円の方程式｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (2) 図形と方程式ア (イ)「座標平面上の直線や円を方程式で表すこと。」。

0. どういうまとまりか

円は「中心から等しい距離にある点の集まり」です。中心と点の距離を二点間の距離の式で書いて 2 乗すると、円の方程式になります。
展開した形（一般形）から中心と半径を読むには、 $x$ と $y$ をそれぞれ平方完成します。

形	式	読めるもの
標準形	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$	中心 $(a, b)$ 、半径 $r$
原点が中心	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	中心 $(0, 0)$ 、半径 $r$
一般形	$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$	平方完成してから中心と半径

分かれ目は次の 3 つ。

中心と半径が分かる（求めやすい）ときは標準形、通る 3 点が分かるときは一般形で置く
一般形は、平方完成した右辺が正のときだけ円を表す（0 なら 1 点、負なら図形を表さない）
標準形の右辺は半径の 2 乗。 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ の半径は 9 ではなく 3

1. 円の方程式の標準形

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

中心 $(a, b)$ からの距離が $r$ である点 $(x, y)$ は、 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$ を満たします。両辺を 2 乗したものが円の方程式です。

中心が $(a, b)$ 、半径が $r$ の円の方程式は？

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

円上の点 $(x, y)$ と中心の距離が $r$ 、という二点間の距離の式を 2 乗したもの。

中心が原点、半径が $r$ の円の方程式は？

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

標準形で $a = b = 0$ としたもの。

円の方程式 $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 7$ の中心と半径は？

中心 $(- 3, 1)$ 、半径 $7$

$(x + 3)^{2}$ は $(x - (- 3))^{2}$ なので、中心の $x$ 座標は $- 3$ 。右辺は半径の 2 乗なので半径は $7$ 。

中心と、円が通る 1 点が分かっているとき、円の方程式はどう求めるか？

中心と通る点の二点間の距離を半径にして、標準形に入れる

実際には半径の 2 乗が分かればよいので、根号を外したまま右辺に入れる。

線分 $A B$ を直径とする円の方程式は、どう求めるか？

中心は $A B$ の中点、半径は $A B$ の長さの半分

中点の式と二点間の距離の式で中心と半径を出し、標準形に入れる。

中心が $(a, b)$ で $x$ 軸に接する円の半径は？また、 $y$ 軸に接する円の半径は？

$x$ 軸に接するなら $∣ b ∣$ 、 $y$ 軸に接するなら $∣ a ∣$

接する軸と中心の距離が半径になる。 $x$ 軸との距離は $y$ 座標の絶対値。

2. 円の方程式の一般形

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

標準形を展開すると $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ の形になります。逆にこの形から中心と半径を読むには、 $x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成して標準形に戻します。

円の方程式の一般形とは？

$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$

$x^{2}$ と $y^{2}$ の係数が等しく（1 にそろえる）、 $x y$ の項が無い。標準形を展開するとこの形になる。

一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ から中心と半径を読むには、どうするか？

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成して、 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ の形にする

$x^{2} + l x = (x + \frac{l}{2})^{2} - \frac{l ^{2}}{4}$ のように、足した分を右辺に移す。

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ はどんな図形を表すか？

中心 $(2, - 3)$ 、半径 4 の円

$(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 3 = 0$ より $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ 。右辺は $4 + 9 + 3 = 16$ 。

$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ が円を表すのは、どんなときか？

平方完成した右辺が正のとき、すなわち $l^{2} + m^{2} - 4 n > 0$ のとき

右辺が 0 なら 1 点 $(- \frac{l}{2}, - \frac{m}{2})$ だけ、負なら満たす点が無い。

通る 3 点が分かっている円の方程式は、どう求めるか？

一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ に 3 点の座標を代入し、 $l$ 、 $m$ 、 $n$ の連立方程式を解く

標準形に代入すると 2 乗の項が残って連立が解きにくい。一般形なら 1 次の連立方程式になる。

練習問題

問 1　中心が $(- 1, 3)$ で、点 $(2, 7)$ を通る円の方程式を求めよ。

$(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$

方針　中心が分かっているので、標準形 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ で置く。足りないのは右辺の $r^{2}$ だけで、これは中心と通る点 $(2, 7)$ の距離の 2 乗である。半径そのものは要らないので、根号を付けずに 2 乗のまま求める。

中心 $(- 1, 3)$ を標準形に入れる。 $x - (- 1) = x + 1$ なので、 $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$
中心と点 $(2, 7)$ の $x$ 座標の差は $2 - (- 1) = 3$ 、 $y$ 座標の差は $7 - 3 = 4$
距離の 2 乗は $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ 。これが $r^{2}$
よって $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$

ここで間違えやすい　中心の $x$ 座標が $- 1$ なので、式は $(x + 1)^{2}$ になる。符号を逆にしない。

問 2　方程式 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 1 = 0$ はどんな図形を表すか。

中心 $(- 3, 1)$ 、半径 3 の円

方針　一般形のままでは中心も半径も読めない。 $x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成して、標準形 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ に直す。

$x$ の項を平方完成する。 $x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9$
$y$ の項を平方完成する。 $y^{2} - 2 y = (y - 1)^{2} - 1$
もとの式に入れる。 $(x + 3)^{2} - 9 + (y - 1)^{2} - 1 + 1 = 0$
定数をまとめると $- 9 - 1 + 1 = - 9$ 。これを右辺に移して、 $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$
右辺は半径の 2 乗で、 $3^{2} = 9$ 。よって中心 $(- 3, 1)$ 、半径 3 の円。

ここで間違えやすい　右辺の 9 は半径の 2 乗で、半径は 3。また $(x + 3)^{2}$ から読む中心の $x$ 座標は $- 3$ 。

問 3　2 点 $A (- 1, 2)$ 、 $B (5, - 6)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

$(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$

方針　直径の両端が分かっているので、中心は $A B$ の中点、半径は $A B$ の長さの半分になる。中心と半径が出れば、標準形に入れるだけ。

中心の $x$ 座標は $\frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
中心の $y$ 座標は $\frac{2 + ( - 6 )}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$
直径の長さを出す。 $x$ 座標の差は $5 - (- 1) = 6$ 、 $y$ 座標の差は $- 6 - 2 = - 8$ なので、 $A B = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$
半径は直径の半分で $10 \div 2 = 5$ 。半径の 2 乗は $5^{2} = 25$
中心 $(2, - 2)$ を標準形に入れる。 $y - (- 2) = y + 2$ なので、 $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$

ここで間違えやすい　10 は直径。右辺に入れるのは半径 5 の 2 乗の 25 で、 $1 0^{2}$ ではない。

問 4　3 点 $(1, 1)$ 、 $(5, 1)$ 、 $(2, 4)$ を通る円の方程式を求めよ。また、その中心と半径を求めよ。

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 8 = 0$ 。中心 $(3, 2)$ 、半径 $5$

方針　通る 3 点が分かっていて、中心も半径も分からない。標準形で置くと 2 乗の項が残って連立が解きにくいので、一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ で置く。3 点を代入すれば、 $l$ 、 $m$ 、 $n$ の 1 次の連立方程式になる。中心と半径は、最後に平方完成して読む。

$(1, 1)$ を代入する。 $1 + 1 + l + m + n = 0$ から、 $l + m + n = - 2$ …①
$(5, 1)$ を代入する。 $25 + 1 + 5 l + m + n = 0$ から、 $5 l + m + n = - 26$ …②
$(2, 4)$ を代入する。 $4 + 16 + 2 l + 4 m + n = 0$ から、 $2 l + 4 m + n = - 20$ …③
②から①を引くと、 $m$ と $n$ が消える。 $4 l = - 24$ から、 $l = - 6$
$l = - 6$ を①に入れて $- 6 + m + n = - 2$ 、すなわち $m + n = 4$ …④
$l = - 6$ を③に入れて $- 12 + 4 m + n = - 20$ 、すなわち $4 m + n = - 8$ …⑤
⑤から④を引いて $3 m = - 12$ から、 $m = - 4$ 。④に入れて $- 4 + n = 4$ から、 $n = 8$
よって、円の方程式は $x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 8 = 0$
平方完成する。 $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ 、 $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ なので、 $(x - 3)^{2} - 9 + (y - 2)^{2} - 4 + 8 = 0$
定数をまとめると $- 9 - 4 + 8 = - 5$ 。右辺に移して $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ 。中心 $(3, 2)$ 、半径 $5$

確かめ: 3 点と中心 $(3, 2)$ の距離の 2 乗は、 $(1 - 3)^{2} + (1 - 2)^{2} = 5$ 、 $(5 - 3)^{2} + (1 - 2)^{2} = 5$ 、 $(2 - 3)^{2} + (4 - 2)^{2} = 5$ で、すべて等しい。

ここで間違えやすい　右辺の 5 は半径の 2 乗。半径は $5$ 。

問 5　中心が $x$ 軸上にあり、2 点 $(1, 3)$ 、 $(5, 1)$ を通る円の方程式を求めよ。

$(x - 2)^{2} + y^{2} = 10$

方針　中心が $x$ 軸上にあるので、中心を $(c, 0)$ とおけば分からない文字は $c$ だけになる。円上の点はどれも中心から等しい距離にあるので、「中心から 2 点までの距離が等しい」を 2 乗の形で式にして $c$ を求める。

中心を $(c, 0)$ とおく。
中心と $(1, 3)$ の距離の 2 乗は、 $(1 - c)^{2} + (3 - 0)^{2} = (1 - c)^{2} + 9$
中心と $(5, 1)$ の距離の 2 乗は、 $(5 - c)^{2} + (1 - 0)^{2} = (5 - c)^{2} + 1$
どちらも半径の 2 乗なので等しい。 $(1 - c)^{2} + 9 = (5 - c)^{2} + 1$
左辺を展開すると $1 - 2 c + c^{2} + 9 = c^{2} - 2 c + 10$ 、右辺を展開すると $25 - 10 c + c^{2} + 1 = c^{2} - 10 c + 26$
両辺の $c^{2}$ が消えて $- 2 c + 10 = - 10 c + 26$ 。移項して $8 c = 16$ から、 $c = 2$
半径の 2 乗は、中心 $(2, 0)$ と $(1, 3)$ の距離の 2 乗で、 $(1 - 2)^{2} + 3^{2} = 1 + 9 = 10$
よって $(x - 2)^{2} + y^{2} = 10$

確かめ: もう 1 点 $(5, 1)$ でも $(5 - 2)^{2} + 1^{2} = 9 + 1 = 10$ で、同じ値になる。

問 6　方程式 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + k = 0$ が円を表すような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。また、この円の半径が 2 になる $k$ の値を求めよ。

$k < 5$ 。半径 2 になるのは $k = 1$

方針　一般形は、平方完成して標準形に直したときの右辺が半径の 2 乗になる。円を表すのは、その右辺が正のとき。だから、まず平方完成して右辺を $k$ の式で表す。

$x$ の項を平方完成する。 $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$
$y$ の項を平方完成する。 $y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4$
もとの式に入れて、 $(x - 1)^{2} - 1 + (y + 2)^{2} - 4 + k = 0$
$- 1$ 、 $- 4$ 、 $k$ を右辺に移して、 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5 - k$
円を表すのは右辺が正のとき。 $5 - k > 0$ から、 $k < 5$
半径が 2 のとき、右辺は半径の 2 乗で $2^{2} = 4$ 。 $5 - k = 4$ から、 $k = 1$ （ $k < 5$ を満たす）

ここで間違えやすい　 $k = 5$ のときは右辺が 0 で、1 点 $(1, - 2)$ だけになり円ではない。等号は入らない。また、半径 2 のとき右辺に置くのは 2 ではなく 4。