三角方程式と三角不等式｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (4) 三角関数ア (イ)「三角関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。

0. どういうまとまりか

$sin θ = \frac{1}{2}$ のような方程式は、「単位円の上で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ になる点はどこか」と読みかえると解けます。
三角関数には周期があるので、範囲を決めなければ解は限りなくあります。まず単位円で 1 周ぶん（ $0 ≦ θ < 2 π$ ）の解を出し、範囲に合わせて足し引きします。

方程式	単位円で見るもの	$0 ≦ θ < 2 π$ の解の個数（ $- 1 < a < 1$ ）
$sin θ = a$	直線 $y = a$ との交点	2 個
$cos θ = a$	直線 $x = a$ との交点	2 個
$tan θ = a$	直線 OT（T $(1, a)$ ）との交点	2 個（ $a$ はすべての実数）

分かれ目は次の 3 つ。

sin は $y$ 座標、cos は $x$ 座標で見る。取り違えると解がずれる
角が $2 θ$ や $θ + \frac{π}{3}$ なら、その角の範囲を先に求めてから単位円で読む
$sin^{2} θ$ と $cos θ$ が混ざったら、相互関係で 1 種類にそろえて二次方程式にする。おきかえた文字の範囲 $- 1 ≦ t ≦ 1$ を忘れない

1. 単位円で解く三角方程式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(イ)

sin・cos・tan のそれぞれが、単位円の上の点の何にあたるかを思い出して、条件を満たす点を探します。

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $sin θ = a$ の解は単位円でどう求めるか？

直線 $y = a$ と単位円の交点を求め、その点に対応する動径の角を読む

sin は単位円の上の点の $y$ 座標だから。 $- 1 < a < 1$ なら交点は 2 つある。

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $sin θ = \frac{1}{2}$ の解は？

$θ = \frac{π}{6}$ 、 $\frac{5}{6} π$

直線 $y = \frac{1}{2}$ は単位円と第 1 象限・第 2 象限で交わる。2 つの解は $θ$ と $π - θ$ の関係。

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $cos θ = - \frac{2}{2}$ の解は？

$θ = \frac{3}{4} π$ 、 $\frac{5}{4} π$

直線 $x = - \frac{2}{2}$ は単位円と第 2 象限・第 3 象限で交わる。2 つの解は $x$ 軸について対称。

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $tan θ = 3$ の解は？

$θ = \frac{π}{3}$ 、 $\frac{4}{3} π$

点 T $(1, 3)$ と原点を通る直線が単位円と交わる 2 点。tan の周期は $π$ なので、2 つの解は $π$ だけ違う。

範囲の指定がないとき、 $sin θ = \frac{1}{2}$ の解（一般解）はどう書くか？

$θ = \frac{π}{6} + 2 nπ$ 、 $\frac{5}{6} π + 2 nπ$ （ $n$ は整数）

sin の周期 $2 π$ ごとに同じ解が繰り返されるので、1 周ぶんの解に $2 nπ$ を足す。tan なら $nπ$ を足せば足りる。

2. 三角不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(イ)

不等式も単位円で考えます。まず等号の場合の角を求め、条件を満たす点が円の上のどの弧にあるかを読みます。

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $sin θ > \frac{1}{2}$ の解は？

$\frac{π}{6} < θ < \frac{5}{6} π$

単位円の上で、直線 $y = \frac{1}{2}$ より上にある弧。端の $\frac{π}{6}$ 、 $\frac{5}{6} π$ は等号なので含まない。

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $cos θ ≦ \frac{1}{2}$ の解は？

$\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{5}{3} π$

単位円の上で、直線 $x = \frac{1}{2}$ の左側（線上を含む）にある弧。 $θ = 0$ をまたがない側の弧になる。

三角不等式の解が $θ = 0$ をまたぐ弧になるとき、 $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲ではどう書くか？

2 つの範囲に分けて書く

たとえば $cos θ > \frac{1}{2}$ の解は $0 ≦ θ < \frac{π}{3}$ 、 $\frac{5}{3} π < θ < 2 π$ 。 $- \frac{π}{3} < θ < \frac{π}{3}$ とは書けない（範囲の外）。

3. 角のおきかえと二次方程式への帰着

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(イ)

角が $2 θ$ や $θ + α$ の形のときや、2 乗の項があるときは、おきかえて見慣れた形にします。おきかえた文字の範囲が変わることに注意します。

$0 ≦ θ < 2 π$ で $sin 2 θ = a$ を解くとき、はじめに何をするか？

$2 θ$ の範囲 $0 ≦ 2 θ < 4 π$ を求め、その範囲（単位円 2 周ぶん）で解を探す

$θ$ の範囲のまま探すと、解が半分しか出ない。

$sin^{2} θ$ と $cos θ$ が混ざった方程式は、どう解くか？

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ で cos だけの式にし、 $cos θ = t$ とおいて二次方程式を解く

$t$ の範囲は $- 1 ≦ t ≦ 1$ 。この範囲に入らない解は捨てる。

練習問題

問 1　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $2 cos θ + 3 = 0$ を解け。

$θ = \frac{5}{6} π$ 、 $\frac{7}{6} π$

方針　まず $cos θ =$ （数）の形に直す。 $cos$ は単位円の上の点の $x$ 座標なので、直線 $x =$ （数）と単位円の交点を探し、その動径の角を読む。

$3$ を移項して、 $2 cos θ = - 3$
両辺を 2 で割って、 $cos θ = - \frac{3}{2}$
直線 $x = - \frac{3}{2}$ は $y$ 軸の左側にあるので、単位円との交点は第 2 象限と第 3 象限に 1 つずつある。
$cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ なので、2 つの交点の動径は、 $x$ 軸の負の向きから上と下に $\frac{π}{6}$ ずつ開いたところにある。
第 2 象限のほうは $θ = π - \frac{π}{6} = \frac{5}{6} π$ 、第 3 象限のほうは $θ = π + \frac{π}{6} = \frac{7}{6} π$

ここで間違えやすい　 $cos$ を $y$ 座標で見てしまうと、直線 $y = - \frac{3}{2}$ との交点の $\frac{4}{3} π$ 、 $\frac{5}{3} π$ が出てしまう。 $cos$ は $x$ 座標。

問 2　 $0 ≦ θ < π$ のとき、不等式 $tan θ ≧ - 1$ を解け。

$0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ 、 $\frac{3}{4} π ≦ θ < π$

方針　不等式は、まず等号の場合 $tan θ = - 1$ の角を求める。 $tan θ$ は $θ = \frac{π}{2}$ で定義されず、そこを境に正から負へ切りかわるので、 $\frac{π}{2}$ の左と右に分けて調べる。

等号の場合を解く。 $tan \frac{π}{4} = 1$ なので、 $0 ≦ θ < π$ で $tan θ = - 1$ となるのは $θ = π - \frac{π}{4} = \frac{3}{4} π$
$0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ のとき。 $tan θ ≧ 0$ で、0 以上なら $- 1$ 以上なので、この範囲はすべて満たす。
$θ = \frac{π}{2}$ のとき。 $tan θ$ が定義されないので、解に入らない。
$\frac{π}{2} < θ < π$ のとき。 $tan θ$ は負で、 $θ$ が増えるにつれて増え、0 に近づいていく。 $θ = \frac{3}{4} π$ でちょうど $- 1$ になるので、 $- 1$ 以上になるのは $\frac{3}{4} π ≦ θ < π$
2 と 4 を合わせて、 $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ 、 $\frac{3}{4} π ≦ θ < π$

ここで間違えやすい　 $\frac{π}{2}$ は解に含めない（ $<$ にする）。 $\frac{3}{4} π$ は等号が成り立つので含める（ $≦$ にする）。また、「 $\frac{3}{4} π$ より右」だけを答えて、 $tan θ$ が正になる $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ を落とさない。

問 3　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $2 sin^{2} θ - cos θ - 1 = 0$ を解け。

$θ = \frac{π}{3}$ 、 $π$ 、 $\frac{5}{3} π$

方針　 $sin^{2} θ$ と $cos θ$ が混ざったままでは解けない。 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ で $cos$ だけの式にそろえると、 $cos θ$ の二次方程式になる（1 次の項が $cos θ$ なので、 $cos$ のほうにそろえる）。

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を代入する。 $2 (1 - cos^{2} θ) - cos θ - 1 = 0$
括弧を展開すると $2 - 2 cos^{2} θ - cos θ - 1 = 0$ 。定数をまとめて、 $- 2 cos^{2} θ - cos θ + 1 = 0$
両辺に $- 1$ を掛けて、 $2 cos^{2} θ + cos θ - 1 = 0$
$cos θ = t$ とおくと $2 t^{2} + t - 1 = 0$ 。ただし $- 1 ≦ t ≦ 1$
因数分解して $(2 t - 1) (t + 1) = 0$ なので、 $t = \frac{1}{2}$ または $t = - 1$ 。どちらも $- 1 ≦ t ≦ 1$ を満たす。
$cos θ = \frac{1}{2}$ のとき。直線 $x = \frac{1}{2}$ と単位円の交点から、 $θ = \frac{π}{3}$ 、 $\frac{5}{3} π$
$cos θ = - 1$ のとき。単位円の上の点 $(- 1, 0)$ から、 $θ = π$

ここで間違えやすい　おきかえた $t$ の範囲 $- 1 ≦ t ≦ 1$ を確かめる。この問題では 2 つとも範囲に入るが、入らない解が出たら捨てる。

問 4　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin (2 θ - \frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ を解け。

$θ = \frac{π}{3}$ 、 $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{4}{3} π$ 、 $\frac{3}{2} π$

方針　 $sin$ の中身が $2 θ - \frac{π}{3}$ なので、これをまるごと $t$ とおいて $sin t = \frac{3}{2}$ を解く。 $θ$ の範囲と $t$ の範囲は違うので、 $t$ の範囲を先に求めてから単位円で読み、最後に $θ$ に戻す。

$t = 2 θ - \frac{π}{3}$ とおく。
$t$ の範囲を求める。 $0 ≦ θ < 2 π$ の各辺を 2 倍して $0 ≦ 2 θ < 4 π$ 。各辺から $\frac{π}{3}$ を引いて、 $- \frac{π}{3} ≦ t < \frac{11}{3} π$
1 周ぶん（ $0 ≦ t < 2 π$ ）で $sin t = \frac{3}{2}$ となるのは、直線 $y = \frac{3}{2}$ と単位円の交点から $t = \frac{π}{3}$ 、 $\frac{2}{3} π$
$t$ の範囲はほぼ 2 周ぶんあるので、 $2 π$ を足した $t = \frac{7}{3} π$ 、 $\frac{8}{3} π$ も調べる。どちらも $\frac{11}{3} π$ より小さいので解になる。 $- \frac{π}{3} ≦ t < 0$ の部分は $sin t < 0$ なので解はない。
$θ$ に戻す。 $2 θ = t + \frac{π}{3}$ なので、4 つの $t$ にそれぞれ $\frac{π}{3}$ を足して、 $2 θ = \frac{2}{3} π$ 、 $π$ 、 $\frac{8}{3} π$ 、 $3 π$
2 で割って、 $θ = \frac{π}{3}$ 、 $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{4}{3} π$ 、 $\frac{3}{2} π$

ここで間違えやすい　 $t$ を $0 ≦ t < 2 π$ のまま探すと、解が 2 つしか出ない。 $θ$ が 1 周する間に $2 θ$ は 2 周するので、解は 4 つある。

問 5　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、不等式 $2 cos^{2} θ + 3 sin θ - 3 < 0$ を解け。

$0 ≦ θ < \frac{π}{6}$ 、 $\frac{5}{6} π < θ < 2 π$

方針　 $cos^{2} θ$ と $sin θ$ が混ざっているので、 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ で $sin$ だけの式にそろえ、 $sin θ$ の二次不等式として解く。 $sin θ$ の範囲が出たら、単位円でその範囲にある弧を読む。

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ を代入する。 $2 (1 - sin^{2} θ) + 3 sin θ - 3 < 0$
括弧を展開すると $2 - 2 sin^{2} θ + 3 sin θ - 3 < 0$ 。定数をまとめて、 $- 2 sin^{2} θ + 3 sin θ - 1 < 0$
両辺に $- 1$ を掛ける。不等号の向きが逆になり、 $2 sin^{2} θ - 3 sin θ + 1 > 0$
因数分解して、 $(2 sin θ - 1) (sin θ - 1) > 0$
積が正になるのは、 $sin θ < \frac{1}{2}$ または $sin θ > 1$ のとき。
$sin θ ≦ 1$ なので、 $sin θ > 1$ となる $θ$ はない。残るのは $sin θ < \frac{1}{2}$
等号の場合 $sin θ = \frac{1}{2}$ の解は $θ = \frac{π}{6}$ 、 $\frac{5}{6} π$ 。単位円で直線 $y = \frac{1}{2}$ より下にある弧は、 $\frac{5}{6} π$ から下を回って $2 π$ をまたぎ、 $\frac{π}{6}$ に戻るまで。
$0 ≦ θ < 2 π$ の範囲では $θ = 0$ のところで切れるので、2 つに分けて $0 ≦ θ < \frac{π}{6}$ 、 $\frac{5}{6} π < θ < 2 π$

ここで間違えやすい　3 で $- 1$ を掛けたときに不等号の向きを変え忘れると、答えが逆の $\frac{π}{6} < θ < \frac{5}{6} π$ になる。また、端の $\frac{π}{6}$ 、 $\frac{5}{6} π$ は等号になるので含めない。

問 6　方程式 $sin θ = - \frac{1}{2}$ の一般解を求めよ。

$θ = \frac{7}{6} π + 2 nπ$ 、 $\frac{11}{6} π + 2 nπ$ （ $n$ は整数）

方針　範囲の指定がないので、解は限りなくある。まず 1 周ぶん（ $0 ≦ θ < 2 π$ ）の解を単位円で求め、 $sin$ の周期 $2 π$ の整数倍を足して、すべての解をまとめて表す。

$sin$ は単位円の上の点の $y$ 座標なので、直線 $y = - \frac{1}{2}$ と単位円の交点を探す。直線は $x$ 軸より下にあるので、交点は第 3 象限と第 4 象限に 1 つずつある。
$sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ なので、2 つの交点の動径は、 $x$ 軸から下へ $\frac{π}{6}$ だけ傾いたところにある。
第 3 象限のほうは $θ = π + \frac{π}{6} = \frac{7}{6} π$ 、第 4 象限のほうは $θ = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11}{6} π$
$2 π$ 回るごとに同じ点に戻るので、それぞれに $2 nπ$ を足して、 $θ = \frac{7}{6} π + 2 nπ$ 、 $\frac{11}{6} π + 2 nπ$ （ $n$ は整数）

ここで間違えやすい　「 $n$ は整数」の断りを落とさない。 $n$ は負の整数もとるので、 $- \frac{π}{6}$ （ $\frac{11}{6} π$ で $n = - 1$ ）なども解に入っている。