三角関数の定義と相互関係｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (4) 三角関数ア (イ)「三角関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」、(ウ)「三角関数の相互関係などの基本的な性質を理解すること」。

0. どういうまとまりか

数学Ⅰでは $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ の三角比を、円の上の点の座標で決めました。同じ決め方を一般角 $θ$ にそのまま広げたものが三角関数です。
定義が座標なので、値の符号は動径のある象限で決まり、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ などの相互関係も、どの角でも同じ形で成り立ちます。

動径のある象限	第 1	第 2	第 3	第 4
$sin θ$ （ $y$ 座標）	$+$	$+$	$-$	$-$
$cos θ$ （ $x$ 座標）	$+$	$-$	$-$	$+$
$tan θ$ （傾き）	$+$	$-$	$+$	$-$

分かれ目は次の 3 つ。

単位円の上の点は $(cos θ, sin θ)$ 、 $tan θ$ は動径の傾き
相互関係で値を出すと符号が決まらない。符号は $θ$ の範囲（象限）で決める
$- θ$ ・ $θ + π$ ・ $\frac{π}{2} - θ$ の公式は、単位円の上の点の対称移動として思い出す

1. 一般角の三角関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(イ)

原点 O を中心とする半径 $r$ の円と、角 $θ$ の動径の交点を P $(x, y)$ とします。三角比と同じ比で、一般角 $θ$ の正弦・余弦・正接を決めます。

原点中心・半径 $r$ の円と角 $θ$ の動径の交点を P $(x, y)$ とするとき、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ の定義は？

$sin θ = \frac{y}{r}$ 、 $cos θ = \frac{x}{r}$ 、 $tan θ = \frac{y}{x}$

比は $r$ によらないので、 $r = 1$ （単位円）で考えることが多い。 $x = 0$ になる角（ $θ = \frac{π}{2} + nπ$ ）では $tan θ$ は定義されない。

単位円を使うと、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ はそれぞれ何として読めるか？

$sin θ$ は P の $y$ 座標、 $cos θ$ は P の $x$ 座標、 $tan θ$ は直線 OP の傾き

$tan θ$ は、直線 OP と直線 $x = 1$ の交点 T の $y$ 座標としても読める。

$sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ のとりうる値の範囲は？

$- 1 ≦ sin θ ≦ 1$ 、 $- 1 ≦ cos θ ≦ 1$ 。 $tan θ$ はすべての実数

単位円の上の点の座標は $- 1$ から $1$ まで。傾きはどんな実数にもなる。

$θ = \frac{4}{3} π$ のとき、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ の値は？

$sin θ = - \frac{3}{2}$ 、 $cos θ = - \frac{1}{2}$ 、 $tan θ = 3$

$\frac{4}{3} π$ の動径は第 3 象限にあり、単位円の上の点は $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ 。 $x$ 軸の負の向きと $\frac{π}{3}$ をなす。

2. 三角関数の相互関係

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(ウ)

単位円の上の点 $(cos θ, sin θ)$ が $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たすことから、三角関数の相互関係が出ます。三角比のときと同じ式が、一般角でもそのまま成り立ちます。

三角関数の相互関係の 3 つの式は？

$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ 、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 、 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$

3 つめは、2 つめの両辺を $cos^{2} θ$ で割ったもの。

$\frac{π}{2} < θ < π$ で $sin θ = \frac{3}{5}$ のとき、 $cos θ$ と $tan θ$ は？

$cos θ = - \frac{4}{5}$ 、 $tan θ = - \frac{3}{4}$

$cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ 。 $θ$ は第 2 象限の角なので $cos θ < 0$ 。

相互関係を使って三角関数の値を求めるとき、最後に何で符号を決めるか？

$θ$ の範囲（動径のある象限）

$cos^{2} θ$ や $sin^{2} θ$ からは $\pm$ の 2 つが出る。範囲が書いていなければ、象限ごとに場合を分ける。

$sin θ + cos θ$ の値が分かっているとき、 $sin θ cos θ$ はどう求めるか？

両辺を 2 乗し、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使う

$(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ なので、 $sin θ cos θ = \frac{( s i n θ + c o s θ ) ^{2} - 1}{2}$ 。

3. $- θ$ 、 $θ + π$ 、 $\frac{π}{2} - θ$ の三角関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(ウ)

単位円の上で、角 $θ$ の点と、角 $- θ$ ・ $θ + π$ ・ $\frac{π}{2} - θ$ の点は、それぞれ $x$ 軸・原点・直線 $y = x$ について対称です。これも相互関係と並ぶ基本的な性質です。

$θ + 2 nπ$ と $- θ$ の三角関数の公式は？

$sin (θ + 2 nπ) = sin θ$ 、 $cos (θ + 2 nπ) = cos θ$ 、 $tan (θ + 2 nπ) = tan θ$ 。 $sin (- θ) = - sin θ$ 、 $cos (- θ) = cos θ$ 、 $tan (- θ) = - tan θ$

$- θ$ の点は $θ$ の点を $x$ 軸について折り返したもので、 $y$ 座標（sin）だけ符号が変わる。

$θ + π$ の三角関数の公式は？

$sin (θ + π) = - sin θ$ 、 $cos (θ + π) = - cos θ$ 、 $tan (θ + π) = tan θ$

$θ + π$ の点は $θ$ の点と原点について対称。座標の符号が両方変わるので、傾き（tan）は変わらない。

$\frac{π}{2} - θ$ の三角関数の公式は？

$sin (\frac{π}{2} - θ) = cos θ$ 、 $cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ$ 、 $tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{1}{t a n θ}$

$\frac{π}{2} - θ$ の点は $θ$ の点と直線 $y = x$ について対称で、 $x$ 座標と $y$ 座標が入れかわる。 $π - θ$ は $sin (π - θ) = sin θ$ 、 $cos (π - θ) = - cos θ$ 。

練習問題

問 1　 $θ = \frac{11}{6} π$ のとき、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ の値を求めよ。

$sin θ = - \frac{1}{2}$ 、 $cos θ = \frac{3}{2}$ 、 $tan θ = - \frac{3}{3}$

方針　三角関数の値は、単位円の上の点の座標で読む（ $sin$ は $y$ 座標、 $cos$ は $x$ 座標、 $tan$ は傾き）。そのために、まず動径がどの象限にあり、 $x$ 軸と何の角をなすかを調べる。

$\frac{11}{6} π = 2 π - \frac{π}{6}$ なので、1 回転に $\frac{π}{6}$ だけ足りない。動径は第 4 象限にあり、 $x$ 軸の正の向きから時計回りに $\frac{π}{6}$ のところにある。
$\frac{π}{6}$ の点は $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 。これを $x$ 軸について折り返すと、求める点は $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$
$y$ 座標から $sin θ = - \frac{1}{2}$ 、 $x$ 座標から $cos θ = \frac{3}{2}$
$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ なので、 $tan θ = - \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}$
分母と分子に $3$ を掛けて有理化すると、 $tan θ = - \frac{3}{3}$

問 2　 $π < θ < \frac{3}{2} π$ で $cos θ = - \frac{2}{3}$ のとき、 $sin θ$ 、 $tan θ$ の値を求めよ。

$sin θ = - \frac{5}{3}$ 、 $tan θ = \frac{5}{2}$

方針　 $cos θ$ が分かっていて $sin θ$ を求めるので、2 つを結ぶ $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使う。2 乗から求めると $\pm$ の 2 つが出るので、符号は $θ$ の象限で決める。 $tan θ$ は $\frac{s i n θ}{c o s θ}$ で出す。

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ に $cos θ = - \frac{2}{3}$ を入れる。 $(- \frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ なので、 $sin^{2} θ = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
平方根をとると、 $sin θ = \pm \frac{5}{3}$
$π < θ < \frac{3}{2} π$ から $θ$ は第 3 象限の角で、 $y$ 座標は負。よって $sin θ = - \frac{5}{3}$
$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ に入れる。 $tan θ = (- \frac{5}{3}) \div (- \frac{2}{3})$
負どうしの割り算なので正になり、 $\frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

ここで間違えやすい　 $sin^{2} θ = \frac{5}{9}$ から $sin θ = \frac{5}{3}$ と正のほうだけをとらない。第 3 象限では $sin$ も $cos$ も負で、 $tan$ だけが正になる。

問 3　 $\frac{3}{2} π < θ < 2 π$ で $tan θ = - 2$ のとき、 $cos θ$ 、 $sin θ$ の値を求めよ。

$cos θ = \frac{5}{5}$ 、 $sin θ = - \frac{2 5}{5}$

方針　 $tan θ$ が分かっていて $cos θ$ を求めるので、この 2 つを結ぶ $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ を使う。 $cos θ$ の符号は象限で決める。 $sin θ$ は、 $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ を $sin θ = tan θ cos θ$ と書きかえて出す。

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ に $tan θ = - 2$ を入れる。 $(- 2)^{2} = 4$ なので、 $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = 1 + 4 = 5$
逆数をとって、 $cos^{2} θ = \frac{1}{5}$
平方根をとると、 $cos θ = \pm \frac{1}{5}$
$\frac{3}{2} π < θ < 2 π$ から $θ$ は第 4 象限の角で、 $x$ 座標は正。よって $cos θ = \frac{1}{5}$ で、有理化すると $cos θ = \frac{5}{5}$
$sin θ = tan θ cos θ$ に入れて、 $sin θ = - 2 \times \frac{5}{5} = - \frac{2 5}{5}$

確かめ: 第 4 象限では $sin θ < 0$ なので、符号も合っている。

問 4　 $sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ のとき、 $sin θ cos θ$ と $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ の値を求めよ。

$sin θ cos θ = - \frac{3}{8}$ 、 $sin^{3} θ + cos^{3} θ = \frac{11}{16}$

方針　分かっているのは和 $sin θ + cos θ$ だけ。和を 2 乗すると $sin^{2} θ + cos^{2} θ$ （これは 1）と積 $sin θ cos θ$ が現れるので、積が求まる。3 乗の和は、因数分解して「和」と「積」だけの式に直す。

$sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ の両辺を 2 乗する。右辺は $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$
左辺を展開すると、 $sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ$ 。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ なので、 $1 + 2 sin θ cos θ$ になる。
よって $1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{4}$ 。1 を移項して、 $2 sin θ cos θ = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$
両辺を 2 で割って、 $sin θ cos θ = - \frac{3}{8}$
3 乗の和は $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ で因数分解する。 $sin^{3} θ + cos^{3} θ = (sin θ + cos θ) (sin^{2} θ - sin θ cos θ + cos^{2} θ)$
後ろの括弧は、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使うと $1 - sin θ cos θ$ 。ここに積の値を入れると、 $1 + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$
和の $\frac{1}{2}$ と掛けて、 $\frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$

ここで間違えやすい　6 で $- sin θ cos θ$ に負の値を入れるので、引き算が足し算になる。 $1 - \frac{3}{8}$ としない。

問 5　 $sin (π + θ) + cos (\frac{π}{2} - θ) + tan (π - θ) cos θ$ を簡単にせよ。

$- sin θ$

方針　3 つの項の角が $π + θ$ 、 $\frac{π}{2} - θ$ 、 $π - θ$ とばらばらなので、それぞれの公式で角を $θ$ にそろえてから足す。 $tan$ は $\frac{s i n}{c o s}$ に直すと、掛けてある $cos θ$ と約分できる。

1 つめ。 $θ + π$ の点は $θ$ の点と原点について対称なので、 $sin (π + θ) = - sin θ$
2 つめ。 $\frac{π}{2} - θ$ の点は $x$ 座標と $y$ 座標が入れかわるので、 $cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ$
3 つめ。 $π - θ$ では $sin (π - θ) = sin θ$ 、 $cos (π - θ) = - cos θ$ なので、割ると $tan (π - θ) = - tan θ$
これに $cos θ$ を掛ける。 $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ なので、 $tan (π - θ) cos θ = - \frac{s i n θ}{c o s θ} \cdot cos θ = - sin θ$
3 つを足すと、 $- sin θ + sin θ - sin θ = - sin θ$

三角関数の定義と相互関係

0. どういうまとまりか

1. 一般角の三角関数

2. 三角関数の相互関係

3. −θ、θ+π、2π​−θ の三角関数

練習問題

3. $- θ$ 、 $θ + π$ 、 $\frac{π}{2} - θ$ の三角関数