軌跡｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (2) 図形と方程式ア (ウ)「軌跡について理解し，簡単な場合について軌跡を求めること。」。

0. どういうまとまりか

与えられた条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡といいます。
求め方は、動く点を $P (x, y)$ とおいて条件を $x$ 、 $y$ の式に直し、その式が表す図形を読むことです。

条件	軌跡
2 点 $A$ 、 $B$ から等しい距離にある	線分 $A B$ の垂直二等分線
2 点 $A$ 、 $B$ からの距離の比が $m : n$ （ $m \neq = n$ ）	円（アポロニウスの円）
定点からの距離が一定	その定点を中心とする円
点が媒介変数 $t$ で $(x, y) = (f (t), g (t))$ と表される	$t$ を消去した $x$ 、 $y$ の式が表す図形

分かれ目は次の 3 つ。

求める点を $(x, y)$ 、条件に出てくる動く点を別の文字 $(s, t)$ でおく。最後に残すのは $x$ 、 $y$ だけ
距離の条件は 2 乗して根号を外す。比 $P A : P B = m : n$ は $n^{2} P A^{2} = m^{2} P B^{2}$ にする
最後に逆の確認をする。得られた図形の点がすべて条件を満たすか、除く点や範囲の制限が無いかを見る

1. 軌跡の求め方

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ウ)

軌跡を求めるとは、「条件を満たす点の集まり」と「ある図形」が同じであることを示すことです。
そのため、条件から図形の式を導くだけでなく、逆に図形上の点が条件を満たすことも確かめます。

点の軌跡とは何か？

与えられた条件を満たす点全体がつくる図形

条件を満たす点はすべてその図形上にあり、逆にその図形上の点はすべて条件を満たす。

軌跡を求める手順は？

求める点を $P (x, y)$ とおき、条件を $x$ 、 $y$ の式で表し、式を整理して図形を読み、逆にその図形上の点が条件を満たすか確かめる

式変形で両辺を 2 乗したり文字で割ったりすると、条件を満たさない点が混ざることがある。最後の確認で除く。

2 点 $A$ 、 $B$ から等しい距離にある点の軌跡は？

線分 $A B$ の垂直二等分線

$P (x, y)$ とおき $A P^{2} = B P^{2}$ を展開すると、 $x^{2}$ と $y^{2}$ が消えて 1 次式（直線の方程式）が残る。

2. アポロニウスの円

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ウ)

2 点からの距離の比が一定の点は、比が $1 : 1$ でなければ円をえがきます。この円をアポロニウスの円といいます。

2 点 $A$ 、 $B$ からの距離の比が $m : n$ である点の軌跡は？

$m \neq = n$ なら円（アポロニウスの円）、 $m = n$ なら線分 $A B$ の垂直二等分線

$n^{2} A P^{2} = m^{2} B P^{2}$ を展開すると、 $m \neq = n$ のときは $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数が等しく残り、円の方程式になる。

アポロニウスの円（ $P A : P B = m : n$ ）の直径の両端は、どんな点か？

線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点と、外分する点

どちらの点も $P A : P B = m : n$ を満たし、しかも直線 $A B$ 上にある。中心はこの 2 点の中点。

2 点 $A (0, 0)$ 、 $B (3, 0)$ に対して、 $P A : P B = 2 : 1$ を満たす点 $P$ の軌跡は？

中心 $(4, 0)$ 、半径 2 の円

$P A^{2} = 4 P B^{2}$ から $x^{2} + y^{2} = 4 {(x - 3)^{2} + y^{2}}$ 。整理すると $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ 、 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ 。
直径の両端は、 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点 $(2, 0)$ と外分する点 $(6, 0)$ になっている。

3. 動く点に連動する点の軌跡

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ウ)

点 $Q$ が図形上を動き、点 $P$ が $Q$ から決まるとき、 $P$ の軌跡を求めます。
$Q$ の座標を $P$ の座標で表し、 $Q$ が満たす式に代入するのが手順です。

点 $Q$ が図形 $F$ 上を動くとき、 $Q$ から決まる点 $P$ の軌跡はどう求めるか？

$P (x, y)$ 、 $Q (s, t)$ とおき、 $P$ と $Q$ の関係から $s$ 、 $t$ を $x$ 、 $y$ で表して、 $Q$ が満たす $F$ の方程式に代入する

最後に残すのは $x$ 、 $y$ だけ。 $s$ 、 $t$ は消去する文字。

点 $Q$ が円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上を動くとき、点 $A (4, 0)$ と $Q$ を結ぶ線分の中点 $P$ の軌跡は？

中心 $(2, 0)$ 、半径 1 の円

$P (x, y)$ 、 $Q (s, t)$ とおくと $x = \frac{s + 4}{2}$ 、 $y = \frac{t}{2}$ から $s = 2 x - 4$ 、 $t = 2 y$ 。
$s^{2} + t^{2} = 4$ に代入して $(2 x - 4)^{2} + (2 y)^{2} = 4$ 、すなわち $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 。

4. 媒介変数で表された点の軌跡

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ウ)

点の座標が 1 つの文字 $t$ （媒介変数）で表されているときは、 $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を作ります。

点 $P (t + 1, 2 t - 3)$ が、 $t$ がすべての実数値をとって動くときの軌跡は？

直線 $y = 2 x - 5$

$x = t + 1$ から $t = x - 1$ 。これを $y = 2 t - 3$ に代入して $y = 2 (x - 1) - 3$ 、すなわち $y = 2 x - 5$ 。

媒介変数 $t$ の範囲が制限されているとき（例: $t ≧ 0$ ）、軌跡はどうなるか？

$t$ の範囲を $x$ （または $y$ ）の範囲に直し、その範囲に入る部分だけが軌跡になる

$P (t + 1, 2 t - 3)$ で $t ≧ 0$ なら $x ≧ 1$ なので、軌跡は直線 $y = 2 x - 5$ の $x ≧ 1$ の部分（半直線）。

練習問題

問 1　2 点 $A (1, 2)$ 、 $B (5, 4)$ から等しい距離にある点 $P$ の軌跡を求めよ。

直線 $2 x + y - 9 = 0$

方針　軌跡は、動く点を $P (x, y)$ とおき、条件を $x$ 、 $y$ の式に直して図形を読む。条件は $A P = B P$ だが、距離は根号を含むので、2 乗した $A P^{2} = B P^{2}$ で式を立てる。

$P (x, y)$ とおく。
$A P^{2} = B P^{2}$ を座標で書くと、 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}$
左辺を展開する。 $x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5$
右辺を展開する。 $x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} - 8 y + 16 = x^{2} + y^{2} - 10 x - 8 y + 41$
両辺の $x^{2}$ 、 $y^{2}$ が消えて、 $- 2 x - 4 y + 5 = - 10 x - 8 y + 41$
左辺に集めて $8 x + 4 y - 36 = 0$ 。両辺を 4 で割って $2 x + y - 9 = 0$
逆に、この直線上の点は手順を逆にたどれるので $A P = B P$ を満たす。よって軌跡は直線 $2 x + y - 9 = 0$

確かめ: この直線は $A B$ の中点 $(3, 3)$ を通り（ $2 \times 3 + 3 - 9 = 0$ ）、傾き $- 2$ は直線 $A B$ の傾き $\frac{1}{2}$ と積が $- 1$ 。線分 $A B$ の垂直二等分線になっている。

問 2　2 点 $A (0, 0)$ 、 $B (8, 0)$ に対して、 $P A : P B = 3 : 1$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ。

中心 $(9, 0)$ 、半径 3 の円

方針　 $P (x, y)$ とおき、比の条件を式にする。 $P A : P B = 3 : 1$ は $P A = 3 P B$ のこと。距離の根号を外すために両辺を 2 乗して $P A^{2} = 9 P B^{2}$ とし、座標で書いて整理する。

$P (x, y)$ とおく。 $P A : P B = 3 : 1$ から $P A = 3 P B$ 。両辺を 2 乗して $P A^{2} = 9 P B^{2}$
座標で書く。 $P A^{2} = x^{2} + y^{2}$ 、 $P B^{2} = (x - 8)^{2} + y^{2}$ なので、 $x^{2} + y^{2} = 9 {(x - 8)^{2} + y^{2}}$
右辺を展開する。 $(x - 8)^{2} = x^{2} - 16 x + 64$ なので、右辺は $9 x^{2} - 144 x + 576 + 9 y^{2}$
左辺を右辺に移して、 $8 x^{2} + 8 y^{2} - 144 x + 576 = 0$
両辺を 8 で割る。 $144 \div 8 = 18$ 、 $576 \div 8 = 72$ なので、 $x^{2} + y^{2} - 18 x + 72 = 0$
$x$ の項を平方完成する。 $x^{2} - 18 x = (x - 9)^{2} - 81$ なので $(x - 9)^{2} - 81 + y^{2} + 72 = 0$ 、すなわち $(x - 9)^{2} + y^{2} = 9$
逆に、この円上の点は手順を逆にたどれるので $P A : P B = 3 : 1$ を満たす。よって軌跡は中心 $(9, 0)$ 、半径 3 の円

確かめ: 直径の両端は、 $A B$ を $3 : 1$ に内分する点 $(6, 0)$ と外分する点 $(12, 0)$ 。その中点が $(9, 0)$ 、2 点の距離 6 の半分が 3 で、合っている。

ここで間違えやすい　2 乗すると、比の 3 は 9 になる。 $P B^{2}$ に掛けるのは 3 ではなく 9。

問 3　点 $Q$ が円 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上を動くとき、点 $A (6, 0)$ と $Q$ を結ぶ線分 $A Q$ を $1 : 2$ に内分する点 $P$ の軌跡を求めよ。

中心 $(4, 0)$ 、半径 1 の円

方針　動く点が 2 つある。円上を動く $Q$ と、それに連動する $P$ である。求めたいのは $P$ なので $P (x, y)$ とおき、 $Q$ は別の文字で $Q (s, t)$ とおく。 $Q$ について分かっているのは「円上にある」（ $s^{2} + t^{2} = 9$ ）ことだけなので、 $s$ 、 $t$ を $x$ 、 $y$ で表してこの式に代入し、 $s$ 、 $t$ を消す。

$P (x, y)$ 、 $Q (s, t)$ とおく。 $Q$ は円上にあるので、 $s^{2} + t^{2} = 9$ …①
$P$ は線分 $A Q$ を $1 : 2$ に内分する。 $A (6, 0)$ の座標に 2、 $Q$ の座標に 1 を掛けて、 $x = \frac{2 \times 6 + 1 \times s}{1 + 2} = \frac{12 + s}{3}$ 、 $y = \frac{2 \times 0 + 1 \times t}{1 + 2} = \frac{t}{3}$
$s$ 、 $t$ について解く。 $3 x = 12 + s$ から $s = 3 x - 12$ 、 $3 y = t$ から $t = 3 y$
①に代入して、 $(3 x - 12)^{2} + (3 y)^{2} = 9$
$3 x - 12 = 3 (x - 4)$ なので、 $9 (x - 4)^{2} + 9 y^{2} = 9$
両辺を 9 で割って、 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 1$
逆に、この円上の点は条件を満たす。よって軌跡は中心 $(4, 0)$ 、半径 1 の円

ここで間違えやすい　 $A Q$ を $1 : 2$ に内分するので、 $A$ の座標に 2、 $Q$ の座標に 1 を掛ける（たすきがけ）。逆にすると別の円になる。また、最後に残すのは $x$ 、 $y$ だけで、 $s$ 、 $t$ は消す文字。

問 4　 $t$ がすべての実数値をとって動くとき、点 $P (2 t - 1, - t + 3)$ の軌跡を求めよ。また、 $t ≧ 0$ のときはどうなるか。

直線 $x + 2 y - 5 = 0$ 。 $t ≧ 0$ のときは、この直線の $x ≧ - 1$ の部分

方針　 $P$ の座標が 1 つの文字 $t$ で表されているので、 $x = 2 t - 1$ 、 $y = - t + 3$ とおいて $t$ を消去すれば、 $x$ と $y$ の関係式（軌跡の式）になる。 $t$ に範囲があるときは、それを $x$ の範囲に直す。

$x = 2 t - 1$ 、 $y = - t + 3$ とおく。
1 つ目の式を $t$ について解く。 $2 t = x + 1$ から、 $t = \frac{x + 1}{2}$
2 つ目の式に代入して、 $y = - \frac{x + 1}{2} + 3$
両辺を 2 倍して $2 y = - (x + 1) + 6$ 、すなわち $2 y = - x + 5$
移項して $x + 2 y - 5 = 0$ 。 $t$ がすべての実数値をとると $x$ もすべての実数値をとるので、軌跡はこの直線の全体。
$t ≧ 0$ のときは、 $2 t ≧ 0$ から $2 t - 1 ≧ - 1$ 、すなわち $x ≧ - 1$ 。軌跡は、この直線の $x ≧ - 1$ の部分（ $t = 0$ のときの点 $(- 1, 3)$ を端とする半直線）

ここで間違えやすい　 $t$ に範囲があるのに、直線の全体を答えにしない。 $t$ の範囲は、必ず $x$ （または $y$ ）の範囲に直して添える。

問 5　 $t$ がすべての実数値をとって動くとき、放物線 $y = x^{2} - 2 t x + t^{2} + 2 t - 1$ の頂点の軌跡を求めよ。

直線 $y = 2 x - 1$

方針　頂点の軌跡なので、まず平方完成して頂点の座標を $t$ で表す。すると頂点は $t$ を媒介変数とする点になるので、あとは $t$ を消去する。放物線の式の $x$ 、 $y$ とまぎれないよう、頂点は $(X, Y)$ とおく。

平方完成する。 $x^{2} - 2 t x + t^{2} = (x - t)^{2}$ なので、 $y = (x - t)^{2} + 2 t - 1$
この形から、頂点は $(t, 2 t - 1)$
頂点を $(X, Y)$ とおくと、 $X = t$ 、 $Y = 2 t - 1$
$t = X$ を 2 つ目の式に代入して、 $Y = 2 X - 1$
$t$ はすべての実数値をとるので、 $X$ もすべての実数値をとる。よって軌跡は、直線 $y = 2 x - 1$ の全体

ここで間違えやすい　 $t^{2}$ までが平方の中に入り、残る $2 t - 1$ が頂点の $y$ 座標になる。 $t^{2} + 2 t - 1$ をそのまま $y$ 座標にしない。

問 6　2 点 $A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ に対して、 $P A^{2} + P B^{2} = 16$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ。

中心 $(2, 0)$ 、半径 2 の円

方針　 $P (x, y)$ とおき、条件 $P A^{2} + P B^{2} = 16$ をそのまま座標で書く。はじめから 2 乗の形なので、根号は出てこない。整理して、どんな図形の式かを読む。

$P (x, y)$ とおくと、 $P A^{2} = x^{2} + y^{2}$ 、 $P B^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2}$
条件に入れて、 $x^{2} + y^{2} + (x - 4)^{2} + y^{2} = 16$
$(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$ と展開してまとめると、 $2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 16 = 16$
16 を移項して $2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x = 0$ 。両辺を 2 で割って $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$
$x$ の項を平方完成する。 $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ なので $(x - 2)^{2} - 4 + y^{2} = 0$ 、すなわち $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$
逆に、この円上の点は条件を満たす。よって軌跡は中心 $(2, 0)$ 、半径 2 の円

確かめ: 線分 $A B$ を直径とする円になっている（中心は $A B$ の中点 $(2, 0)$ 、半径は $A B$ の長さ 4 の半分）。