不等式の表す領域｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (2) 図形と方程式ア (エ)「簡単な場合について，不等式の表す領域を求めたり領域を不等式で表したりすること。」。

0. どういうまとまりか

$x$ 、 $y$ の不等式を満たす点 $(x, y)$ 全体の集合を、その不等式の表す領域といいます。
等号にした方程式のグラフ（直線や円）が境界線になり、領域はその片側です。

不等式	表す領域
$y > m x + n$	直線 $y = m x + n$ の上側
$y < m x + n$	直線 $y = m x + n$ の下側
$x > k$	直線 $x = k$ の右側
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$	円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の内部
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}$	円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の外部

分かれ目は次の 3 つ。

$<$ 、 $>$ なら境界線を含まない、 $≦$ 、 $≧$ なら含む。図示したら必ずどちらかを書き添える
連立不等式はそれぞれの領域の共通部分、 $A B > 0$ は「 $A > 0$ かつ $B > 0$ 」または「 $A < 0$ かつ $B < 0$ 」
領域で $x + y$ などの最大・最小を求めるときは、 $x + y = k$ とおいて直線を動かし、領域と共有点をもつ $k$ の範囲を見る

1. 直線を境界線とする領域

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(エ)

$y$ について解いた形にすると、上側か下側かがすぐ読めます。 $y = m x + n$ 上の点より $y$ 座標が大きい点が上側です。

不等式 $y > m x + n$ の表す領域は？また、 $y < m x + n$ は？

$y > m x + n$ は直線 $y = m x + n$ の上側、 $y < m x + n$ は下側。どちらも境界線を含まない

同じ $x$ で比べて、直線上の点より $y$ 座標が大きい点の集まりが上側。

不等式 $x > k$ の表す領域は？

直線 $x = k$ の右側（境界線を含まない）

$y$ を含まない不等式なので、 $y$ 軸に平行な直線 $x = k$ が境界線になる。 $x < k$ なら左側。

不等式 $y ≧ m x + n$ と $y > m x + n$ の表す領域の違いは？

$y ≧ m x + n$ は境界線 $y = m x + n$ を含み、 $y > m x + n$ は含まない

図示するときは「境界線を含む」「境界線を含まない」を書き添える。

$2 x - 3 y + 6 > 0$ のように $y$ について解いていない不等式の領域は、どう判断するか？

$y$ について解く（ $y$ の係数が負なら不等号の向きが変わる）か、境界線上にない点（原点など）を代入して成り立つ側を選ぶ

$2 x - 3 y + 6 > 0$ は $y < \frac{2}{3} x + 2$ で、直線の下側。原点を代入すると $6 > 0$ で成り立つので、原点を含む側と確かめられる。

2. 円を境界線とする領域

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(エ)

円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の左辺は、点 $(x, y)$ と中心の距離の 2 乗です。それが $r^{2}$ より小さいか大きいかで、内部か外部かが決まります。

不等式 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ の表す領域は？また、 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}$ は？

$<$ なら円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の内部、 $>$ なら外部。どちらも境界線を含まない

左辺は中心との距離の 2 乗。中心からの距離が $r$ より近い点の集まりが内部。

$x^{2} + y^{2} - 4 x > 0$ の表す領域は？

円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ の外部（境界線を含まない）

平方完成して $(x - 2)^{2} + y^{2} > 4$ に直す。一般形のままでは内部か外部か読みにくい。

3. 連立不等式と積の形の不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(エ)

いくつかの条件を同時に満たす点は、それぞれの領域の重なりにあります。

連立不等式の表す領域は？

それぞれの不等式の表す領域の共通部分

境界線の交点は、境界線を含むかどうかで含む・含まないが決まる。一方でも含まない境界線上にあれば含まない。

不等式 $A B > 0$ （ $A$ 、 $B$ は $x$ 、 $y$ の式）の表す領域はどう求めるか？

「 $A > 0$ かつ $B > 0$ 」の領域と「 $A < 0$ かつ $B < 0$ 」の領域を合わせる

$A B < 0$ なら「 $A > 0$ かつ $B < 0$ 」と「 $A < 0$ かつ $B > 0$ 」。2 本の境界線で分けられた 4 つの部分の、向かい合う 2 つになる。

図示された領域を不等式で表すには、どうするか？

境界線の方程式を求め、領域がその上側・下側（内部・外部）のどちらかを見て不等号を決める。境界線を含むなら等号をつける

境界線が複数あれば、それぞれの不等式を連立する。

4. 領域での最大・最小

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(エ)

点 $(x, y)$ が領域内を動くときの $x + y$ などの値の範囲は、 $x + y = k$ とおいた直線を動かして考えます。

点 $(x, y)$ が領域 $D$ 内を動くとき、 $a x + b y$ の最大値・最小値はどう求めるか？

$a x + b y = k$ とおくと傾きが一定の直線になる。この直線が $D$ と共有点をもつように動かし、 $k$ （切片に関係する値）が最大・最小になる位置を見る

$D$ が多角形なら、最大・最小は頂点でとる。どの頂点かは、直線の傾きと境界線の傾きを比べて決める。

点 $(x, y)$ が円の周および内部を動くとき、 $x + y$ の最大値・最小値をとるのはどんな位置か？

直線 $x + y = k$ が円に接するとき

中心と直線の距離が半径に等しいという式から $k$ を求める。

練習問題

問 1　3 点 $(1, 2)$ 、 $(3, - 1)$ 、 $(- 2, - 3)$ のうち、連立不等式 $y > x - 1$ 、 $x^{2} + y^{2} < 9$ の表す領域に含まれる点をすべて選べ。

$(1, 2)$ だけ

方針　点が領域に含まれるかどうかは、座標を不等式に代入して成り立つかを見ればよい。連立不等式なので、2 つとも成り立つ点だけが含まれる。不等号に等号が無いので、境界線上の点は含まれない。

$(1, 2)$ を調べる。 $x - 1$ の値は $1 - 1 = 0$ で、 $2 > 0$ は成り立つ。 $x^{2} + y^{2}$ の値は $1^{2} + 2^{2} = 5$ で、 $5 < 9$ も成り立つ。含まれる。
$(3, - 1)$ を調べる。 $x - 1$ の値は $3 - 1 = 2$ で、 $- 1 > 2$ は成り立たない。含まれない。
$(- 2, - 3)$ を調べる。 $x - 1$ の値は $- 2 - 1 = - 3$ で、 $y$ 座標の $- 3$ と等しい。 $y > x - 1$ は成り立たないので、含まれない。
よって、含まれるのは $(1, 2)$ だけ。

ここで間違えやすい　 $(- 2, - 3)$ は直線 $y = x - 1$ の上にある。 $y > x - 1$ は境界線を含まないので、境界線上の点は含まれない（この点は $x^{2} + y^{2}$ の値が $(- 2)^{2} + (- 3)^{2} = 13$ で、円の外部でもある）。

問 2　不等式 $(x - y + 1) (x + y - 3) < 0$ の表す領域を言葉で説明せよ。

直線 $y = x + 1$ の下側かつ直線 $y = - x + 3$ の下側の部分と、直線 $y = x + 1$ の上側かつ直線 $y = - x + 3$ の上側の部分。境界線は含まない

方針　積 $A B$ が負になるのは、 $A$ と $B$ の符号が異なるとき。「 $A > 0$ かつ $B < 0$ 」と「 $A < 0$ かつ $B > 0$ 」の 2 つの場合に分け、それぞれを $y$ について解いて、直線の上側か下側かを読む。

$A = x - y + 1$ 、 $B = x + y - 3$ とおく。
$A > 0$ は $x - y + 1 > 0$ 。 $y$ を右辺に移して $x + 1 > y$ 、すなわち $y < x + 1$ （直線 $y = x + 1$ の下側）。 $A < 0$ なら $y > x + 1$ （上側）
$B < 0$ は $x + y - 3 < 0$ 。 $x$ と $- 3$ を右辺に移して $y < - x + 3$ （直線 $y = - x + 3$ の下側）。 $B > 0$ なら $y > - x + 3$ （上側）
「 $A > 0$ かつ $B < 0$ 」は「 $y < x + 1$ かつ $y < - x + 3$ 」。2 直線の両方の下側の部分。
「 $A < 0$ かつ $B > 0$ 」は「 $y > x + 1$ かつ $y > - x + 3$ 」。2 直線の両方の上側の部分。
この 2 つを合わせた部分が求める領域。不等号に等号が無いので、境界線は含まない。

確かめ: 原点を代入すると $A$ の値は 1、 $B$ の値は $- 3$ で、積は $1 \times (- 3) = - 3$ と負になる。原点は 2 直線の両方の下側にあるので、手順 4 の部分に入っている。

ここで間違えやすい　 $A > 0$ を $y$ について解くと $y < x + 1$ で、下側になる（ $y$ の係数が負だから）。 $B$ は $y$ の係数が正なので、 $B > 0$ が上側。「式が正なら上側」と決めつけず、必ず $y$ について解く。

問 3　連立不等式 $x ≧ 0$ 、 $y ≧ 0$ 、 $x + 2 y ≦ 8$ 、 $3 x + y ≦ 9$ の表す領域を $D$ とする。点 $(x, y)$ が $D$ 内を動くとき、 $x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

$x = 2$ 、 $y = 3$ のとき最大値 5。 $x = 0$ 、 $y = 0$ のとき最小値 0

方針　 $x + y = k$ とおくと、傾き $- 1$ 、 $y$ 切片 $k$ の直線になる。この直線を領域 $D$ と共有点をもつ範囲で動かし、切片 $k$ が最大・最小になる位置を探す。 $D$ は多角形なので、最大・最小は頂点でとる。だから、まず $D$ の頂点を全部求める。

境界線は $x = 0$ 、 $y = 0$ 、 $x + 2 y = 8$ 、 $3 x + y = 9$ の 4 本。 $D$ は、 $x$ 軸の上側、 $y$ 軸の右側で、2 直線の両方の下側にある部分。
$x + 2 y = 8$ と $3 x + y = 9$ の交点を求める。2 つ目の式から $y = 9 - 3 x$ 。1 つ目の式に代入して、 $x + 2 (9 - 3 x) = 8$
展開して $x + 18 - 6 x = 8$ 、すなわち $- 5 x = - 10$ から $x = 2$ 。 $y$ は $9 - 3 \times 2 = 3$ 。交点は $(2, 3)$
$x$ 軸上（ $y = 0$ ）では、2 つの不等式は $x ≦ 8$ 、 $3 x ≦ 9$ になる。両方を満たすのは $x ≦ 3$ なので、頂点は $(3, 0)$
$y$ 軸上（ $x = 0$ ）では、2 つの不等式は $2 y ≦ 8$ 、 $y ≦ 9$ になる。両方を満たすのは $y ≦ 4$ なので、頂点は $(0, 4)$
よって $D$ は、4 点 $(0, 0)$ 、 $(3, 0)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(0, 4)$ を頂点とする四角形の周および内部。
各頂点での $x + y$ の値は、順に $0 + 0 = 0$ 、 $3 + 0 = 3$ 、 $2 + 3 = 5$ 、 $0 + 4 = 4$
よって、 $(2, 3)$ で最大値 5、 $(0, 0)$ で最小値 0

図で見ると、直線 $x + y = k$ の傾き $- 1$ は、2 本の境界線の傾き $- \frac{1}{2}$ と $- 3$ の間にある。そのため、切片が最大になるのは 2 本の交点 $(2, 3)$ を通るときになる。

ここで間違えやすい　軸との交点 $(8, 0)$ や $(0, 9)$ は、もう一方の不等式を満たさないので $D$ の頂点ではない。

問 4　ある工場で製品 A を 1 kg 作るには原料 P が 2 kg と原料 Q が 1 kg、製品 B を 1 kg 作るには原料 P が 1 kg と原料 Q が 3 kg 必要である。使える原料は P が 10 kg、Q が 15 kg までで、利益は製品 A が 1 kg あたり 3 万円、製品 B が 1 kg あたり 4 万円である。利益を最大にするには A、B をそれぞれ何 kg 作ればよいか。

A を 3 kg、B を 4 kg 作るとき、利益は最大の 25 万円

方針　作る量を文字でおくと、原料の制限は連立不等式（領域）になり、利益は $x$ 、 $y$ の 1 次式になる。あとは「領域内で 1 次式を最大にする」問題で、領域が多角形なので、頂点での値を比べればよい。

A を $x$ kg、B を $y$ kg 作るとする。量は負にならないので、 $x ≧ 0$ 、 $y ≧ 0$
原料 P は、A に $2 x$ kg、B に $y$ kg 使う。10 kg までなので、 $2 x + y ≦ 10$
原料 Q は、A に $x$ kg、B に $3 y$ kg 使う。15 kg までなので、 $x + 3 y ≦ 15$
利益は $3 x + 4 y$ 万円。これを最大にする。
$2 x + y = 10$ と $x + 3 y = 15$ の交点を求める。1 つ目の式から $y = 10 - 2 x$ 。2 つ目の式に代入して、 $x + 3 (10 - 2 x) = 15$
展開して $x + 30 - 6 x = 15$ 、すなわち $- 5 x = - 15$ から $x = 3$ 。 $y$ は $10 - 2 \times 3 = 4$ 。交点は $(3, 4)$
$x$ 軸上（ $y = 0$ ）では $2 x ≦ 10$ と $x ≦ 15$ から $x ≦ 5$ 、 $y$ 軸上（ $x = 0$ ）では $y ≦ 10$ と $3 y ≦ 15$ から $y ≦ 5$ 。領域は 4 点 $(0, 0)$ 、 $(5, 0)$ 、 $(3, 4)$ 、 $(0, 5)$ を頂点とする四角形の周および内部。
各頂点での利益は、順に 0、 $3 \times 5 + 4 \times 0 = 15$ 、 $3 \times 3 + 4 \times 4 = 25$ 、 $3 \times 0 + 4 \times 5 = 20$
よって、A を 3 kg、B を 4 kg 作るとき、利益は最大の 25 万円

図で見ると、 $3 x + 4 y = k$ の傾き $- \frac{3}{4}$ は、境界線の傾き $- 2$ と $- \frac{1}{3}$ の間にある。そのため、 $k$ が最大になるのは 2 本の交点 $(3, 4)$ を通るときになる。

ここで間違えやすい　一方の製品だけを作る $(5, 0)$ や $(0, 5)$ より、両方を作る交点のほうが利益が大きい。頂点は全部比べる。

問 5　点 $(x, y)$ が円 $x^{2} + y^{2} = 2$ の周および内部を動くとき、 $x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

$x = 1$ 、 $y = 1$ のとき最大値 2。 $x = - 1$ 、 $y = - 1$ のとき最小値 $- 2$

方針　 $x + y = k$ とおくと、傾き $- 1$ の直線になる。点 $(x, y)$ は円の周および内部にあるので、この直線が円と共有点をもつような $k$ の範囲が、 $x + y$ のとりうる値の範囲である。共有点をもつ条件は、中心と直線の距離が半径以下であること。

$x + y = k$ とおき、一般形に直して $x + y - k = 0$
円 $x^{2} + y^{2} = 2$ の中心は $(0, 0)$ 、半径は $2$
中心 $(0, 0)$ と直線の距離は、 $x$ 、 $y$ の係数がどちらも 1 なので $\frac{∣ - k ∣}{2}$ 、すなわち $\frac{∣ k ∣}{2}$
共有点をもつ条件は $\frac{∣ k ∣}{2} ≦ 2$ 。両辺に $2$ を掛けて $∣ k ∣ ≦ 2$ 、すなわち $- 2 ≦ k ≦ 2$
最大値は 2。このとき直線 $x + y = 2$ は円に接する。 $y = 2 - x$ を円の式に代入して $x^{2} + (2 - x)^{2} = 2$ 。展開して整理すると $2 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 、すなわち $(x - 1)^{2} = 0$ から $x = 1$ 、 $y = 1$
最小値は $- 2$ 。同じように $y = - 2 - x$ を代入して $x^{2} + (- 2 - x)^{2} = 2$ 。展開して整理すると $2 x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 、すなわち $(x + 1)^{2} = 0$ から $x = - 1$ 、 $y = - 1$

ここで間違えやすい　最大・最小をとるのは、直線が円に接するとき（距離が半径に等しいとき）。そのときの $x$ 、 $y$ の値（接点）も答える。

問 6　3 点 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ 、 $(0, 2)$ を頂点とする三角形の周および内部を、連立不等式で表せ。

$x ≧ 0$ 、 $y ≧ 0$ 、 $x + 2 y ≦ 4$

方針　領域を不等式で表すには、境界線の方程式を 1 本ずつ求め、領域がその線のどちら側にあるかで不等号の向きを決める。三角形なので境界線は 3 本。周を含むので、どれにも等号をつける。

2 点 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ を通る辺は $x$ 軸で、 $y = 0$ 。三角形はその上側にあるので、 $y ≧ 0$
2 点 $(0, 0)$ 、 $(0, 2)$ を通る辺は $y$ 軸で、 $x = 0$ 。三角形はその右側にあるので、 $x ≧ 0$
2 点 $(4, 0)$ 、 $(0, 2)$ を通る辺は、 $x$ 切片が 4、 $y$ 切片が 2 の直線で、 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ 。両辺を 4 倍して $x + 2 y = 4$
三角形がこの直線のどちら側にあるかは、残りの頂点である原点で確かめる。原点では $x + 2 y$ の値が 0 で、4 より小さい。原点を含む側（直線の下側）なので、 $x + 2 y ≦ 4$
3 つを連立して、 $x ≧ 0$ 、 $y ≧ 0$ 、 $x + 2 y ≦ 4$

ここで間違えやすい　「周および内部」なので等号をつける。「内部」だけなら等号はつかない。