{x}$ はつねに正。 $x$ の範囲が決まっていれば、 $t$ の範囲もそこから決める（ $- 1 ≦ x ≦ 2$ なら $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 4$ ）。

練習問題

問 1　 $(\frac{1}{3})^{- 2}$ 、 $27$ 、 $3^{\frac{3}{4}}$ を小さい順に並べよ。

$3^{\frac{3}{4}} < 27 < (\frac{1}{3})^{- 2}$

方針　3 つとも 3 の累乗で書けるので、底を 3 にそろえて指数を比べる。底 3 は 1 より大きいから、指数が大きいほど値も大きい。

$\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ なので、 $(\frac{1}{3})^{- 2} = (3^{- 1})^{- 2} = 3^{2}$
$27 = 3^{3}$ なので、 $27 = 3^{3} = 3^{\frac{3}{2}}$
3 つの指数は $2$ 、 $\frac{3}{2}$ 、 $\frac{3}{4}$ 。分母を 4 にそろえると $\frac{8}{4}$ 、 $\frac{6}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ なので、 $\frac{3}{4} < \frac{3}{2} < 2$
底 3 は 1 より大きいので、指数の大小がそのまま値の大小になり、 $3^{\frac{3}{4}} < 3^{\frac{3}{2}} < 3^{2}$
もとの形に戻して、 $3^{\frac{3}{4}} < 27 < (\frac{1}{3})^{- 2}$

問 2　方程式 $8^{x} = \frac{1}{4}$ を解け。

$x = - \frac{2}{3}$

方針　8 も $\frac{1}{4}$ も 2 の累乗で書ける。両辺の底を 2 にそろえれば、 $a^{p} = a^{q} ⟺ p = q$ で指数どうしの一次方程式になる。

左辺は $8 = 2^{3}$ なので、 $8^{x} = (2^{3})^{x} = 2^{3 x}$
右辺は $4 = 2^{2}$ なので、 $\frac{1}{4} = \frac{1}{2 ^{2}} = 2^{- 2}$
方程式は $2^{3 x} = 2^{- 2}$ になる。指数を比べて、 $3 x = - 2$
両辺を 3 で割って、 $x = - \frac{2}{3}$

問 3　不等式 $(\frac{1}{2})^{x - 1} ≧ \frac{1}{8}$ を解け。

$x ≦ 4$

方針　右辺も底 $\frac{1}{2}$ の累乗で書いて、指数どうしを比べる。底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さい（減少関数）ので、指数を比べるときに不等号の向きが変わる。

$8 = 2^{3}$ なので、 $\frac{1}{8} = \frac{1}{2 ^{3}} = (\frac{1}{2})^{3}$
不等式は $(\frac{1}{2})^{x - 1} ≧ (\frac{1}{2})^{3}$ になる
底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さいので、不等号の向きを変えて指数を比べる。 $x - 1 ≦ 3$
$- 1$ を移項して、 $x ≦ 4$

ここで間違えやすい　向きをそのままにして $x ≧ 4$ としないこと。底を 2 にそろえて $2^{- (x - 1)} ≧ 2^{- 3}$ としても解ける。このときは $- (x - 1) ≧ - 3$ の両辺に $- 1$ を掛けるところで向きが変わり、同じ $x ≦ 4$ になる。

問 4　方程式 $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ を解け。

$x = 0, 1$

方針　 $9^{x} = (3^{x})^{2}$ なので、式全体が $3^{x}$ の二次式になっている。 $t = 3^{x}$ と置いて $t$ の二次方程式を解き、 $t$ から $x$ に戻す。 $3^{x}$ はつねに正なので、 $t > 0$ の解だけを使う。

$9 = 3^{2}$ なので、 $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x} = (3^{x})^{2}$
$t = 3^{x}$ （ $t > 0$ ）と置くと、方程式は $t^{2} - 4 t + 3 = 0$
因数分解して、 $(t - 1) (t - 3) = 0$ から $t = 1, 3$
どちらも $t > 0$ を満たすので、両方とも使える
$t = 1$ のとき、 $3^{x} = 1$ 。 $1 = 3^{0}$ なので、 $x = 0$
$t = 3$ のとき、 $3^{x} = 3$ 。 $3 = 3^{1}$ なので、 $x = 1$

問 5　不等式 $4^{x} - 2^{x + 1} - 8 > 0$ を解け。

$x > 2$

方針　 $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ なので、式全体が $2^{x}$ の二次式になっている。 $t = 2^{x}$ と置いて $t$ の二次不等式を解き、 $t > 0$ でしぼってから $x$ に戻す。

$4 = 2^{2}$ なので、 $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ 。また $2^{x + 1} = 2^{x} \times 2^{1} = 2 \cdot 2^{x}$
$t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ）と置くと、不等式は $t^{2} - 2 t - 8 > 0$
左辺を因数分解して、 $(t - 4) (t + 2) > 0$
$t > 0$ なので $t + 2 > 0$ 。積が正になるのは $t - 4 > 0$ のときなので、 $t > 4$
$t$ を戻すと $2^{x} > 4$ 。 $4 = 2^{2}$ なので、 $2^{x} > 2^{2}$
底 2 は 1 より大きいので、不等号の向きはそのままで $x > 2$

ここで間違えやすい　 $(t - 4) (t + 2) > 0$ だけを解くと $t < - 2$ 、 $4 < t$ の 2 つが出る。 $t < - 2$ は $t > 0$ に合わないので捨てる（ $2^{x}$ が負になることはない）。

問 6　 $- 1 ≦ x ≦ 2$ のとき、関数 $y = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

最大値 5（ $x = 2$ のとき）、最小値 1（ $x = 1$ のとき）

方針　 $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ なので、 $t = 2^{x}$ と置くと $y$ は $t$ の二次関数になる。 $x$ の範囲を $t$ の範囲に直してから、平方完成して頂点と両端の値を比べる。

$t = 2^{x}$ と置く。 $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 2^{x} \times 2^{2} = 4 t$ なので、 $y = t^{2} - 4 t + 5$
$t$ の範囲を求める。底 2 は 1 より大きいので、 $- 1 ≦ x ≦ 2$ から $2^{- 1} ≦ 2^{x} ≦ 2^{2}$ 、つまり $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 4$
平方完成する。 $y = (t^{2} - 4 t + 4) + 1 = (t - 2)^{2} + 1$
軸 $t = 2$ は範囲 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 4$ に入っているので、 $t = 2$ で最小値 1 をとる。このとき $2^{x} = 2$ から $x = 1$
最大値は両端のどちらかでとる。 $t = \frac{1}{2}$ のとき $y = (\frac{1}{2} - 2)^{2} + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$
$t = 4$ のとき $y = (4 - 2)^{2} + 1 = 4 + 1 = 5$
$\frac{13}{4} < 5$ なので、 $t = 4$ で最大値 5 をとる。このとき $2^{x} = 4$ から $x = 2$

ここで間違えやすい　 $x$ の範囲 $- 1 ≦ x ≦ 2$ をそのまま $t$ の範囲にしないこと。置きかえたら、範囲も $t$ のものに直す。