点の座標と内分・外分｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (2) 図形と方程式ア (ア)「座標を用いて，平面上の線分を内分する点，外分する点の位置や二点間の距離を表すこと。」。

0. どういうまとまりか

点を座標で表すと、長さや位置を座標の計算で出せます。この単元の道具は 2 つだけです。
二点間の距離（三平方の定理）と、線分を $m : n$ に分ける点（内分点・外分点）です。

求めるもの	数直線上（ $A (a)$ 、 $B (b)$ ）	平面上（ $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ）
二点間の距離	$∣ b - a ∣$	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
$m : n$ に内分する点	$\frac{na + mb}{m + n}$	$x$ 座標・ $y$ 座標それぞれに同じ式
$m : n$ に外分する点	$\frac{- na + mb}{m - n}$	$x$ 座標・ $y$ 座標それぞれに同じ式
中点	$\frac{a + b}{2}$	$x$ 座標・ $y$ 座標それぞれの平均

分かれ目は次の 3 つ。

内分の式は「たすきがけ」。 $A$ の座標には相手側の比 $n$ を、 $B$ の座標には $m$ を掛ける
外分は内分の式の $n$ を $- n$ にかえたもの。分母も $m - n$ になる
平面上の内分点・外分点は、 $x$ 座標と $y$ 座標を別々に数直線の式で出す

1. 数直線上の点

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ア)

数直線上の点は 1 つの数で表されます。平面上の式は、ここでの式を $x$ 座標と $y$ 座標に 1 回ずつ使うだけです。

数直線上の 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ の間の距離は？

$∣ b - a ∣$

大きいほうから小さいほうを引いた値。どちらが右か分からないときは絶対値で書く。

数直線上の 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を結ぶ線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点の座標は？

$\frac{na + mb}{m + n}$

$A$ の座標 $a$ には $B$ 側の比 $n$ 、 $B$ の座標 $b$ には $A$ 側の比 $m$ を掛ける（たすきがけ）。 $m = n$ なら中点 $\frac{a + b}{2}$ 。

数直線上の 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を結ぶ線分 $A B$ を $m : n$ に外分する点の座標は？

$\frac{- na + mb}{m - n}$ （ $m \neq = n$ ）

内分の式の $n$ を $- n$ にかえたもの。分子も分母も $n$ の符号が変わる。

線分 $A B$ を $m : n$ に外分する点は、 $m > n$ のときと $m < n$ のときで、どちら側にあるか？

$m > n$ なら $B$ の外側（ $B$ を越えた先）、 $m < n$ なら $A$ の外側

外分する点 $P$ は $A P : P B = m : n$ を満たす線分の外の点。比の大きいほうの端から遠くなるので、小さいほうの端の外側にある。

数直線上の 2 点 $A (- 2)$ 、 $B (6)$ について、線分 $A B$ を $3 : 1$ に内分する点と外分する点の座標は？

内分する点 4、外分する点 10

内分: $\frac{1 \times ( - 2 ) + 3 \times 6}{3 + 1} = \frac{16}{4} = 4$ 。外分: $\frac{- 1 \times ( - 2 ) + 3 \times 6}{3 - 1} = \frac{20}{2} = 10$ 。 $3 > 1$ なので外分する点は $B$ の外側にある。

2. 平面上の二点間の距離

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ア)

平面上の 2 点を斜辺の両端とする直角三角形をつくると、横の長さは $x$ 座標の差、縦の長さは $y$ 座標の差になります。
二点間の距離は、三平方の定理で出します。

平面上の 2 点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ の二点間の距離 $A B$ は？

$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

$x$ 座標の差と $y$ 座標の差を 2 辺とする直角三角形の斜辺（三平方の定理）。差は 2 乗するので、引く順番は気にしなくてよい。

原点 $O$ と点 $A (x_{1}, y_{1})$ の距離 $O A$ は？

$O A = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$

二点間の距離の式で、一方の点を原点にしたもの。

2 点 $A (1, 2)$ 、 $B (4, 6)$ の二点間の距離は？

$(4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 25 = 5$ 。辺が 3 と 4 の直角三角形の斜辺。

3. 平面上の内分点・外分点

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(2)-ア-(ア)

線分 $A B$ を $m : n$ に分ける点は、 $x$ 軸・ $y$ 軸に影を落としても同じ比に分けます。
そのため、 $x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれに、数直線上の内分・外分の式を使えばよいのです。

平面上の 2 点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ を結ぶ線分を $m : n$ に内分する点の座標は？

$(\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$

$x$ 座標、 $y$ 座標それぞれに数直線上の内分の式を使う。外分なら $n$ を $- n$ にかえて $(\frac{- n x _{1} + m x _{2}}{m - n}, \frac{- n y _{1} + m y _{2}}{m - n})$ 。

線分 $A B$ の中点の座標は？（ $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ）

$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

$1 : 1$ に内分する点。 $x$ 座標どうし、 $y$ 座標どうしの平均。

3 点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (x_{3}, y_{3})$ を頂点とする三角形の重心の座標は？

$(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

重心は中線を頂点から $2 : 1$ に内分する点。辺 $B C$ の中点と $A$ を結ぶ線分を $2 : 1$ に内分して計算すると、3 点の座標の平均になる。

【発展】中線定理を座標で確かめる

三角形 $A B C$ の辺 $B C$ の中点を $M$ とすると、 $A B^{2} + A C^{2} = 2 (A M^{2} + B M^{2})$ が成り立つ（中線定理）。
$M$ を原点、 $B (- c, 0)$ 、 $C (c, 0)$ 、 $A (a, b)$ と座標をおくと、
左辺は $(a + c)^{2} + b^{2} + (a - c)^{2} + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}$ 、右辺は $2 {(a^{2} + b^{2}) + c^{2}}$ で等しい。
計算が楽になるように座標軸を置くのが、座標を使った証明のこつ。

練習問題

問 1　数直線上の 2 点 $A (- 3)$ 、 $B (7)$ について、 $A B$ の長さと、線分 $A B$ を $2 : 3$ に内分する点、外分する点の座標を求めよ。

$A B = 10$ 、内分する点 1、外分する点 $- 23$

方針　数直線上では、距離は座標の差の絶対値、分ける点は内分・外分の式で出る。 $a = - 3$ 、 $b = 7$ 、 $m = 2$ 、 $n = 3$ をそのまま入れればよく、外分は内分の式の $n$ を $- n$ にかえるだけである。

距離は、座標の差の絶対値をとる。 $A B = ∣ 7 - (- 3)∣ = 10$
内分する点は $\frac{na + mb}{m + n}$ 。 $A$ の座標 $- 3$ には相手側の比 3 を、 $B$ の座標 7 には 2 を掛ける。 $\frac{3 \times ( - 3 ) + 2 \times 7}{2 + 3} = \frac{- 9 + 14}{5} = \frac{5}{5} = 1$
外分する点は、内分の式の 3 を $- 3$ にかえる。分母も $2 - 3$ になる。 $\frac{- 3 \times ( - 3 ) + 2 \times 7}{2 - 3} = \frac{9 + 14}{- 1} = \frac{23}{- 1} = - 23$
$2 < 3$ なので、外分する点は $A$ の外側（ $A$ より左）にある。 $- 23$ は $- 3$ より左なので、位置も合っている。

ここで間違えやすい　外分で $n$ を $- n$ にかえるのは、分子と分母の両方。分母を $2 + 3$ のままにすると、別の点が出てしまう。

問 2　2 点 $A (1, - 2)$ 、 $B (7, 6)$ について、 $A B$ の長さと、線分 $A B$ を $3 : 1$ に内分する点、外分する点の座標を求めよ。

$A B = 10$ 、内分する点 $(\frac{11}{2}, 4)$ 、外分する点 $(10, 10)$

方針　平面上では、距離は三平方の定理（ $x$ 座標の差と $y$ 座標の差を 2 乗して足す）で出す。分ける点は、 $x$ 座標と $y$ 座標を別々に、数直線の内分・外分の式で出す。比は $3 : 1$ なので、 $A$ の座標に 1、 $B$ の座標に 3 を掛ける。

$x$ 座標の差は $7 - 1 = 6$ 、 $y$ 座標の差は $6 - (- 2) = 8$
距離の式に入れる。 $A B = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$
内分する点の $x$ 座標。 $\frac{1 \times 1 + 3 \times 7}{3 + 1} = \frac{1 + 21}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$
内分する点の $y$ 座標。 $\frac{1 \times ( - 2 ) + 3 \times 6}{3 + 1} = \frac{- 2 + 18}{4} = \frac{16}{4} = 4$
外分する点の $x$ 座標は、 $A$ 側に掛ける 1 を $- 1$ にかえる。 $\frac{- 1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \frac{- 1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$
外分する点の $y$ 座標も同じようにする。 $\frac{- 1 \times ( - 2 ) + 3 \times 6}{3 - 1} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$

ここで間違えやすい　 $y$ 座標の差は $6 - (- 2) = 8$ 。負の数を引くので、足し算になる。

問 3　3 点 $A (2, 5)$ 、 $B (- 1, - 2)$ 、 $C (5, 0)$ を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ。

$(2, 1)$

方針　三角形の重心の座標は、3 つの頂点の座標の平均になる。 $x$ 座標どうし、 $y$ 座標どうしを 3 つ足して、3 で割る。

$x$ 座標を 3 つ足して 3 で割る。 $\frac{2 + ( - 1 ) + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y$ 座標を 3 つ足して 3 で割る。 $\frac{5 + ( - 2 ) + 0}{3} = \frac{3}{3} = 1$
よって、重心は $(2, 1)$

問 4　2 点 $A (1, 3)$ 、 $B (5, 1)$ から等しい距離にある $x$ 軸上の点 $P$ の座標を求めよ。

$P (2, 0)$

方針　 $x$ 軸上の点は $y$ 座標が 0 なので、 $P (x, 0)$ とおけば分からない文字は $x$ だけになる。「等しい距離」は $A P = B P$ だが、距離は根号を含むので、2 乗した $A P^{2} = B P^{2}$ で式を立てると計算が楽になる。

$P (x, 0)$ とおく。
$A (1, 3)$ との距離の 2 乗は、 $A P^{2} = (x - 1)^{2} + (0 - 3)^{2} = (x - 1)^{2} + 9$
$B (5, 1)$ との距離の 2 乗は、 $B P^{2} = (x - 5)^{2} + (0 - 1)^{2} = (x - 5)^{2} + 1$
$A P^{2} = B P^{2}$ なので、 $(x - 1)^{2} + 9 = (x - 5)^{2} + 1$
左辺を展開すると $x^{2} - 2 x + 1 + 9 = x^{2} - 2 x + 10$ 、右辺を展開すると $x^{2} - 10 x + 25 + 1 = x^{2} - 10 x + 26$
両辺の $x^{2}$ が消えて、 $- 2 x + 10 = - 10 x + 26$
移項して $8 x = 16$ から、 $x = 2$ 。よって $P (2, 0)$

確かめ: $x = 2$ のとき、 $A$ との距離の 2 乗は $(2 - 1)^{2} + 9 = 10$ 、 $B$ との距離の 2 乗は $(2 - 5)^{2} + 1 = 10$ で等しい。

問 5　点 $A (2, 1)$ に関して、点 $P (5, - 3)$ と対称な点 $Q$ の座標を求めよ。

$Q (- 1, 5)$

方針　「点 $A$ に関して対称」とは、 $A$ が線分 $P Q$ の真ん中にあるということ。 $Q (s, t)$ とおき、 $P$ と $Q$ の中点が $A$ になるという式を、 $x$ 座標と $y$ 座標で 1 本ずつ立てる。

$Q (s, t)$ とおくと、線分 $P Q$ の中点は $(\frac{5 + s}{2}, \frac{- 3 + t}{2})$
これが $A (2, 1)$ に一致するので、 $\frac{5 + s}{2} = 2$ 、 $\frac{- 3 + t}{2} = 1$
1 つ目の式の両辺を 2 倍して $5 + s = 4$ から、 $s = - 1$
2 つ目の式の両辺を 2 倍して $- 3 + t = 2$ から、 $t = 5$
よって $Q (- 1, 5)$

ここで間違えやすい　真ん中に来るのは $A$ 。 $P$ と $A$ の中点を求めてしまわない。

問 6　平行四辺形 $A B C D$ の 3 つの頂点が $A (1, 1)$ 、 $B (5, 2)$ 、 $C (6, 5)$ のとき、頂点 $D$ の座標を求めよ。

$D (2, 4)$

方針　平行四辺形の対角線は、互いに他を 2 等分する。つまり、対角線 $A C$ の中点と対角線 $B D$ の中点は同じ点になる。 $A$ 、 $C$ は分かっているので中点が出せて、そこから $D$ を逆算する。

$A C$ の中点を求める。 $x$ 座標は $\frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2}$ 、 $y$ 座標は $\frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$D (s, t)$ とおくと、 $B D$ の中点は $(\frac{5 + s}{2}, \frac{2 + t}{2})$
2 つの中点が一致するので、 $\frac{5 + s}{2} = \frac{7}{2}$ 、 $\frac{2 + t}{2} = 3$
1 つ目の式の両辺を 2 倍して $5 + s = 7$ から、 $s = 2$
2 つ目の式の両辺を 2 倍して $2 + t = 6$ から、 $t = 4$
よって $D (2, 4)$

ここで間違えやすい　頂点は $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ の順に並ぶので、対角線は $A C$ と $B D$ 。 $A B$ と $C D$ を対角線にとると、別の点が出てしまう。