一般角と弧度法｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (4) 三角関数ア (ア)「角の概念を一般角まで拡張する意義や弧度法による角度の表し方について理解すること」。

0. どういうまとまりか

数学Ⅰの三角比は $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ の角でした。回転の量を表すには、 $36 0^{\circ}$ を超える角や、逆向きに回った負の角も要ります。そこで、半直線の回転で角を決め直したものが一般角です。
さらに、角を「半径に対する弧の長さの比」で測る弧度法に切りかえると、角を実数として扱え、扇形の公式も簡単になります。

	度数法	弧度法
1 回転	$36 0^{\circ}$	$2 π$
半回転	$18 0^{\circ}$	$π$
一般角	$θ + 36 0^{\circ} \times n$	$θ + 2 nπ$
扇形の弧の長さ	$2 π r \times \frac{a}{360}$	$r θ$
扇形の面積	$π r^{2} \times \frac{a}{360}$	$\frac{1}{2} r^{2} θ$

（ $a$ は度数法で測った中心角、 $θ$ は弧度法で測った中心角、 $n$ は整数）

分かれ目は次の 3 つ。

動径の位置が同じでも、角は 1 つに決まらない。 $36 0^{\circ}$ （ $2 π$ ）の整数倍だけ違う角は、すべて同じ位置を表す
$18 0^{\circ} = π$ だけを覚えて換算する。度から弧度へは $\frac{π}{180}$ を掛ける
扇形の公式 $r θ$ ・ $\frac{1}{2} r^{2} θ$ は弧度法のときだけ成り立つ。度のまま代入しない

1. 一般角

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(ア)

平面上で、点 O を中心に半直線 OP を回転させるとき、OP を動径、回転の始めの位置の半直線 OX を始線といいます。回転の向きと量まで含めた角を一般角といいます。

一般角を考えるとき、動径と始線とは何か？

動径は点 O を中心に回転する半直線 OP、始線はその回転を始める位置の半直線 OX

角は「始線から動径までどれだけ回ったか」で決める。回った量が $36 0^{\circ}$ を超えてもよい。

一般角で、角の正の向きと負の向きはどちらの回転か？

正の向きは反時計回り、負の向きは時計回り

時計回りに $9 0^{\circ}$ 回った動径の表す角は $- 9 0^{\circ}$ 。

動径 OP と始線 OX のなす角の 1 つが $α$ のとき、動径 OP の表す一般角は？

$α + 36 0^{\circ} \times n$ （ $n$ は整数）

$36 0^{\circ}$ 回ると動径はもとの位置に戻るので、 $36 0^{\circ}$ の整数倍だけ違う角はすべて同じ動径を表す。

$75 0^{\circ}$ の動径と $- 30 0^{\circ}$ の動径は、それぞれ $0^{\circ}$ 以上 $36 0^{\circ}$ 未満のどの角の動径と同じ位置にあるか？

$75 0^{\circ}$ は $3 0^{\circ}$ 、 $- 30 0^{\circ}$ は $6 0^{\circ}$

$75 0^{\circ} = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \times 2$ 、 $- 30 0^{\circ} = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \times (- 1)$ 。

一般角 $θ$ の動径が第何象限にあるかを調べるには、どうするか？

$36 0^{\circ}$ の整数倍を足し引きして $0^{\circ}$ 以上 $36 0^{\circ}$ 未満の角に直し、その角で判断する

動径が座標軸に重なるとき（ $9 0^{\circ}$ の整数倍）は、どの象限にも属さない。

2. 弧度法

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(ア)

半径 $r$ の円で、長さ $r$ の弧に対する中心角は、 $r$ によらず一定です。この角を 1 ラジアンとし、角の大きさを「弧の長さ÷半径」で表す方法を弧度法といいます。

弧度法で、1 ラジアンとはどんな角か？

半径と同じ長さの弧に対する中心角

円の大きさによらず同じ角になるので、単位に使える。弧度法ではふつう単位の「ラジアン」を省略して書く。

度数法と弧度法の換算のもとになる関係は？

$18 0^{\circ} = π$ （ラジアン）

半径 $r$ の円の半周は $π r$ なので、 $18 0^{\circ}$ は $π r \div r = π$ 。度から弧度へは $\frac{π}{180}$ を、弧度から度へは $\frac{180}{π}$ を掛ける。1 ラジアンは約 $57. 3^{\circ}$ 。

$3 0^{\circ}$ 、 $4 5^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ 、 $9 0^{\circ}$ 、 $13 5^{\circ}$ を弧度法で表すと？

$\frac{π}{6}$ 、 $\frac{π}{4}$ 、 $\frac{π}{3}$ 、 $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{3}{4} π$

$13 5^{\circ}$ なら $135 \times \frac{π}{180} = \frac{3}{4} π$ 。 $\frac{π}{6}$ 、 $\frac{π}{4}$ 、 $\frac{π}{3}$ の倍数で考えると速い。

弧度法で、動径のなす角の 1 つが $α$ のときの一般角は？

$α + 2 nπ$ （ $n$ は整数）

$36 0^{\circ}$ が $2 π$ にあたる。度数法と弧度法を 1 つの式に混ぜない（ $α + 36 0^{\circ} n$ の $α$ を弧度で書かない）。

3. 扇形の弧の長さと面積

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(ア)

弧の長さは中心角に比例するので、弧度法で測った中心角を使うと、扇形の公式から $360$ や $π$ の割り算が消えます。

半径 $r$ 、中心角 $θ$ （弧度法）の扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ は？

$l = r θ$ 、 $S = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} l r$

中心角 $2 π$ で円全体（弧の長さ $2 π r$ 、面積 $π r^{2}$ ）になることから、比例で出る。 $θ$ は必ず弧度法で入れる。

角を度数法から弧度法に切りかえると、何がよいか？

角を「長さ÷長さ」の実数として扱え、扇形の公式などが簡単になる

三角関数を実数 $θ$ の関数として考え、グラフの横軸にも同じ目盛りで角をとれる。

練習問題

問 1　 $100 0^{\circ}$ 、 $- 50 0^{\circ}$ の動径は、それぞれ第何象限にあるか。また、 $0^{\circ}$ 以上 $36 0^{\circ}$ 未満で同じ動径を表す角を答えよ。

$100 0^{\circ}$ は $28 0^{\circ}$ と同じで第 4 象限。 $- 50 0^{\circ}$ は $22 0^{\circ}$ と同じで第 3 象限

方針　 $36 0^{\circ}$ 回ると動径はもとの位置に戻るので、 $36 0^{\circ}$ の整数倍を足し引きして $0^{\circ}$ 以上 $36 0^{\circ}$ 未満の角に直す。直した角が $9 0^{\circ}$ きざみのどの区間に入るかで、象限が決まる。

$100 0^{\circ}$ は大きすぎるので、 $36 0^{\circ}$ を引けるだけ引く。 $1000 \div 360$ は 2 あまり 280 なので、 $100 0^{\circ} = 28 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \times 2$
$27 0^{\circ} < 28 0^{\circ} < 36 0^{\circ}$ なので、 $28 0^{\circ}$ の動径は第 4 象限にある。 $100 0^{\circ}$ の動径も同じ位置。
$- 50 0^{\circ}$ は負なので、 $0^{\circ}$ 以上になるまで $36 0^{\circ}$ を足す。1 回足すと $- 14 0^{\circ}$ 、2 回足すと $22 0^{\circ}$ なので、 $- 50 0^{\circ} = 22 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \times (- 2)$
$18 0^{\circ} < 22 0^{\circ} < 27 0^{\circ}$ なので、 $22 0^{\circ}$ の動径は第 3 象限にある。 $- 50 0^{\circ}$ の動径も同じ位置。

ここで間違えやすい　負の角を「 $50 0^{\circ}$ と同じ」と見て $50 0^{\circ} - 36 0^{\circ}$ の $14 0^{\circ}$ にしない。 $- 50 0^{\circ}$ は時計回りに回った角で、 $50 0^{\circ}$ とは動径の位置が違う。

問 2　 $21 0^{\circ}$ を弧度法で、 $\frac{5}{12} π$ と $- \frac{3}{4} π$ を度数法で表せ。

$21 0^{\circ}$ は $\frac{7}{6} π$ 。 $\frac{5}{12} π$ は $7 5^{\circ}$ 、 $- \frac{3}{4} π$ は $- 13 5^{\circ}$

方針　換算のもとは $18 0^{\circ} = π$ の 1 つだけ。度から弧度へは $\frac{π}{180}$ を掛け、弧度から度へは $π$ を $18 0^{\circ}$ におきかえる。

度から弧度へ。 $210$ に $\frac{π}{180}$ を掛けて、 $210 \times \frac{π}{180} = \frac{210}{180} π$
分母と分子を 30 で割って約分すると $\frac{210}{180} = \frac{7}{6}$ なので、 $21 0^{\circ}$ は $\frac{7}{6} π$
弧度から度へ。 $\frac{5}{12} π$ の $π$ を $18 0^{\circ}$ におきかえて、 $\frac{5}{12} \times 18 0^{\circ} = 5 \times 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$
$- \frac{3}{4} π$ も同じように、 $- \frac{3}{4} \times 18 0^{\circ} = - 3 \times 4 5^{\circ} = - 13 5^{\circ}$ 。負の符号はそのまま残る。

問 3　半径 6、中心角 $\frac{2}{3} π$ の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

弧の長さ $4 π$ 、面積 $12 π$

方針　中心角が弧度法で与えられているので、扇形の公式 $l = r θ$ 、 $S = \frac{1}{2} r^{2} θ$ にそのまま入れられる。分かっているのは $r = 6$ と $θ = \frac{2}{3} π$ 。

弧の長さは $l = r θ$ に入れて、 $6 \times \frac{2}{3} π = 4 π$
面積は $S = \frac{1}{2} r^{2} θ$ に入れる。先に $\frac{1}{2} \times 6^{2} = 18$ を計算しておく。
$18 \times \frac{2}{3} π = 12 π$ なので、面積は $12 π$

確かめ: 面積は $\frac{1}{2} l r$ でも出る。 $\frac{1}{2} \times 4 π \times 6 = 12 π$ で同じになる。

問 4　半径 4、弧の長さ 5 の扇形の中心角と面積を求めよ。

中心角 $\frac{5}{4}$ （ラジアン）、面積 10

方針　分かっているのは半径 $r = 4$ と弧の長さ $l = 5$ 。中心角は $l = r θ$ を $θ$ について解けば出る。面積は、 $l$ と $r$ だけで書ける $S = \frac{1}{2} l r$ を使えば、中心角を経由せずに出せる。

$l = r θ$ に $l = 5$ 、 $r = 4$ を入れると、 $5 = 4 θ$
両辺を 4 で割って、 $θ = \frac{5}{4}$
面積は $S = \frac{1}{2} l r$ に入れて、 $\frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$

確かめ: $S = \frac{1}{2} r^{2} θ$ でも、 $\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{5}{4} = 10$ で同じになる。

ここで間違えやすい　弧度法の角に $π$ が付くとは限らない。 $\frac{5}{4}$ ラジアン（約 $7 2^{\circ}$ ）がそのまま答えで、 $\frac{5}{4} π$ としない。

問 5　周の長さが 20 の扇形のうち、面積が最大になるものの半径・中心角と、そのときの面積を求めよ。

半径 5、中心角 2（ラジアン）のとき、面積は最大で 25

方針　扇形の周は「半径 2 本と弧」でできている。周の長さの条件から弧の長さ $l$ を半径 $r$ で表し、面積 $S = \frac{1}{2} l r$ を $r$ だけの二次関数にして、平方完成で最大値を読む。

半径を $r$ 、弧の長さを $l$ とする。周の長さが 20 なので、 $2 r + l = 20$
$l$ について解くと、 $l = 20 - 2 r$
$r > 0$ で、弧の長さも $l > 0$ つまり $20 - 2 r > 0$ なので、 $r$ の範囲は $0 < r < 10$
面積の式に入れる。 $S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} r (20 - 2 r) = 10 r - r^{2}$
平方完成する。 $S = - (r^{2} - 10 r) = - (r - 5)^{2} + 25$
$r = 5$ は $0 < r < 10$ に入っているので、 $r = 5$ のとき $S$ は最大で 25
このとき弧の長さは $l = 20 - 2 \times 5 = 10$
中心角は $l = r θ$ から $θ = \frac{l}{r}$ で、 $\frac{10}{5} = 2$

ここで間違えやすい　周の長さを弧の長さだけ（ $l = 20$ ）としない。半径 2 本ぶんの $2 r$ が入る。