円と直線の位置関係｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (2) 図形と方程式ア (イ)「座標平面上の直線や円を方程式で表すこと。」。

0. どういうまとまりか

円と直線を方程式で表すと、共有点は連立方程式の実数解になります。
共有点の個数は、代入してできる二次方程式の判別式でも、円の中心と直線の距離を半径と比べても判定できます。

共有点の個数	判別式 $D$	中心と直線の距離 $d$ 、半径 $r$	位置関係
2 個	$D > 0$	$d < r$	2 点で交わる
1 個	$D = 0$	$d = r$	接する
0 個	$D < 0$	$d > r$	共有点をもたない

分かれ目は次の 3 つ。

共有点の座標が要るなら連立（判別式）、個数や接する条件だけなら距離のほうが計算が軽い
円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ 。円の外の点から引く接線は、接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおいてから使う
2 円の位置関係は、中心間の距離を半径の和・差と比べる

1. 共有点の個数の判定

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

円の方程式と直線の方程式を連立し、1 文字を消すと二次方程式になります。その実数解の個数が共有点の個数です。
図で見れば、円の中心から直線までの距離が半径より短いか長いかで決まります。

円と直線の共有点の個数を、判別式でどう判定するか？

直線の方程式を円の方程式に代入して 1 文字を消し、できた二次方程式の判別式 $D$ の符号を見る。 $D > 0$ なら 2 個、 $D = 0$ なら 1 個、 $D < 0$ なら 0 個

二次方程式の実数解の個数が、そのまま共有点の個数になる。

円と直線の共有点の個数を、点と直線の距離でどう判定するか？

円の中心と直線の距離 $d$ を半径 $r$ と比べる。 $d < r$ なら 2 個、 $d = r$ なら 1 個（接する）、 $d > r$ なら 0 個

中心と半径が読める円なら、判別式より計算が軽い。

円 $x^{2} + y^{2} = 10$ と直線 $y = x + 2$ の共有点の座標は？

$(1, 3)$ 、 $(- 3, - 1)$

代入して $x^{2} + (x + 2)^{2} = 10$ 、整理すると $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 、 $(x - 1) (x + 3) = 0$ 。 $x = 1$ 、 $- 3$ を直線の方程式に入れて $y$ を出す。

2. 円の接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

円の接線は、接点を通る半径に垂直です。この性質から、接点が分かれば接線の方程式が決まります。

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$

円の方程式 $x \cdot x + y \cdot y = r^{2}$ の、 $x$ 、 $y$ の一方ずつを接点の座標にかえた形。接線は半径（中心と接点を結ぶ線分）に垂直であることから導ける。

円 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式は？

$x + 2 y = 5$

$x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ に $x_{1} = 1$ 、 $y_{1} = 2$ 、 $r^{2} = 5$ を入れる。

中心が原点でない円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$

円を中心が原点に来るように平行移動して考えると、 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ と同じ形になる。

円の外の点 $A$ から円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ に引いた接線は、どう求めるか？

接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおき、接線 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ が $A$ を通る式と、 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = r^{2}$ を連立する

別解: 接線を $A$ を通る傾き $m$ の直線とおき、中心との距離が $r$ に等しいとして $m$ を求める（ $y$ 軸に平行な接線を見落とさないように注意）。

3. 弦の長さ

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

円の中心から弦に下ろした垂線は、弦を 2 等分します。中心と直線の距離 $d$ が分かれば、三平方の定理で弦の長さが出ます。

半径 $r$ の円が直線で切り取られてできる弦の長さは？（中心と直線の距離を $d$ とする）

$2 r^{2} - d^{2}$

中心・弦の中点・弦の端でできる直角三角形で、斜辺が $r$ 、1 辺が $d$ 。残りの辺 $r^{2} - d^{2}$ が弦の半分。

4. 2 つの円の位置関係

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

2 つの円の位置関係は、中心間の距離 $d$ と、半径 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ の和・差の大小で決まります。

半径 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ （ $r_{1} > r_{2}$ ）の 2 円の中心間の距離を $d$ とする。2 円が外接する条件と、内接する条件は？

外接: $d = r_{1} + r_{2}$ 。内接: $d = r_{1} - r_{2}$

外接は外側から 1 点で接し、内接は一方が他方の内側で 1 点で接する。

半径 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ （ $r_{1} > r_{2}$ ）の 2 円が 2 点で交わる条件は？

$r_{1} - r_{2} < d < r_{1} + r_{2}$ （ $d$ は中心間の距離）

$d > r_{1} + r_{2}$ なら互いに外部にあり、 $d < r_{1} - r_{2}$ なら一方が他方の内部にある（どちらも共有点なし）。

【発展】2 円の交点を通る直線

2 円 $x^{2} + y^{2} + l_{1} x + m_{1} y + n_{1} = 0$ 、 $x^{2} + y^{2} + l_{2} x + m_{2} y + n_{2} = 0$ が 2 点で交わるとき、2 式を引いてできる 1 次式
$(l_{1} - l_{2}) x + (m_{1} - m_{2}) y + (n_{1} - n_{2}) = 0$ は、2 つの交点を通る直線（共通弦）を表す。交点の座標は両方の式を満たすので、差も満たすからである。

練習問題

問 1　円 $x^{2} + y^{2} = 10$ と直線 $y = x + k$ が共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$- 25 ≦ k ≦ 25$

方針　知りたいのは共有点の座標ではなく「共有点をもつかどうか」だけ。円の中心と半径がすぐ読めるので、中心と直線の距離 $d$ を半径 $r$ と比べる。共有点をもつ（2 個または 1 個）のは $d ≦ r$ のとき。

円 $x^{2} + y^{2} = 10$ の中心は $(0, 0)$ 、半径は $10$
距離の公式を使うため、直線を一般形に直す。 $y = x + k$ から、 $x - y + k = 0$
中心 $(0, 0)$ と直線の距離は、 $x$ の係数が 1、 $y$ の係数が $- 1$ なので $d = \frac{∣ k ∣}{2}$
共有点をもつ条件は $d ≦ r$ なので、 $\frac{∣ k ∣}{2} ≦ 10$
両辺に $2$ を掛けて $∣ k ∣ ≦ 20$ 。 $20 = 25$ なので、 $∣ k ∣ ≦ 25$
絶対値を外して、 $- 25 ≦ k ≦ 25$

別解（判別式）: $y = x + k$ を円の式に代入すると $x^{2} + (x + k)^{2} = 10$ 。展開して整理すると $2 x^{2} + 2 k x + k^{2} - 10 = 0$ 。実数解をもつ条件は $\frac{D}{4} = k^{2} - 2 (k^{2} - 10) = 20 - k^{2} ≧ 0$ で、 $k^{2} ≦ 20$ から同じ範囲になる。

ここで間違えやすい　「共有点をもつ」には接する場合（1 個）も入るので、等号がつく。

問 2　円 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上の点 $(3, - 4)$ における接線の方程式を求めよ。

$3 x - 4 y = 25$

方針　円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ 。この式が使えるのは点が円上にあるときなので、それを先に確かめてから入れる。

点 $(3, - 4)$ が円上にあることを確かめる。 $3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25$ で、たしかに円上にある。
接線の式 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ に $x_{1} = 3$ 、 $y_{1} = - 4$ 、 $r^{2} = 25$ を入れて、 $3 x + (- 4) y = 25$
整理して $3 x - 4 y = 25$

ここで間違えやすい　右辺は半径の 5 ではなく、半径の 2 乗の 25。

問 3　点 $A (3, 1)$ から円 $x^{2} + y^{2} = 5$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。

接点 $(1, 2)$ で接線 $x + 2 y = 5$ 、接点 $(2, - 1)$ で接線 $2 x - y = 5$

方針　 $A$ は円上の点ではない（ $3^{2} + 1^{2} = 10$ で、5 より大きいので円の外にある）。だから接線の式 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ に $A$ の座標をそのまま入れることはできない。そこで接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおく。分からない文字が 2 つなので、「接線が $A$ を通る」と「接点が円上にある」の 2 本の式を連立する。

接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおくと、接線は $x_{1} x + y_{1} y = 5$
この接線が $A (3, 1)$ を通るので、 $x = 3$ 、 $y = 1$ を入れて $3 x_{1} + y_{1} = 5$ …①
接点は円上にあるので、 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 5$ …②
①から $y_{1} = 5 - 3 x_{1}$ 。これを②に代入して、 $x_{1}^{2} + (5 - 3 x_{1})^{2} = 5$
展開して $x_{1}^{2} + 25 - 30 x_{1} + 9 x_{1}^{2} = 5$ 、整理して $10 x_{1}^{2} - 30 x_{1} + 20 = 0$
両辺を 10 で割って $x_{1}^{2} - 3 x_{1} + 2 = 0$ 。因数分解して $(x_{1} - 1) (x_{1} - 2) = 0$ から、 $x_{1} = 1$ 、 $2$
$x_{1} = 1$ のとき、①から $y_{1}$ は $5 - 3 \times 1 = 2$ 。接点 $(1, 2)$ で、接線は $x + 2 y = 5$
$x_{1} = 2$ のとき、①から $y_{1}$ は $5 - 3 \times 2 = - 1$ 。接点 $(2, - 1)$ で、接線は $2 x - y = 5$

ここで間違えやすい　円の外の点から引ける接線は 2 本ある。一方だけで終わらせない。

問 4　円 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ が直線 $x + y - 1 = 0$ から切り取る弦の長さを求めよ。

$27$

方針　弦の両端の座標を出さなくても、長さは求められる。円の中心から弦に下ろした垂線は弦を 2 等分するので、中心・弦の中点・弦の端で直角三角形ができる。斜辺が半径 $r$ 、1 辺が中心と直線の距離 $d$ なので、残りの辺（弦の半分）は $r^{2} - d^{2}$ になる。

円の中心は $(1, 2)$ 、半径は 3（右辺の 9 は半径の 2 乗）
中心と直線 $x + y - 1 = 0$ の距離を出す。 $\frac{∣ 1 + 2 - 1 ∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{2} = 2$
三平方の定理から、弦の半分は $3^{2} - (2)^{2} = 9 - 2 = 7$
弦の長さはその 2 倍で、 $27$

ここで間違えやすい　 $7$ は弦の半分。2 倍を忘れない。

問 5　2 円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 、 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）が接するような $r$ の値を求めよ。

$r = 3$ （外接）、 $r = 7$ （内接）

方針　2 円が接するかどうかは、中心間の距離 $d$ と半径の和・差で決まる。外接なら $d$ が半径の和に等しく、内接なら $d$ が半径の差に等しい。中心は 2 つとも分かっているので、まず $d$ を出す。

1 つ目の円は中心 $(0, 0)$ 、半径 2。2 つ目の円は中心 $(3, 4)$ 、半径 $r$
中心間の距離は $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
外接するのは、半径の和が 5 に等しいとき。 $r + 2 = 5$ から、 $r = 3$
内接するのは、半径の差が 5 に等しいとき。 $∣ r - 2 ∣ = 5$ から、 $r - 2 = 5$ または $r - 2 = - 5$
$r - 2 = 5$ なら $r = 7$ 。 $r - 2 = - 5$ なら $r = - 3$ で、 $r > 0$ に合わない。よって内接するのは $r = 7$

ここで間違えやすい　接するのは外接だけではない。内接（半径 7 の円の内側で、半径 2 の円が接する）を落とさない。

問 6　円 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ と直線 $2 x - y + 2 = 0$ の位置関係を調べよ。

接する（接点は $(0, 2)$ ）

方針　位置関係（交わる・接する・共有点なし）だけなら、中心と直線の距離 $d$ を半径 $r$ と比べるのが軽い。そのために、まず円を平方完成して中心と半径を読む。接すると分かったら、接点は連立して求める。

平方完成する。 $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ 、 $y^{2} - 2 y = (y - 1)^{2} - 1$
もとの式に入れて $(x - 2)^{2} - 4 + (y - 1)^{2} - 1 = 0$ 、すなわち $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 。中心 $(2, 1)$ 、半径 $5$
中心と直線 $2 x - y + 2 = 0$ の距離を出す。 $\frac{∣ 2 \times 2 - 1 + 2 ∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{5} = 5$
距離が半径 $5$ に等しいので、円と直線は接する。
接点を求める。直線の式から $y = 2 x + 2$ 。円の式に代入して、 $x^{2} + (2 x + 2)^{2} - 4 x - 2 (2 x + 2) = 0$
展開して $x^{2} + 4 x^{2} + 8 x + 4 - 4 x - 4 x - 4 = 0$ 、整理して $5 x^{2} = 0$
重解 $x = 0$ をもつ。 $y$ は $2 \times 0 + 2 = 2$ なので、接点は $(0, 2)$

連立した式が重解をもつことからも、接していると確かめられる。