加法定理｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (4) 三角関数ア (エ)「三角関数の加法定理や 2 倍角の公式，三角関数の合成について理解すること」。

0. どういうまとまりか

$sin (α + β)$ は $sin α + sin β$ ではありません。2 つの角の和・差の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す式が加法定理です。
$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ のように知っている角の和に分ければ値が求まり、あとで学ぶ 2 倍角の公式や三角関数の合成も、すべてこの定理から出ます。

	和	差
sin	$sin α cos β + cos α sin β$	$sin α cos β - cos α sin β$
cos	$cos α cos β - sin α sin β$	$cos α cos β + sin α sin β$
tan	$\frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α t a n β}$	$\frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β}$

分かれ目は次の 3 つ。

sin は「sin cos、cos sin」で符号はそのまま。cos は「cos cos、sin sin」で符号が逆
tan の分母の符号も、分子と逆
2 直線のなす角は、傾きを $tan$ とみて tan の差の加法定理で求める

1. sin・cos の加法定理

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(エ)

単位円の上の 2 点 $(cos α, sin α)$ 、 $(cos β, sin β)$ の距離を 2 通りに表すと $cos (α - β)$ の式が出て、そこから残りの式が導けます。

sin の加法定理は？

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ 、 $sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$

sin と cos が交互に並び、真ん中の符号は左辺と同じ。

cos の加法定理は？

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ 、 $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

cos どうし・sin どうしを掛け、真ん中の符号は左辺と逆になる。

cos の差の加法定理 $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ は、どう導くか？

単位円の上の点 P $(cos α, sin α)$ 、Q $(cos β, sin β)$ の距離 PQ の 2 乗を、座標の式と、$\angle$POQ に余弦定理を使った式の 2 通りで表して比べる

座標から $PQ^{2} = 2 - 2 (cos α cos β + sin α sin β)$ 、余弦定理から $PQ^{2} = 2 - 2 cos (α - β)$ 。

$sin (α + β) = sin α + sin β$ としてよいか？

いけない

たとえば $α = β = \frac{π}{4}$ で、左辺は $sin \frac{π}{2} = 1$ 、右辺は $2$ 。和の三角関数は加法定理で開く。

$sin 7 5^{\circ}$ と $cos 7 5^{\circ}$ の値は？

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ 、 $cos 7 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$

$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ として加法定理を使う。 $sin 7 5^{\circ}$ は $\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

$cos 1 5^{\circ}$ の値は？

$\frac{6 + 2}{4}$

$1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ として $cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$ 。 $cos 1 5^{\circ} = sin 7 5^{\circ}$ でもある（ $\frac{π}{2} - θ$ の公式）。

加法定理を使って、 $sin (θ + \frac{π}{2})$ を $θ$ の三角関数で表すと？

$cos θ$

$sin θ cos \frac{π}{2} + cos θ sin \frac{π}{2}$ で、 $cos \frac{π}{2} = 0$ 、 $sin \frac{π}{2} = 1$ 。 $θ + π$ などの公式も加法定理から出る。

2. tan の加法定理

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(エ)

$tan (α + β) = \frac{s i n ( α + β )}{c o s ( α + β )}$ に sin・cos の加法定理を入れ、分母・分子を $cos α cos β$ で割ると出ます。

tan の加法定理は？

$tan (α + β) = \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α t a n β}$ 、 $tan (α - β) = \frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β}$

分子の符号は左辺と同じ、分母の符号は左辺と逆。

$tan 1 5^{\circ}$ の値は？

$2 - 3$

$tan (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1}$ 。分母を有理化すると $\frac{4 - 2 3}{2}$ で $2 - 3$ 。

3. 2 直線のなす角

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(エ)

直線 $y = m x + n$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $α$ とすると、傾き $m$ は $tan α$ です。2 直線のなす角は、この角の差なので、tan の加法定理で求まります。

傾き $m_{1}$ 、 $m_{2}$ の 2 直線（垂直でない）のなす鋭角を $θ$ とすると、 $tan θ$ は？

$tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$

$m_{1} = tan α$ 、 $m_{2} = tan β$ として $tan (α - β)$ を計算し、鋭角をとるため絶対値をつける。

2 直線のなす角を tan の加法定理で求めるとき、 $1 + m_{1} m_{2} = 0$ になったらどうなっているか？

2 直線は垂直（なす角は $\frac{π}{2}$ ）

$m_{1} m_{2} = - 1$ は垂直の条件。 $tan \frac{π}{2}$ は定義されないので、式に入れず垂直と判断する。

練習問題

問 1　 $cos 10 5^{\circ}$ と $sin 1 5^{\circ}$ の値を求めよ。

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$ 、 $sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$

方針　 $10 5^{\circ}$ や $1 5^{\circ}$ の三角関数の値は覚えていないが、 $3 0^{\circ}$ ・ $4 5^{\circ}$ ・ $6 0^{\circ}$ の値は分かっている。そこで $10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ 、 $1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ と、値の分かる角の和・差に分けて加法定理で開く。

$10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ として、cos の和の加法定理で開く。 $cos (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} - sin 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ}$
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 、 $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $cos 4 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ を入れると、 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$
それぞれ掛けると $\frac{2}{4} - \frac{6}{4}$ なので、 $cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
$1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ として、sin の差の加法定理で開く。 $sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
$cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ を入れると、 $\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}$
それぞれ掛けると $\frac{6}{4} - \frac{2}{4}$ なので、 $sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$

確かめ: $10 5^{\circ}$ は第 2 象限の角なので $cos 10 5^{\circ}$ は負、 $1 5^{\circ}$ は第 1 象限の角なので $sin 1 5^{\circ}$ は正。 $6 > 2$ だから、どちらの符号も合っている。

ここで間違えやすい　cos の加法定理は真ん中の符号が左辺と逆になる。 $cos (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ})$ の右辺を足し算にしない。

問 2　 $\frac{π}{2} < α < π$ 、 $0 < β < \frac{π}{2}$ で、 $sin α = \frac{4}{5}$ 、 $cos β = \frac{12}{13}$ のとき、 $sin (α + β)$ と $cos (α - β)$ の値を求めよ。

$sin (α + β) = \frac{33}{65}$ 、 $cos (α - β) = - \frac{16}{65}$

方針　加法定理の右辺には $sin α$ 、 $cos α$ 、 $sin β$ 、 $cos β$ の 4 つが要る。分かっているのは $sin α$ と $cos β$ だけなので、足りない $cos α$ と $sin β$ を先に相互関係で求める（符号は象限で決める）。そのあと加法定理に入れる。

$cos α$ を求める。 $cos^{2} α = 1 - sin^{2} α$ で、 $(\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}$ なので、 $cos^{2} α = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
$\frac{π}{2} < α < π$ から $α$ は第 2 象限の角で、 $cos α < 0$ 。よって $cos α = - \frac{3}{5}$
$sin β$ を求める。 $sin^{2} β = 1 - cos^{2} β$ で、 $(\frac{12}{13})^{2} = \frac{144}{169}$ なので、 $sin^{2} β = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$
$0 < β < \frac{π}{2}$ から $β$ は第 1 象限の角で、 $sin β > 0$ 。よって $sin β = \frac{5}{13}$
sin の和の加法定理 $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ に入れる。 $\frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{48}{65}$ 、 $- \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = - \frac{15}{65}$
足して、 $sin (α + β) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$
cos の差の加法定理 $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ に入れる。 $- \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} = - \frac{36}{65}$ 、 $\frac{4}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{20}{65}$
足して、 $cos (α - β) = - \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = - \frac{16}{65}$

ここで間違えやすい　 $cos α$ を正の $\frac{3}{5}$ にしない。 $α$ は第 2 象限の角なので負。ここを誤ると 2 つの答えが両方ずれる。

問 3　2 直線 $y = 2 x + 1$ 、 $y = - 3 x + 2$ のなす鋭角 $θ$ を求めよ。

$θ = \frac{π}{4}$

方針　直線の傾きは、その直線が $x$ 軸の正の向きとなす角の $tan$ である。2 直線のなす角は、この 2 つの角の差なので、tan の差の加法定理で求まる。

2 直線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $α$ 、 $β$ とする。傾きから、 $tan α = 2$ 、 $tan β = - 3$
tan の差の加法定理 $tan (α - β) = \frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β}$ に入れる。分子は $2 - (- 3) = 5$ 、分母は $1 + 2 \times (- 3) = - 5$
よって $tan (α - β) = \frac{5}{- 5} = - 1$
求めるのは鋭角なので、絶対値をとって $tan θ = 1$
$0 < θ < \frac{π}{2}$ で $tan θ = 1$ となるのは、 $θ = \frac{π}{4}$

ここで間違えやすい　3 の $- 1$ から $θ = \frac{3}{4} π$ と答えない。2 直線が交わってできる角は鋭角と鈍角の 2 種類あり、 $\frac{3}{4} π$ は鈍角のほう。鋭角はその残りの $π - \frac{3}{4} π = \frac{π}{4}$ で、絶対値をとるのはこのため。

問 4　 $α$ 、 $β$ はともに鋭角で、 $tan α = 2$ 、 $tan β = 3$ である。 $α + β$ を求めよ。

$α + β = \frac{3}{4} π$

方針　 $α$ や $β$ そのものは求められない（ $tan$ が 2 や 3 になる角は、きれいな値にならない）。しかし $tan (α + β)$ なら加法定理で計算できる。その値と、 $α + β$ のとりうる範囲から、角を 1 つに決める。

tan の和の加法定理 $tan (α + β) = \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α t a n β}$ に入れる。分子は $2 + 3 = 5$ 、分母は $1 - 2 \times 3 = - 5$
よって $tan (α + β) = \frac{5}{- 5} = - 1$
$α + β$ の範囲を求める。 $0 < α < \frac{π}{2}$ 、 $0 < β < \frac{π}{2}$ を辺ごとに足して、 $0 < α + β < π$
この範囲で $tan$ が $- 1$ になるのは、 $α + β = \frac{3}{4} π$ だけ。

ここで間違えやすい　 $tan$ が $- 1$ になる角は $- \frac{π}{4}$ や $\frac{7}{4} π$ など限りなくある。3 の範囲を求めずに答えると、1 つに決まらない。

問 5　原点を通り、直線 $y = 2 x$ と $\frac{π}{4}$ の角をなす直線の傾きを求めよ。

$- 3$ と $\frac{1}{3}$

方針　傾きは「 $x$ 軸の正の向きとなす角の $tan$ 」である。直線 $y = 2 x$ が $x$ 軸となす角を $α$ とすると、求める直線は、そこから $\frac{π}{4}$ だけ回した方向を向く。回す向きは 2 通りあるので、 $tan (α + \frac{π}{4})$ と $tan (α - \frac{π}{4})$ を加法定理で計算する。

直線 $y = 2 x$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $α$ とすると、傾きが 2 なので $tan α = 2$
求める直線が $x$ 軸の正の向きとなす角は、 $α + \frac{π}{4}$ （反時計回りに回したもの）か、 $α - \frac{π}{4}$ （時計回りに回したもの）。
1 本め。 $tan \frac{π}{4} = 1$ なので、tan の和の加法定理から $tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{t a n α + 1}{1 - t a n α \times 1} = \frac{2 + 1}{1 - 2}$
分子は 3、分母は $- 1$ なので、傾きは $\frac{3}{- 1} = - 3$
2 本め。tan の差の加法定理から $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{t a n α - 1}{1 + t a n α \times 1} = \frac{2 - 1}{1 + 2}$
分子は 1、分母は 3 なので、傾きは $\frac{1}{3}$

確かめ: 2 本の傾きの積は $- 3 \times \frac{1}{3} = - 1$ で、2 本は垂直。 $y = 2 x$ の両側に $\frac{π}{4}$ ずつ開いた直線どうしなので、なす角が $\frac{π}{2}$ になるのと合っている。

ここで間違えやすい　片側の 1 本だけを答えない。「 $\frac{π}{4}$ の角をなす直線」は、もとの直線の両側に 1 本ずつある。