三角関数のグラフ｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (4) 三角関数ア (イ)「三角関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。

0. どういうまとまりか

角 $θ$ を弧度法の実数とみると、 $sin θ$ などは $θ$ の関数になり、横軸に $θ$ をとってグラフがかけます。
動径が 1 回転するともとの位置に戻るので、グラフは同じ形の繰り返しになります。この繰り返しの長さが周期で、三角関数の一番の特徴です。

	$y = sin θ$	$y = cos θ$	$y = tan θ$
値域	$- 1 ≦ y ≦ 1$	$- 1 ≦ y ≦ 1$	実数全体
周期	$2 π$	$2 π$	$π$
対称性	原点対称（奇関数）	$y$ 軸対称（偶関数）	原点対称（奇関数）
$θ = 0$ での値	0	1	0

分かれ目は次の 3 つ。

$sin k θ$ の周期は $\frac{2 π}{k}$ （ $k > 0$ ）。 $k$ 倍すると周期は $\frac{1}{k}$ 倍に縮む
$y = sin (k θ - c)$ は $k$ でくくってから平行移動の量を読む。 $sin 2 (θ - \frac{π}{6})$ の移動は $\frac{π}{6}$
tan だけ周期が $π$ で、 $θ = \frac{π}{2} + nπ$ に漸近線がある

1. $y = sin θ$ 、 $y = cos θ$ 、 $y = tan θ$ のグラフ

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(イ)

単位円の上の点が回るにつれて、 $y$ 座標（sin）と $x$ 座標（cos）は $- 1$ と $1$ の間を行き来し、傾き（tan）はすべての実数をとります。

$y = sin θ$ のグラフ（正弦曲線）の特徴は？

$- 1 ≦ y ≦ 1$ の範囲で波打つ曲線で、周期は $2 π$ 。原点を通り、 $θ = \frac{π}{2}$ で最大値 1、 $θ = \frac{3}{2} π$ で最小値 $- 1$

$0 ≦ θ ≦ 2 π$ の形が、 $2 π$ ごとに左右へ繰り返される。

$y = cos θ$ のグラフは、 $y = sin θ$ のグラフとどういう関係にあるか？

$y = sin θ$ のグラフを $θ$ 軸方向に $- \frac{π}{2}$ だけ平行移動したもの

$cos θ = sin (θ + \frac{π}{2})$ だから。 $θ = 0$ で最大値 1 をとる。

$y = tan θ$ のグラフの周期と漸近線は？

周期は $π$ 。直線 $θ = \frac{π}{2} + nπ$ （ $n$ は整数）が漸近線

$tan (θ + π) = tan θ$ なので $π$ ごとに繰り返す。 $θ$ が $\frac{π}{2}$ に近づくと $cos θ$ が 0 に近づき、 $tan θ$ の絶対値が限りなく大きくなる。

関数 $f (θ)$ の周期とは何か？

すべての $θ$ で $f (θ + p) = f (θ)$ となる 0 でない定数 $p$ のうち、正で最小のもの

$sin θ$ は $4 π$ ずらしても同じ値だが、周期というときは最小の $2 π$ を指す。

$y = sin θ$ 、 $y = cos θ$ 、 $y = tan θ$ は、奇関数・偶関数のどちらか？

$sin θ$ と $tan θ$ は奇関数（グラフが原点対称）、 $cos θ$ は偶関数（グラフが $y$ 軸対称）

$sin (- θ) = - sin θ$ 、 $cos (- θ) = cos θ$ 、 $tan (- θ) = - tan θ$ から。

2. 拡大・縮小と平行移動

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(イ)

$y = a sin k (θ - p)$ の形は、 $y = sin θ$ のグラフを、 $y$ 軸方向に $a$ 倍、 $θ$ 軸方向に $\frac{1}{k}$ 倍し、 $θ$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものです。

$y = a sin θ$ （ $a > 0$ ）のグラフは $y = sin θ$ のグラフをどうしたものか？値域と周期は？

$y$ 軸方向に $a$ 倍に拡大・縮小したもの。値域は $- a ≦ y ≦ a$ 、周期は $2 π$ のまま

縦に伸ばしても、繰り返しの長さは変わらない。

$y = sin k θ$ （ $k > 0$ ）のグラフは $y = sin θ$ のグラフをどうしたものか？周期は？

$θ$ 軸方向に $\frac{1}{k}$ 倍に拡大・縮小したもの。周期は $\frac{2 π}{k}$

$k θ$ が $2 π$ 進む間に $θ$ は $\frac{2 π}{k}$ しか進まない。 $y = tan k θ$ の周期は $\frac{π}{k}$ 。

$y = sin (θ - p)$ のグラフは $y = sin θ$ のグラフをどうしたものか？

$θ$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したもの

二次関数の $y = (x - p)^{2}$ と同じで、 $θ$ を $θ - p$ におきかえると右へ $p$ 動く。

$y = sin (2 θ - \frac{π}{3})$ のグラフは、 $y = sin 2 θ$ のグラフを $θ$ 軸方向にいくら平行移動したものか？

$\frac{π}{6}$

$2 θ - \frac{π}{3} = 2 (θ - \frac{π}{6})$ と $θ$ の係数でくくってから読む。 $\frac{π}{3}$ と答えるのは誤り。

$y = 3 sin \frac{θ}{2}$ の値域と周期は？

値域は $- 3 ≦ y ≦ 3$ 、周期は $4 π$

$y$ 軸方向に 3 倍で値域が決まり、 $k = \frac{1}{2}$ なので周期は $2 π \div \frac{1}{2} = 4 π$ 。

練習問題

問 1　 $y = 2 cos 3 θ$ の周期と値域を求めよ。

周期 $\frac{2}{3} π$ 、値域 $- 2 ≦ y ≦ 2$

方針　 $y = a cos k θ$ は、 $y = cos θ$ のグラフを $y$ 軸方向に $a$ 倍、 $θ$ 軸方向に $\frac{1}{k}$ 倍したもの。周期は $θ$ の係数 $k$ だけで、値域は前の係数 $a$ だけで決まるので、別々に読む。

$θ$ の係数は $k = 3$ 。 $3 θ$ が $2 π$ 進む間に $θ$ は $\frac{2 π}{3}$ しか進まないので、周期は $\frac{2}{3} π$
$cos 3 θ$ のとりうる値は、 $- 1 ≦ cos 3 θ ≦ 1$
各辺を 2 倍すると $- 2 ≦ 2 cos 3 θ ≦ 2$ なので、値域は $- 2 ≦ y ≦ 2$

ここで間違えやすい　周期を $2 π \times 3$ の $6 π$ としない。 $θ$ の係数が大きいほど波は細かくなり、周期は短くなる。

問 2　 $y = sin (2 θ + \frac{π}{2})$ のグラフは、 $y = sin 2 θ$ のグラフをどのように平行移動したものか。また、周期を求めよ。

$θ$ 軸方向に $- \frac{π}{4}$ だけ平行移動したもの。周期は $π$

方針　平行移動の量は「 $θ$ を $θ - p$ におきかえた」ときの $p$ である。 $θ$ に係数 2 が付いているので、まず 2 でくくって $θ - p$ の形を作ってから読む。周期は $θ$ の係数から決まる。

$θ$ の係数 2 でくくる。 $2 θ + \frac{π}{2} = 2 (θ + \frac{π}{4})$
$θ + \frac{π}{4}$ は $θ - (- \frac{π}{4})$ のことなので、 $y = sin 2 θ$ の $θ$ を $θ - (- \frac{π}{4})$ におきかえた式になっている。
よって、 $θ$ 軸方向に $- \frac{π}{4}$ だけ平行移動したもの（左へ $\frac{π}{4}$ ）。
周期は $θ$ の係数が 2 なので、 $2 π \div 2 = π$ 。平行移動しても周期は変わらない。

なお、 $sin (2 θ + \frac{π}{2}) = cos 2 θ$ でもある。

ここで間違えやすい　式に見えている $\frac{π}{2}$ をそのまま読んで「 $- \frac{π}{2}$ の移動」としない。くくる前の数は移動の量ではない。

問 3　 $y = 3 sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6})$ の周期を求めよ。また、 $y = 3 sin \frac{θ}{2}$ のグラフをどのように平行移動したものか。 $0 ≦ θ < 4 π$ で最大値をとる $θ$ も求めよ。

周期 $4 π$ 。 $θ$ 軸方向に $\frac{π}{3}$ だけ平行移動したもの。 $θ = \frac{4}{3} π$ で最大値 3

方針　 $θ$ の係数 $\frac{1}{2}$ でくくると、平行移動の量が読める。周期は係数 $\frac{1}{2}$ から決まる。最大値をとる $θ$ は、 $sin$ の中身が「 $sin$ が 1 になる角」になるところを探す。

$θ$ の係数 $\frac{1}{2}$ でくくる。 $\frac{π}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ なので、 $\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{1}{2} (θ - \frac{π}{3})$
$y = 3 sin \frac{θ}{2}$ の $θ$ を $θ - \frac{π}{3}$ におきかえた式なので、 $θ$ 軸方向に $\frac{π}{3}$ だけ平行移動したもの。
周期は $θ$ の係数が $\frac{1}{2}$ なので、 $2 π \div \frac{1}{2} = 4 π$
$sin$ の最大値は 1 なので、 $y$ の最大値は $3 \times 1 = 3$ 。 $sin$ の中身を $t = \frac{θ}{2} - \frac{π}{6}$ とおき、 $sin t = 1$ となる $t$ を探す。
$0 ≦ θ < 4 π$ を 2 で割ると $0 ≦ \frac{θ}{2} < 2 π$ 。各辺から $\frac{π}{6}$ を引いて、 $- \frac{π}{6} ≦ t < \frac{11}{6} π$
この範囲で $sin t = 1$ となるのは $t = \frac{π}{2}$ だけ。つまり $\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$
$\frac{π}{6}$ を移項して、 $\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6} = \frac{2}{3} π$
両辺を 2 倍して、 $θ = \frac{4}{3} π$

ここで間違えやすい　移動の量を、式に見えている $\frac{π}{6}$ と読まない。くくったあとの $\frac{π}{3}$ が移動の量。

問 4　 $y = tan (θ - \frac{π}{4})$ の周期と、漸近線の方程式を求めよ。

周期 $π$ 。漸近線は直線 $θ = \frac{3}{4} π + nπ$ （ $n$ は整数）

方針　 $y = tan θ$ の $θ$ を $θ - \frac{π}{4}$ におきかえた式なので、 $y = tan θ$ のグラフを平行移動したものと見る。平行移動では周期は変わらず、漸近線はグラフと一緒に動く。

$y = tan (θ - \frac{π}{4})$ は、 $y = tan θ$ のグラフを $θ$ 軸方向に $\frac{π}{4}$ だけ平行移動したもの。
$θ$ の係数は 1 のままなので、周期は $y = tan θ$ と同じ $π$
$y = tan θ$ の漸近線は $θ = \frac{π}{2} + nπ$ 。いまは $tan$ の中身がこの値になるところが漸近線なので、 $θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + nπ$
$\frac{π}{4}$ を移項して、 $θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4} + nπ = \frac{3}{4} π + nπ$ （ $n$ は整数）

ここで間違えやすい　漸近線を動かす向きを逆にして $θ = \frac{π}{4} + nπ$ としない。グラフが右へ $\frac{π}{4}$ 動けば、漸近線も右へ $\frac{π}{4}$ 動く。

問 5　次の関数は奇関数・偶関数・どちらでもないのどれか。(1) $f (θ) = sin θ cos θ$ 　(2) $g (θ) = sin^{2} θ$ 　(3) $h (θ) = sin θ + cos θ$

(1) 奇関数　(2) 偶関数　(3) どちらでもない

方針　奇関数か偶関数かは、 $θ$ を $- θ$ におきかえた式をもとの式と比べて決める。もとと同じなら偶関数、符号だけが反対なら奇関数。おきかえには $sin (- θ) = - sin θ$ 、 $cos (- θ) = cos θ$ を使う。

(1) $θ$ を $- θ$ におきかえる。 $f (- θ) = sin (- θ) cos (- θ) = (- sin θ) cos θ = - sin θ cos θ$
これは $- f (θ)$ なので、 $f (- θ) = - f (θ)$ 。奇関数。
(2) 同じようにおきかえる。 $g (- θ) = {sin (- θ)}^{2} = (- sin θ)^{2} = sin^{2} θ$
これは $g (θ)$ そのものなので、 $g (- θ) = g (θ)$ 。偶関数。
(3) おきかえると、 $h (- θ) = sin (- θ) + cos (- θ) = - sin θ + cos θ$
$h (θ) = sin θ + cos θ$ とも、 $- h (θ) = - sin θ - cos θ$ とも式の形が違う。本当に一致しないことを、具体的な角 $θ = \frac{π}{4}$ で確かめる。
$h (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2$ 、 $h (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 0$
0 は $2$ とも $- 2$ とも等しくないので、奇関数でも偶関数でもない。

ここで間違えやすい　奇関数（ $sin θ$ ）と偶関数（ $cos θ$ ）を足したものは、ふつうどちらにもならない。一方、(1) のように奇関数と偶関数を掛けたものは奇関数になる。

三角関数のグラフ

0. どういうまとまりか

1. y=sinθ、y=cosθ、y=tanθ のグラフ

2. 拡大・縮小と平行移動

練習問題

1. $y = sin θ$ 、 $y = cos θ$ 、 $y = tan θ$ のグラフ