高次方程式｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (1) いろいろな式ア (オ)「因数定理について理解し，簡単な高次方程式について因数定理などを用いてその解を求めること。」。

0. どういうまとまりか

三次以上の方程式を高次方程式といいます。解き方の基本は、左辺を一次式や二次式の積に因数分解して「積が 0 ならどれかが 0」を使うことです。
因数分解には、三次の公式、置きかえ、因数定理（剰余の定理で余りが 0 になる場合）を使います。複素数の範囲で考えるので、虚数解も解に含めます。

方程式の形	因数分解の方法	例
$x^{3} = a^{3}$ など	三次の因数分解の公式	$x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$
$x^{4} + p x^{2} + q = 0$ （複二次式）	$x^{2} = t$ と置きかえる	$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 1)$
置きかえで分解できない四次式	平方の差 $A^{2} - B^{2}$ を作る	$x^{4} + 4 = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$
一般の三次式・四次式	因数定理で因数を見つけ、割って次数を下げる	$x^{3} - 7 x + 6 = (x - 1) (x^{2} + x - 6)$

分かれ目は次の 3 つ。

因数分解の最後に残る二次式は、実数の範囲で分解できなくても解の公式で虚数解まで出す
1 の三乗根のうち虚数のものを $ω$ とすると、 $ω^{3} = 1$ と $ω^{2} + ω + 1 = 0$ の 2 つを使って次数を下げる
係数が実数の方程式が $p + q i$ を解にもてば、 $p - q i$ も解。2 つをまとめて二次式の因数にできる

1. 因数分解による解法

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(オ)

高次方程式は、因数分解して一次・二次の方程式に分けて解きます。

高次方程式を解く基本の方針は？

左辺を一次式・二次式の積に因数分解し、 $A B = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$ を使って、一次・二次方程式に分ける

複素数の範囲で考えるので、残った二次方程式が $D < 0$ でも虚数解として求める。

因数定理を使って三次方程式 $P (x) = 0$ を解く手順は？

$P (a) = 0$ となる $a$ を探し、 $P (x)$ を $x - a$ で割って $(x - a) Q (x) = 0$ とし、二次方程式 $Q (x) = 0$ を解く

割り算は組立除法が速い。 $a$ の候補は $\pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数}$ 。

三次方程式 $x^{3} = 8$ の解は？

$x = 2, - 1 \pm 3 i$

$x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ 。 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ から $x = - 1 \pm - 3 = - 1 \pm 3 i$ 。実数解 2 だけで終わらせない。

複二次方程式 $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ はどう解くか？解は？

$x^{2} = t$ とおいて $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ を解く。解は $x = \pm 2, \pm i$

$(t - 4) (t + 1) = 0$ から $x^{2} = 4$ または $x^{2} = - 1$ 。

$x^{4} + 4$ のように、 $x^{2} = t$ と置いても因数分解できない四次式はどうするか？

$x^{2}$ の項を足して引き、平方の差 $A^{2} - B^{2}$ の形にする

$x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ 。 $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ も同じ考え方。

2. 1 の三乗根 ω

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(オ)

方程式 $x^{3} = 1$ の解を 1 の三乗根といいます。 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ なので、1 のほかに 2 つの虚数解があります。

1 の三乗根（ $x^{3} = 1$ の解）は？

$1, \frac{- 1 + 3 i}{2}, \frac{- 1 - 3 i}{2}$

虚数の 2 つは $x^{2} + x + 1 = 0$ の解。そのうちの一方を $ω$ （オメガ）で表す。

1 の三乗根のうち虚数のものを $ω$ とすると、成り立つ 2 つの式は？

$ω^{3} = 1$ 、 $ω^{2} + ω + 1 = 0$

$ω$ は $x^{3} = 1$ の解で、しかも $x^{2} + x + 1 = 0$ の解だから。 $ω^{3} = 1$ で指数を下げ、 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ で 2 次を 1 次に直す。

$ω^{2}$ と $ω$ にはどんな関係があるか？

$ω^{2}$ は $ω$ の共役複素数で、 $ω^{2}$ も 1 の三乗根になる

$x^{2} + x + 1 = 0$ の 2 つの解が $ω$ と $ω^{2}$ 。解と係数の関係から $ω + ω^{2} = - 1$ 、 $ω \cdot ω^{2} = 1$ とも読める。

$ω^{100}$ と $ω^{10} + ω^{5}$ を簡単にすると？

$ω^{100} = ω$ 、 $ω^{10} + ω^{5} = - 1$

$100 = 3 \times 33 + 1$ なので $ω^{100} = (ω^{3})^{33} ω = ω$ 。 $ω^{10} + ω^{5} = ω + ω^{2} = - 1$ 。指数は 3 で割った余りだけを見る。

3. 虚数解をもつ実数係数の方程式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(オ)

係数が実数の方程式では、虚数解は共役な複素数の組で現れます。これを使うと、1 つの虚数解から方程式の係数が決まります。

係数が実数の高次方程式が虚数解 $p + q i$ （ $p$ 、 $q$ は実数、 $q \neq = 0$ ）をもつとき、ほかに必ずもつ解は？

共役複素数 $p - q i$

2 つをまとめると、左辺は二次式 $(x - p)^{2} + q^{2}$ を因数にもつ。例えば $1 \pm i$ なら $x^{2} - 2 x + 2$ 。

「係数が実数の三次方程式が $1 + i$ を解にもつ」とき、係数を決める 2 つの方法は？

$x = 1 + i$ を代入して「実部 $= 0$ かつ虚部 $= 0$ 」とするか、 $1 - i$ も解であることから左辺が $x^{2} - 2 x + 2$ で割り切れるとする

どちらも、係数が実数であることを使っている。

【発展・数学Ⅱの範囲外】三次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の 3 つの解を $α$ 、 $β$ 、 $γ$ とするとき、解と係数の関係は？

$α + β + γ = - \frac{b}{a}$ 、 $α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}$ 、 $α β γ = - \frac{d}{a}$

$a (x - α) (x - β) (x - γ)$ を展開して係数を比べると出る。学習指導要領の数学Ⅱは二次方程式の解と係数の関係までなので、復習には出さずにここに置いている。
例えば $x^{3} - 7 x + 6 = 0$ の解は 1、2、 $- 3$ で、和は 0、2 つずつの積の和は $- 7$ 、積は $- 6$ 。

練習問題

問 1　方程式 $x^{3} - 7 x + 6 = 0$ を解け。

$x = 1, 2, - 3$

方針　三次方程式は、左辺を因数分解して一次・二次の方程式に分ける。公式で分解できる形ではないので因数定理を使い、代入して 0 になる値を定数項 6 の約数から探す。

$P (x) = x^{3} - 7 x + 6$ とおく。 $P (1) = 1 - 7 + 6 = 0$ なので、 $P (x)$ は $x - 1$ を因数にもつ。
$P (x)$ を $x - 1$ で割る。 $x^{2}$ の項がないので、係数は $1, 0, - 7, 6$ と 0 を入れて並べる。組立除法で 1 を使うと $1, 1, - 6, 0$ となり、商は $x^{2} + x - 6$
よって方程式は $(x - 1) (x^{2} + x - 6) = 0$
掛けて $- 6$ 、足して 1 になる 2 数は $- 2$ と 3 なので、 $x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$ 。方程式は $(x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0$
どれかの因数が 0 になればよいので、 $x = 1, 2, - 3$

問 2　方程式 $x^{3} + 27 = 0$ を解け。

$x = - 3, \frac{3 \pm 3 3 i}{2}$

方針　 $27 = 3^{3}$ なので、左辺は $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ で因数分解できる。出てくる二次方程式は実数の範囲では解けないが、複素数の範囲で考えるので、解の公式で虚数解まで求める。

左辺を因数分解する。 $x^{3} + 27 = x^{3} + 3^{3} = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$
$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ から、 $x + 3 = 0$ または $x^{2} - 3 x + 9 = 0$
$x + 3 = 0$ から $x = - 3$
$x^{2} - 3 x + 9 = 0$ に解の公式を使う。根号の中は $(- 3)^{2} - 4 \times 1 \times 9 = 9 - 36 = - 27$ なので、 $x = \frac{3 \pm - 27}{2}$
$- 27 = 27 i = 33 i$ なので、 $x = \frac{3 \pm 3 3 i}{2}$
合わせて、 $x = - 3, \frac{3 \pm 3 3 i}{2}$

ここで間違えやすい　 $x^{3} = - 27$ から $x = - 3$ だけを答えること。複素数の範囲では、三次方程式の解は 3 個ある（重解は重ねて数える）。

問 3　方程式 $x^{4} - x^{2} - 12 = 0$ を解け。

$x = \pm 2, \pm 3 i$

方針　 $x^{4}$ と $x^{2}$ と定数だけの式（複二次式）なので、 $x^{2} = t$ とおくと $t$ の二次方程式になる。 $t$ を求めたあと、 $x^{2} = t$ に戻して $x$ を求める。

$x^{2} = t$ とおくと $x^{4} = t^{2}$ なので、方程式は $t^{2} - t - 12 = 0$
掛けて $- 12$ 、足して $- 1$ になる 2 数は $- 4$ と 3 なので、 $(t - 4) (t + 3) = 0$ 。よって $t = 4, - 3$
$t = 4$ のとき $x^{2} = 4$ なので、 $x = \pm 2$
$t = - 3$ のとき $x^{2} = - 3$ なので、 $x = \pm - 3 = \pm 3 i$
合わせて、 $x = \pm 2, \pm 3 i$

ここで間違えやすい　 $t = - 3$ を「負だから解なし」と捨てること。複素数の範囲では $x^{2} = - 3$ にも解がある。また、 $t$ の値を答えにして終わらないこと。

問 4　方程式 $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$ を解け。

$x = \frac{1}{2}, \frac{- 1 \pm 3 i}{2}$

方針　因数定理で因数を探す。最高次の係数が 2 なので、候補は $\pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数}$ 、つまり $\pm 1$ と $\pm \frac{1}{2}$ 。 $x = \frac{1}{2}$ で 0 になれば、 $2 x - 1$ を因数にもつ。

$P (x) = 2 x^{3} + x^{2} + x - 1$ とおく。 $P (1) = 2 + 1 + 1 - 1 = 3$ 、 $P (- 1) = - 2 + 1 - 1 - 1 = - 3$ で、どちらも 0 にならない。
$x = \frac{1}{2}$ を試す。 $2 \times (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{4}$ 、 $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ なので、 $P (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 0$
$P (\frac{1}{2}) = 0$ なので、 $P (x)$ は $2 x - 1$ を因数にもつ。 $2 x - 1$ で割ると商は $x^{2} + x + 1$ で、方程式は $(2 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$
確かめ: $(2 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} - x - 1 = 2 x^{3} + x^{2} + x - 1$
$2 x - 1 = 0$ から $x = \frac{1}{2}$
$x^{2} + x + 1 = 0$ に解の公式を使う。根号の中は $1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3$ なので、 $x = \frac{- 1 \pm - 3}{2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2}$

ここで間違えやすい　候補 $\pm 1$ で 0 にならないからといって、あきらめること。最高次の係数が 1 でないときは、 $\pm \frac{1}{2}$ のような分数も試す。

問 5　1 の三乗根のうち虚数であるものの 1 つを $ω$ とする。次の値を求めよ。(1) $ω^{20} + ω^{10} + 1$ 　(2) $(1 + ω) (1 + ω^{2})$

(1) 0　(2) 1

方針　 $ω$ について使えるのは $ω^{3} = 1$ と $ω^{2} + ω + 1 = 0$ の 2 つ。高い指数は $ω^{3} = 1$ で下げ（指数を 3 で割った余りだけを見る）、 $ω^{2} + ω + 1$ の形が出たら 0 に置きかえる。

(1) 指数 20 を 3 で割ると $20 = 3 \times 6 + 2$ なので、 $ω^{20} = (ω^{3})^{6} ω^{2}$ 。 $ω^{3} = 1$ だから $ω^{20} = ω^{2}$
指数 10 を 3 で割ると $10 = 3 \times 3 + 1$ なので、 $ω^{10} = (ω^{3})^{3} ω$ 。 $ω^{3} = 1$ だから $ω^{10} = ω$
よって $ω^{20} + ω^{10} + 1 = ω^{2} + ω + 1 = 0$
(2) 展開する。 $(1 + ω) (1 + ω^{2}) = 1 + ω^{2} + ω + ω^{3}$
$1 + ω + ω^{2}$ の部分は 0、 $ω^{3}$ は 1 なので、 $1 + ω + ω^{2} + ω^{3} = 0 + 1 = 1$

別解: (2) は $ω^{2} + ω + 1 = 0$ から $1 + ω = - ω^{2}$ 、 $1 + ω^{2} = - ω$ なので、 $(1 + ω) (1 + ω^{2}) = (- ω^{2}) (- ω) = ω^{3} = 1$ としてもよい。

問 6　 $a$ 、 $b$ を実数とする。三次方程式 $x^{3} + a x + b = 0$ が $1 + i$ を解にもつとき、 $a$ 、 $b$ の値と、ほかの解を求めよ。

$a = - 2$ 、 $b = 4$ 、ほかの解は $1 - i$ と $- 2$

方針　係数が実数の方程式は、虚数解 $1 + i$ をもてば、共役な $1 - i$ も解にもつ。この 2 つを解とする二次式で左辺が割り切れるので、残りの解を $c$ とおいて左辺を積の形に書き、展開して係数を比べる。

係数 $a$ 、 $b$ が実数なので、 $1 + i$ が解なら $1 - i$ も解である。
2 つの解の和は $(1 + i) + (1 - i) = 2$ 、積は $(1 + i) (1 - i) = 1 - i^{2} = 2$ 。この 2 数を解とする二次方程式は $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ なので、左辺は $x^{2} - 2 x + 2$ で割り切れる。
残りの解を $c$ とすると、 $x^{3} + a x + b = (x^{2} - 2 x + 2) (x - c)$
右辺を展開する。 $(x^{2} - 2 x + 2) (x - c) = x^{3} - c x^{2} - 2 x^{2} + 2 c x + 2 x - 2 c$
$x$ について整理すると、 $x^{3} - (c + 2) x^{2} + (2 c + 2) x - 2 c$
左辺には $x^{2}$ の項がないので、 $x^{2}$ の係数を比べて $c + 2 = 0$ 。よって $c = - 2$
$x$ の係数を比べて $a = 2 c + 2$ 。 $c = - 2$ を入れると $2 \times (- 2) + 2 = - 2$ なので、 $a = - 2$
定数項を比べて $b = - 2 c$ 。 $c = - 2$ を入れると $- 2 \times (- 2) = 4$ なので、 $b = 4$ 。ほかの解は $1 - i$ と $- 2$

別解: $x = 1 + i$ を直接代入する。 $(1 + i)^{2} = 2 i$ なので $(1 + i)^{3} = 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i$ 。方程式に代入すると $(- 2 + 2 i) + a (1 + i) + b = 0$ で、実部と虚部に分けると $(- 2 + a + b) + (2 + a) i = 0$ 。 $a$ 、 $b$ は実数なので $- 2 + a + b = 0$ かつ $2 + a = 0$ 。これを解いて $a = - 2$ 、 $b = 4$ 。このとき $x^{3} - 2 x + 4 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ となり、ほかの解は $- 2$ と $1 - i$ 。

ここで間違えやすい　「 $1 - i$ も解」と言えるのは、係数が実数だから。この条件を使ったことを書いておく。