指数の拡張と指数法則｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (3) 指数関数・対数関数ア (ア)「指数を正の整数から有理数へ拡張する意義を理解し，指数法則を用いて数や式の計算をすること」。

0. どういうまとまりか

中学までの $a^{n}$ は「 $a$ を $n$ 個掛ける」なので、 $n$ は正の整数に限られていました。
これを 0・負の整数・有理数へ広げます。広げ方は 1 つの方針で決まります——正の整数のときに成り立つ指数法則が、広げたあとも成り立つように定める。

指数	定め方	例
0	$a^{0} = 1$ （ $a \neq = 0$ ）	$5^{0} = 1$
負の整数	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ （ $a \neq = 0$ ）	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$
有理数	$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ （ $a > 0$ ）	$8^{\frac{2}{3}} = 4$

指数法則（ $a > 0$ 、 $b > 0$ 、 $r$ ・ $s$ は有理数）: $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ 、 $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ 、 $(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$ 。

分かれ目は次の 3 つ。

$a^{0}$ は 0 ではなく 1。 $a^{- n}$ は負の数ではなく $\frac{1}{a ^{n}}$
偶数乗根は正の数にしか考えない。 $n$ が奇数なら負の数の $n$ 乗根もある（ $3 - 27 = - 3$ ）
有理数の指数は底 $a > 0$ で定める。累乗根は、底をそろえて指数の計算に直してから計算する

1. 0 と負の整数の指数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ア)

$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ が $m = n$ でも $m < n$ でも成り立つように決めると、 $a^{0}$ と $a^{- n}$ の値が 1 通りに決まります。

$a^{0}$ （ $a \neq = 0$ ）の値は？また、なぜそう定めるか？

$a^{0} = 1$

指数法則 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ で $m = n$ とすると、左辺は $a^{n} \div a^{n} = 1$ 、右辺は $a^{0}$ 。法則が成り立つように 1 と定める。

$a^{- n}$ （ $a \neq = 0$ 、 $n$ は正の整数）の定め方は？

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

$a^{0} \div a^{n} = a^{0 - n}$ が成り立つように定める。 $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ 、 $1 0^{- 2} = \frac{1}{100}$ 。負の数になるわけではない。

正の整数の指数で成り立つ指数法則を 3 つ挙げよ。

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 、 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ 、 $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

指数を 0・負の整数・有理数へ広げても、この 3 つがそのまま成り立つように定義する。これが「指数を拡張する」ことの中身。

2. 累乗根

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ア)

$n$ 乗すると $a$ になる数を、 $a$ の $n$ 乗根といいます。2 乗根・3 乗根・…をまとめて累乗根といいます。

累乗根 $n a$ は、どんな数を表すか？（ $a > 0$ ）

$n$ 乗すると $a$ になる正の数

$(n a)^{n} = a$ 、 $n a > 0$ 。 $38 = 2$ 、 $481 = 3$ 。 $2 a$ はふつう $a$ と書く。

$n$ が偶数のとき、正の数 $a$ の $n$ 乗根はいくつあるか？負の数の $n$ 乗根は？

正の数の $n$ 乗根は 2 つ（ $n a$ と $- n a$ ）。負の数の $n$ 乗根は実数の範囲にない

16 の 4 乗根は 2 と $- 2$ 。 $n$ が奇数なら実数の $n$ 乗根はつねに 1 つで、 $3 - 27 = - 3$ 。

累乗根の性質を 3 つ挙げよ。（ $a > 0$ 、 $b > 0$ ）

$n a n b = n ab$ 、 $(n a)^{m} = n a^{m}$ 、 $m n a = mn a$

商についても $\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}$ 。 $354 \times 34 = 3216 = 6$ 。

3. 有理数の指数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ア)

$(a^{r})^{s} = a^{r s}$ が分数の指数でも成り立つとすると、 $(a^{\frac{1}{n}})^{n} = a$ なので、 $a^{\frac{1}{n}}$ は $a$ の $n$ 乗根でなければなりません。

$a^{\frac{m}{n}}$ （ $a > 0$ 、 $m$ は整数、 $n$ は正の整数）の定め方は？

$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}$

$a^{\frac{1}{n}} = n a$ 、 $a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a ^{\frac{m}{n}}}$ 。 $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 4$ 、 $2 7^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{9}$ 。

有理数の指数 $a^{\frac{m}{n}}$ を考えるとき、底 $a$ を正に限るのはなぜか？

負の底では、同じ有理数でも表し方によって値が変わり、指数法則が成り立たなくなるから

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ なのに、 $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ を $3 - 8 = - 2$ とすると、 $(- 8)^{\frac{2}{6}} = 664 = 2$ と食い違う。

指数法則は、有理数の指数ではどんな条件のもとで成り立つか？

$a > 0$ 、 $b > 0$ で、 $r$ ・ $s$ が有理数のとき、 $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ 、 $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ 、 $(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$

割り算も $a^{r} \div a^{s} = a^{r - s}$ 。正の整数のときと同じ形のまま使える。

4. 指数法則を用いた計算

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(3)-ア-(ア)

累乗根がまじった計算は、根号のまま扱うより、底をそろえて有理数の指数に直すほうが確実です。

累乗根がいくつもまじった積や商（例 $2 \times 34 \div 632$ ）は、どう計算するか？

底を 2 などにそろえて有理数の指数で書き、指数の足し算・引き算にする

$2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{2}{3}} \div 2^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} = 32$ 。

$4^{\frac{3}{2}}$ と $8^{- \frac{1}{3}}$ を、底を 2 にそろえて計算すると？

$4^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8$ 、 $8^{- \frac{1}{3}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$

$4 = 2^{2}$ 、 $8 = 2^{3}$ として $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ を使う。

$a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ の値が分かっているとき、 $a + a^{- 1}$ はどう求めるか？

$a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ を 2 乗する

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1}$ 。 $a^{\frac{1}{2}} \times a^{- \frac{1}{2}} = a^{0} = 1$ なので、真ん中の項が定数になる。

【発展・有理数の指数の先】無理数の指数 $2^{2}$ はどう考えるか？

$2$ に近づく有理数 1.4、1.41、1.414、… を指数にした $2^{1.4}$ 、 $2^{1.41}$ 、 $2^{1.414}$ 、… が近づいていく値を $2^{2}$ と定めます。
こうして実数の指数まで広げても、指数法則はそのまま成り立ちます。学習指導要領の事項は「有理数へ拡張する」までなので、復習には出さずにここに置いています。
指数関数のグラフがつながった曲線になるのは、この考えで $x$ をすべての実数にしているからです。

練習問題

問 1　次の値を求めよ。（1） $354 \times 34$ 　（2） $4^{\frac{3}{2}} \times 8^{- \frac{1}{3}}$

（1）6　（2）4

方針　（1）はどちらも 3 乗根なので、 $n a n b = n ab$ で根号を 1 つにまとめる。（2）は 4 も 8 も 2 の累乗なので、底を 2 にそろえて $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ で指数の計算にする。

（1）根号の中どうしを掛ける。 $354 \times 34 = 3 54 \times 4 = 3216$
$6^{3} = 216$ なので、 $3216 = 6$
（2） $4 = 2^{2}$ として指数を掛ける。 $4^{\frac{3}{2}} = (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8$
$8 = 2^{3}$ として指数を掛ける。 $8^{- \frac{1}{3}} = (2^{3})^{- \frac{1}{3}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$
2 つを掛けて、 $8 \times \frac{1}{2} = 4$

（2）は指数のまま $2^{3} \times 2^{- 1} = 2^{3 - 1} = 2^{2} = 4$ とまとめてもよい。

問 2　 $2 7^{- \frac{2}{3}}$ と $1 6^{\frac{3}{4}}$ の値を求めよ。

$2 7^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{9}$ 、 $1 6^{\frac{3}{4}} = 8$

方針　27 と 16 を素数の累乗（ $3^{3}$ 、 $2^{4}$ ）に直す。すると $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ で指数を掛けたときに分母が約分されて、整数の指数になる。負の指数は最後に逆数に直す。

$27 = 3^{3}$ なので、 $2 7^{- \frac{2}{3}} = (3^{3})^{- \frac{2}{3}}$
指数を掛けると $3 \times (- \frac{2}{3}) = - 2$ なので、 $(3^{3})^{- \frac{2}{3}} = 3^{- 2}$
負の指数は逆数にする。 $3^{- 2} = \frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}$
$16 = 2^{4}$ なので、 $1 6^{\frac{3}{4}} = (2^{4})^{\frac{3}{4}}$
指数を掛けると $4 \times \frac{3}{4} = 3$ なので、 $(2^{4})^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8$

ここで間違えやすい　指数が負でも、値は負の数にならない。 $2 7^{- \frac{2}{3}}$ は $2 7^{\frac{2}{3}} = 9$ の逆数である。

問 3　 $2 \times 34 \div 632$ を計算せよ。

$32$

方針　2 乗根・3 乗根・6 乗根がまじっているので、根号のままでは 1 つにまとめられない。根号の中はどれも 2 の累乗（ $4 = 2^{2}$ 、 $32 = 2^{5}$ ）なので、底を 2 にそろえた有理数の指数に直し、指数の足し算・引き算にする。

$2$ を指数で書く。 $2 = 2^{\frac{1}{2}}$
$4 = 2^{2}$ なので、 $34 = 3 2^{2} = 2^{\frac{2}{3}}$
$32 = 2^{5}$ なので、 $632 = 6 2^{5} = 2^{\frac{5}{6}}$
掛け算は指数の足し算、割り算は指数の引き算になるので、 $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{2}{3}} \div 2^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{6}}$
指数を分母 6 で通分する。 $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
根号に戻して、 $2^{\frac{1}{3}} = 32$

問 4　 $a > 0$ とする。 $3 a^{2} \times a \div 6 a$ を簡単にせよ。

$a$

方針　底はどれも $a$ でそろっている。累乗根を $n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ で有理数の指数に直せば、掛け算・割り算が指数の足し算・引き算になる。

それぞれを指数で書く。 $3 a^{2} = a^{\frac{2}{3}}$ 、 $a = a^{\frac{1}{2}}$ 、 $6 a = a^{\frac{1}{6}}$
掛け算は指数の足し算、割り算は指数の引き算になるので、 $a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}}$
指数を分母 6 で通分する。 $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
指数が 1 なので、 $a^{1} = a$

問 5　 $a > 0$ で、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ のとき、 $a + a^{- 1}$ の値を求めよ。

方針　求めたい $a$ と $a^{- 1}$ は、 $a^{\frac{1}{2}}$ と $a^{- \frac{1}{2}}$ をそれぞれ 2 乗したもの。そこで与えられた式の両辺を 2 乗する。 $a$ の値そのものを求める必要はない。

両辺を 2 乗する。 $(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = 3^{2}$
左辺を $(p + q)^{2} = p^{2} + 2 pq + q^{2}$ で展開する。 $(a^{\frac{1}{2}})^{2} + 2 a^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}} + (a^{- \frac{1}{2}})^{2} = 9$
指数を掛けて、 $(a^{\frac{1}{2}})^{2} = a$ 、 $(a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a^{- 1}$
真ん中の項は指数を足して、 $a^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^{0} = 1$
3 と 4 を 2 の式に入れると、 $a + 2 + a^{- 1} = 9$
2 を右辺に移して、 $a + a^{- 1} = 9 - 2 = 7$

ここで間違えやすい　2 乗したときの真ん中の項 $2 a^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}} = 2$ を落として、 $a + a^{- 1} = 9$ としないこと。