直線の方程式｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (2) 図形と方程式ア (イ)「座標平面上の直線や円を方程式で表すこと。」。

0. どういうまとまりか

直線は「通る 1 点と傾き」か「通る 2 点」で決まります。これを式にしたものが直線の方程式です。
$y = m x + n$ の形では $y$ 軸に平行な直線を表せないので、どんな直線も表せる一般形 $a x + b y + c = 0$ も使います。

分かっていること	直線の方程式
点 $(x_{1}, y_{1})$ と傾き $m$	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
2 点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ）	$y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$
2 点の $x$ 座標が等しい（ $x_{1} = x_{2}$ ）	$x = x_{1}$
$x$ 切片 $a$ 、 $y$ 切片 $b$ （ $a \neq = 0$ 、 $b \neq = 0$ ）	$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

分かれ目は次の 3 つ。

平行は傾きが等しい、垂直は傾きの積が $- 1$ 。一般形なら係数で $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ （平行）、 $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ （垂直）
点と直線の距離は、直線を一般形 $a x + b y + c = 0$ に直してから式に入れる
直線に関して対称な点は、「結ぶ線分が直線に垂直」と「中点が直線上」の 2 つの条件で求める

1. 直線の方程式の形

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

直線上の点 $(x, y)$ と通る点 $(x_{1}, y_{1})$ を結ぶと、その傾きはいつも直線の傾き $m$ に等しくなります。これを式にしたものが直線の方程式です。

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は？

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

直線上の点 $(x, y)$ と $(x_{1}, y_{1})$ を結ぶ傾き $\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}}$ が $m$ に等しい、という式の分母を払ったもの。

異なる 2 点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ を通る直線の方程式は？

$x_{1} \neq = x_{2}$ なら $y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$ 、 $x_{1} = x_{2}$ なら $x = x_{1}$

傾きを 2 点から出して、1 点と傾きの式に入れる。 $x$ 座標が等しいときは傾きが定義できず、 $y$ 軸に平行な直線になる。

2 点 $(1, 2)$ 、 $(3, 8)$ を通る直線の方程式は？

$y = 3 x - 1$

傾きは $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ 。 $y - 2 = 3 (x - 1)$ を整理する。

直線の方程式の一般形とは？また、 $y = m x + n$ の形より何がよいか？

$a x + b y + c = 0$ （ $a$ 、 $b$ の少なくとも一方は 0 でない）。 $y$ 軸に平行な直線（ $b = 0$ のとき $x = - \frac{c}{a}$ ）も表せる

$b \neq = 0$ なら $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ と変形でき、傾きは $- \frac{a}{b}$ 。

$x$ 切片が $a$ 、 $y$ 切片が $b$ の直線の方程式は？（ $a \neq = 0$ 、 $b \neq = 0$ ）

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

$x = a$ のとき $y = 0$ 、 $x = 0$ のとき $y = b$ になることで確かめられる。

2. 2 直線の平行と垂直

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

直線の向きは傾きで決まります。2 直線の関係は、傾きどうしを比べて判断します。

2 直線 $y = m_{1} x + n_{1}$ 、 $y = m_{2} x + n_{2}$ が平行になる条件と、垂直になる条件は？

平行: $m_{1} = m_{2}$ 。垂直: $m_{1} m_{2} = - 1$

$m_{1} = m_{2}$ かつ $n_{1} = n_{2}$ なら 2 直線は一致する（一致も平行に含めることがある）。

一般形の 2 直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ が平行になる条件と、垂直になる条件は？

平行: $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ 。垂直: $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$

傾きの式に直さずに判定でき、 $y$ 軸に平行な直線を含む場合もそのまま使える。

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り、直線 $a x + b y + c = 0$ に平行な直線と、垂直な直線の方程式は？

平行: $a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$ 。垂直: $b (x - x_{1}) - a (y - y_{1}) = 0$

平行な直線は $x$ 、 $y$ の係数をそのまま使う。垂直な直線は係数を入れかえて一方の符号を変える（垂直の条件 $ab + b (- a) = 0$ を満たす）。

3. 点と直線の距離

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(イ)

点から直線へ下ろした垂線の長さを、点と直線の距離といいます。直線を一般形にしておけば、公式 1 つで出せます。

点 $(x_{1}, y_{1})$ と直線 $a x + b y + c = 0$ の距離 $d$ は？

$d = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

分子は直線の式の左辺に点の座標を代入した値の絶対値。直線が $y = m x + n$ の形なら、先に $m x - y + n = 0$ に直す。

点 $(1, 2)$ と直線 $3 x + 4 y - 1 = 0$ の距離は？

$\frac{∣ 3 \times 1 + 4 \times 2 - 1 ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{10}{5} = 2$ 。

直線 $l$ に関して点 $P$ と対称な点 $Q$ を求めるときの 2 つの条件は？

直線 $P Q$ が $l$ に垂直であること、線分 $P Q$ の中点が $l$ 上にあること

$Q (s, t)$ とおき、傾きの積が $- 1$ の式と、中点を $l$ の式に代入した式を連立する。

【発展】2 直線の交点を通る直線

交わる 2 直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ について、 $k (a_{1} x + b_{1} y + c_{1}) + (a_{2} x + b_{2} y + c_{2}) = 0$ は、 $k$ がどんな値でも 2 直線の交点を通る直線を表す。
交点の座標を代入すると、両方のかっこが 0 になるからである。交点を求めずに「交点と別の 1 点を通る直線」を出すときに使う。

練習問題

問 1　2 点 $(- 1, 4)$ 、 $(3, - 4)$ を通る直線の方程式を求めよ。

$y = - 2 x + 2$

方針　通る 2 点が分かっているので、まず 2 点から傾きを出し、次に「1 点と傾き」の式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に入れる。

傾きは、 $y$ の増加量を $x$ の増加量で割る。 $\frac{- 4 - 4}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$
点 $(- 1, 4)$ を通り傾き $- 2$ なので、 $y - 4 = - 2 {x - (- 1)}$ 、すなわち $y - 4 = - 2 (x + 1)$
右辺を展開して、 $y - 4 = - 2 x - 2$
$- 4$ を移項して、 $y = - 2 x + 2$

確かめ: もう 1 点 $(3, - 4)$ の $x$ 座標を入れると $- 2 \times 3 + 2 = - 4$ で、たしかに通る。

ここで間違えやすい　傾きの分母は $3 - (- 1) = 4$ 。負の数を引くので、足し算になる。

問 2　点 $(2, - 1)$ を通り、直線 $2 x - 3 y + 1 = 0$ に平行な直線と、垂直な直線の方程式を求めよ。

平行: $2 x - 3 y - 7 = 0$ 。垂直: $3 x + 2 y - 4 = 0$

方針　一般形 $a x + b y + c = 0$ の直線に平行な直線は、 $x$ 、 $y$ の係数をそのまま使う。垂直な直線は、係数を入れかえて一方の符号を変える。通る点 $(2, - 1)$ は、 $x$ を $x - 2$ に、 $y$ を $y + 1$ にかえることで入れる。

もとの直線の係数は $a = 2$ 、 $b = - 3$
平行な直線は $a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$ の形。 $y - (- 1) = y + 1$ なので、 $2 (x - 2) - 3 (y + 1) = 0$
展開して $2 x - 4 - 3 y - 3 = 0$ 、整理して $2 x - 3 y - 7 = 0$
垂直な直線は $b (x - x_{1}) - a (y - y_{1}) = 0$ の形なので、 $- 3 (x - 2) - 2 (y + 1) = 0$
両辺に $- 1$ を掛けて、 $3 (x - 2) + 2 (y + 1) = 0$
展開して $3 x - 6 + 2 y + 2 = 0$ 、整理して $3 x + 2 y - 4 = 0$

確かめ: 傾きで見ると、もとの直線の傾きは $\frac{2}{3}$ 、垂直な直線の傾きは $- \frac{3}{2}$ で、積は $- 1$ になっている。

問 3　点 $(3, 1)$ と直線 $x + 2 y - 10 = 0$ の距離を求めよ。

$5$

方針　点と直線の距離の公式 $\frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ を使う。直線がすでに一般形 $x + 2 y - 10 = 0$ になっているので、 $a = 1$ 、 $b = 2$ 、 $c = - 10$ と点の座標をそのまま入れられる。

分子の中身は、直線の式の左辺に点 $(3, 1)$ を代入した値。 $3 + 2 \times 1 - 10 = - 5$
その絶対値をとって、分子は 5
分母は、 $x$ 、 $y$ の係数の 2 乗の和の平方根。 $1^{2} + 2^{2} = 5$
距離は $\frac{5}{5}$ 。分母と分子に $5$ を掛けて有理化すると、 $\frac{5}{5} = \frac{5 5}{5} = 5$

ここで間違えやすい　代入した値は $- 5$ だが、距離は負にならない。絶対値をとって 5 にする。

問 4　直線 $l : y = x + 1$ に関して、点 $A (3, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

$B (- 1, 4)$

方針　直線 $l$ に関して対称な点は、2 つの条件で決まる。「直線 $A B$ が $l$ に垂直」と「線分 $A B$ の中点が $l$ 上にある」である。 $B (s, t)$ とおくと分からない文字が 2 つなので、この 2 条件から式を 2 本立てて連立する。

$B (s, t)$ とおく。
直線 $A B$ の傾きは $\frac{t - 0}{s - 3} = \frac{t}{s - 3}$ 。 $l$ の傾きは 1 で、垂直なら傾きの積が $- 1$ なので、 $\frac{t}{s - 3} \times 1 = - 1$
両辺に $s - 3$ を掛けて $t = - (s - 3)$ 、すなわち $t = - s + 3$ …①
線分 $A B$ の中点は $(\frac{s + 3}{2}, \frac{t}{2})$ 。これが $l : y = x + 1$ 上にあるので、 $\frac{t}{2} = \frac{s + 3}{2} + 1$
両辺を 2 倍して $t = s + 3 + 2$ 、すなわち $t = s + 5$ …②
①と②の右辺どうしが等しいので、 $- s + 3 = s + 5$ 。移項して $- 2 s = 2$ から、 $s = - 1$
②に入れて、 $t$ は $- 1 + 5 = 4$ 。よって $B (- 1, 4)$

確かめ: $A B$ の中点は $(1, 2)$ で、 $1 + 1 = 2$ なので $l$ 上にある。直線 $A B$ の傾きは $\frac{4 - 0}{- 1 - 3} = - 1$ で、 $l$ に垂直。

ここで間違えやすい　手順 5 で両辺を 2 倍するとき、右辺の 1 も 2 倍する。

問 5　2 直線 $a x + 2 y + 1 = 0$ 、 $x + (a + 1) y - 3 = 0$ が平行になる $a$ の値と、垂直になる $a$ の値を求めよ。

平行: $a = 1$ 、 $- 2$ 。垂直: $a = - \frac{2}{3}$

方針　一般形の 2 直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ は、平行なら $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ 、垂直なら $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ 。傾きに直すと、 $a + 1 = 0$ のとき（ $y$ の係数が 0 になるとき）を別に調べることになるので、係数のまま判定する。

係数を読む。 $a_{1} = a$ 、 $b_{1} = 2$ 、 $a_{2} = 1$ 、 $b_{2} = a + 1$
平行の条件 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ に入れて、 $a (a + 1) - 1 \times 2 = 0$
展開して、 $a^{2} + a - 2 = 0$
因数分解して $(a - 1) (a + 2) = 0$ から、 $a = 1$ 、 $- 2$
2 直線が一致していないか確かめる。 $a = 1$ のとき 2 直線は $x + 2 y + 1 = 0$ 、 $x + 2 y - 3 = 0$ 。 $a = - 2$ のとき $- 2 x + 2 y + 1 = 0$ 、 $x - y - 3 = 0$ 。どちらも別の直線なので、平行である。
垂直の条件 $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ に入れて、 $a \times 1 + 2 (a + 1) = 0$
展開して $a + 2 a + 2 = 0$ 、すなわち $3 a + 2 = 0$ から、 $a = - \frac{2}{3}$

ここで間違えやすい　 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ は「平行または一致」の条件。出てきた $a$ を入れて、2 直線が一致していないことを確かめる。

問 6　3 点 $A (0, 0)$ 、 $B (6, 0)$ 、 $C (2, 4)$ を頂点とする三角形の面積を、辺 $B C$ を底辺とみて、点と直線の距離を使って求めよ。

方針　三角形の面積は、底辺と高さを掛けて 2 で割る。底辺を $B C$ にとると、高さは頂点 $A$ から直線 $B C$ に下ろした垂線の長さ、つまり点 $A$ と直線 $B C$ の距離になる。だから、直線 $B C$ の方程式（一般形）、 $A$ との距離、 $B C$ の長さの順に出す。

直線 $B C$ の傾きは $\frac{4 - 0}{2 - 6} = \frac{4}{- 4} = - 1$
点 $B (6, 0)$ を通るので $y - 0 = - (x - 6)$ 、すなわち $y = - x + 6$ 。一般形に直して $x + y - 6 = 0$
高さは $A (0, 0)$ と直線 $B C$ の距離。 $\frac{∣ 0 + 0 - 6 ∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{6}{2} = 32$
底辺は 2 点 $B$ 、 $C$ の距離。 $B C = (2 - 6)^{2} + (4 - 0)^{2} = 16 + 16 = 32 = 42$
面積は $\frac{1}{2} \times 42 \times 32 = 12$ （ $2 \times 2 = 2$ なので、 $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times 2 = 12$ ）

確かめ: $A B$ を底辺とすれば、高さは $C$ の $y$ 座標の 4 なので、 $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ 。同じ値になる。