2倍角の公式と三角関数の合成｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (4) 三角関数ア (エ)「三角関数の加法定理や 2 倍角の公式，三角関数の合成について理解すること」。

0. どういうまとまりか

加法定理で $β = α$ とおくと2倍角の公式が、それを逆に読むと半角の公式が出ます。
また、 $a sin θ + b cos θ$ を加法定理の逆向きに 1 つの sin にまとめるのが三角関数の合成で、最大・最小や方程式を「sin 1 つ」の問題に直せます。

公式	式	使いどころ
2倍角の公式	$sin 2 α = 2 sin α cos α$ 、 $cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ など	角をそろえる（ $2 θ$ と $θ$ の混在）
半角の公式	$sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - c o s α}{2}$ など	2 乗を消して次数を下げる
三角関数の合成	$a sin θ + b cos θ = a^{2} + b^{2} sin (θ + α)$	sin と cos の和を 1 つにまとめる

分かれ目は次の 3 つ。

$cos 2 α$ は 3 通りに書ける。式に残したいほう（sin だけ・cos だけ）を選ぶ
合成の $α$ は、点 $(a, b)$ を座標平面にとったときの動径の角。 $a$ が cos 側、 $b$ が sin 側
合成したあとの最大・最小は、 $θ + α$ の範囲を求めてから読む

1. 2倍角の公式と半角の公式

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(エ)

加法定理 $sin (α + β)$ 、 $cos (α + β)$ 、 $tan (α + β)$ で $β = α$ とおきます。

sin と tan の 2倍角の公式は？

$sin 2 α = 2 sin α cos α$ 、 $tan 2 α = \frac{2 t a n α}{1 - t a n ^{2} α}$

加法定理で $β = α$ とおいたもの。 $sin 2 α$ は $2 sin α$ ではない。

cos の 2倍角の公式を 3 通りで書くと？

$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1$

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ で、sin だけ・cos だけの形に書きかえられる。

半角の公式は？

$sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - c o s α}{2}$ 、 $cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + c o s α}{2}$ 、 $tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - c o s α}{1 + c o s α}$

$cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ 、 $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ の $α$ を $\frac{α}{2}$ にして、2 乗の側について解いたもの。

$sin \frac{π}{8}$ の値は？

$\frac{2 - 2}{2}$

半角の公式で $sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 - c o s \frac{π}{4}}{2} = \frac{2 - 2}{4}$ 。 $sin \frac{π}{8} > 0$ なので正のほう。

$sin^{2} θ$ や $cos^{2} θ$ を含む式を、1 次の三角関数だけで表したいとき、何を使うか？

半角の公式（2倍角の公式の変形）で $sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ 、 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ とする

角は $2 θ$ になるが、2 乗が消える。 $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ と組み合わせると、2 次の式が $sin 2 θ$ と $cos 2 θ$ の式になる。

2. 三角関数の合成

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(4)-ア-(エ)

座標平面に点 P $(a, b)$ をとり、OP と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $α$ とすると、 $a = a^{2} + b^{2} cos α$ 、 $b = a^{2} + b^{2} sin α$ です。これを代入して sin の加法定理を逆に使います。

三角関数の合成の式は？ $α$ はどう決めるか？

$a sin θ + b cos θ = a^{2} + b^{2} sin (θ + α)$ 。 $α$ は $cos α = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}$ 、 $sin α = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ を満たす角

点 $(a, b)$ をとり、原点からの距離が $a^{2} + b^{2}$ 、動径の角が $α$ 。sin の係数 $a$ が $x$ 座標、cos の係数 $b$ が $y$ 座標になる。

$sin θ + 3 cos θ$ を $r sin (θ + α)$ の形に合成すると？（ $r > 0$ 、 $- π < α ≦ π$ ）

$2 sin (θ + \frac{π}{3})$

点 $(1, 3)$ は原点からの距離が 2、動径の角が $\frac{π}{3}$ 。

$sin θ - cos θ$ を $r sin (θ + α)$ の形に合成すると？（ $r > 0$ 、 $- π < α ≦ π$ ）

$2 sin (θ - \frac{π}{4})$

点 $(1, - 1)$ は第 4 象限にあり、原点からの距離が $2$ 、動径の角が $- \frac{π}{4}$ 。

$y = a sin θ + b cos θ$ の最大値・最小値は（ $θ$ がすべての実数をとるとき）？

最大値 $a^{2} + b^{2}$ 、最小値 $- a^{2} + b^{2}$

合成すると $a^{2} + b^{2} sin (θ + α)$ で、 $sin (θ + α)$ は $- 1$ から $1$ までの値をとる。

$θ$ の範囲が決まっているとき、合成した $y = r sin (θ + α)$ の最大・最小はどう求めるか？

$θ + α$ のとりうる範囲を求め、その範囲で単位円（または sin のグラフ）から $sin (θ + α)$ の範囲を読む

範囲の端で最大・最小になることがある。 $sin (θ + α) = 1$ となる角が範囲に入っているかを確かめる。

学習指導要領が名指しするのは加法定理・2倍角の公式・三角関数の合成までです。次の 2 つは加法定理から導けるので、必要になったら導けば足ります（復習には出しません）。

【発展・数学Ⅱの範囲外】3倍角の公式とは？

$sin 3 α = 3 sin α - 4 sin^{3} α$ 、 $cos 3 α = 4 cos^{3} α - 3 cos α$

$3 α = 2 α + α$ として加法定理と 2倍角の公式を使い、 $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ で 1 種類にそろえる。

【発展・数学Ⅱの範囲外】積を和に直す公式と、和を積に直す公式とは？

積和: $sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$ など。和積: $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ など

積和は $sin (α + β)$ と $sin (α - β)$ の加法定理を足して 2 で割る。和積は積和で $α + β = A$ 、 $α - β = B$ とおく。

練習問題

問 1　 $0 < α < \frac{π}{2}$ で $sin α = \frac{1}{3}$ のとき、 $sin 2 α$ と $cos 2 α$ の値を求めよ。

$sin 2 α = \frac{4 2}{9}$ 、 $cos 2 α = \frac{7}{9}$

方針　 $sin 2 α = 2 sin α cos α$ には $cos α$ が要るので、先に相互関係で求める。 $cos 2 α$ は 3 通りの書き方のうち、分かっている $sin α$ だけで書ける $1 - 2 sin^{2} α$ を選ぶと、すぐ計算できる。

$cos α$ を求める。 $cos^{2} α = 1 - sin^{2} α$ で、 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ なので、 $cos^{2} α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$0 < α < \frac{π}{2}$ から $cos α > 0$ なので、 $cos α = \frac{8}{3} = \frac{2 2}{3}$
sin の 2倍角の公式に入れる。 $sin 2 α = 2 sin α cos α$ で、 $2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2 2}{3} = \frac{4 2}{9}$
cos の 2倍角の公式に入れる。 $cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ で、 $1 - 2 \times \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

確かめ: $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ でも、 $2 \times \frac{8}{9} - 1 = \frac{7}{9}$ で同じになる。

ここで間違えやすい　 $sin 2 α$ を $2 sin α$ の $\frac{2}{3}$ としない。角を 2 倍しても、値は 2 倍にならない。

問 2　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $cos 2 θ + sin θ = 0$ を解け。

$θ = \frac{π}{2}$ 、 $\frac{7}{6} π$ 、 $\frac{11}{6} π$

方針　角が $2 θ$ と $θ$ で混ざっているので、2倍角の公式で角を $θ$ にそろえる。もう一方の項が $sin θ$ なので、 $cos 2 θ$ の 3 通りの書き方のうち sin だけで書ける $1 - 2 sin^{2} θ$ を選ぶ。すると $sin θ$ の二次方程式になる。

$cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ を代入する。 $1 - 2 sin^{2} θ + sin θ = 0$
両辺に $- 1$ を掛け、次数の高い順に並べる。 $2 sin^{2} θ - sin θ - 1 = 0$
$sin θ = t$ とおくと $2 t^{2} - t - 1 = 0$ 。ただし $- 1 ≦ t ≦ 1$
因数分解して $(2 t + 1) (t - 1) = 0$ なので、 $t = - \frac{1}{2}$ または $t = 1$ 。どちらも $- 1 ≦ t ≦ 1$ を満たす。
$sin θ = 1$ のとき。単位円の上の点 $(0, 1)$ から、 $θ = \frac{π}{2}$
$sin θ = - \frac{1}{2}$ のとき。直線 $y = - \frac{1}{2}$ と単位円の交点は第 3 象限と第 4 象限にあり、 $θ = π + \frac{π}{6} = \frac{7}{6} π$ と $θ = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11}{6} π$

ここで間違えやすい　 $cos 2 θ$ を $cos^{2} θ - sin^{2} θ$ や $2 cos^{2} θ - 1$ で開くと、 $cos$ と $sin$ が混ざったままになり、そのままでは解けない。残したい種類（ここでは sin）に合わせて選ぶ。

問 3　 $0 ≦ θ ≦ π$ のとき、 $y = 3 sin θ - cos θ$ の最大値と最小値、そのときの $θ$ を求めよ。

$θ = \frac{2}{3} π$ で最大値 2、 $θ = 0$ で最小値 $- 1$

方針　 $sin θ$ と $cos θ$ が別々に動くままでは、最大・最小が読めない。合成して sin 1 つにまとめると、「sin のとりうる値の範囲」の問題になる。 $θ$ に範囲があるので、合成したあとの角の範囲を求めてから読む。

合成する。sin の係数 $3$ を $x$ 座標、cos の係数 $- 1$ を $y$ 座標とする点 $(3, - 1)$ をとる。原点からの距離は $(3)^{2} + (- 1)^{2} = 4 = 2$
この点の動径の角を $α$ とすると、 $cos α = \frac{3}{2}$ 、 $sin α = - \frac{1}{2}$ なので、 $α = - \frac{π}{6}$ （第 4 象限）
よって $y = 2 sin (θ - \frac{π}{6})$
角の範囲を求める。 $0 ≦ θ ≦ π$ の各辺から $\frac{π}{6}$ を引いて、 $- \frac{π}{6} ≦ θ - \frac{π}{6} ≦ \frac{5}{6} π$
この範囲で $sin$ の値を単位円で読む。いちばん大きいのは角が $\frac{π}{2}$ のときの 1。いちばん小さいのは、左の端 $- \frac{π}{6}$ のときの $- \frac{1}{2}$ （右の端 $\frac{5}{6} π$ では $\frac{1}{2}$ なので、こちらは最小ではない）。
最大値は $2 \times 1 = 2$ 。このとき $θ - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ から、 $θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{6} = \frac{2}{3} π$
最小値は $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ 。このとき $θ - \frac{π}{6} = - \frac{π}{6}$ から、 $θ = 0$

確かめ: もとの式に $θ = 0$ を入れると、 $3 \times 0 - 1 = - 1$ で最小値と合う。

ここで間違えやすい　最小値を $- 2$ としない。 $sin$ が $- 1$ になる角（ $- \frac{π}{2}$ や $\frac{3}{2} π$ ）は 4 の範囲に入っていない。範囲があるときは、端で最大・最小になることがある。

問 4　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin θ + cos θ = 1$ を解け。

$θ = 0$ 、 $\frac{π}{2}$

方針　 $sin θ$ と $cos θ$ の 2 種類があるので、合成して sin 1 つの方程式にする。そうすれば単位円で解ける。角が $θ + \frac{π}{4}$ になるので、その範囲を先に求めてから読む。

左辺を合成する。点 $(1, 1)$ は原点からの距離が $1^{2} + 1^{2} = 2$ 、動径の角が $\frac{π}{4}$ なので、 $sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$
方程式は $2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$ 。両辺を $2$ で割って、 $sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$
角の範囲を求める。 $0 ≦ θ < 2 π$ の各辺に $\frac{π}{4}$ を足して、 $\frac{π}{4} ≦ θ + \frac{π}{4} < \frac{9}{4} π$
この範囲で $sin$ が $\frac{1}{2}$ になる角は、 $θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$ 、 $\frac{3}{4} π$ 。 $\frac{9}{4} π$ でも $sin$ は同じ値になるが、範囲の右端は含まれないので解にならない。
$\frac{π}{4}$ を引いて $θ$ に戻す。 $θ = \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0$ 、 $θ = \frac{3}{4} π - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

確かめ: $θ = 0$ なら $sin 0 + cos 0$ は $0 + 1 = 1$ 、 $θ = \frac{π}{2}$ なら $sin \frac{π}{2} + cos \frac{π}{2}$ は $1 + 0 = 1$ で、どちらも方程式を満たす。

ここで間違えやすい　両辺を 2 乗して解くと $2 sin θ cos θ = 0$ となり、 $θ = π$ 、 $\frac{3}{2} π$ という余計な解が混ざる（もとの式に入れると $- 1$ になり、満たさない）。2 乗したときは、もとの式で確かめる。

問 5　関数 $y = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + 3 cos^{2} θ$ の最大値と最小値を求めよ。

最大値 $2 + 2$ 、最小値 $2 - 2$

方針　 $sin^{2} θ$ 、 $sin θ cos θ$ 、 $cos^{2} θ$ はどれも 2 次の項で、このままでは合成できない。半角の公式と 2倍角の公式を使うと、3 つとも $sin 2 θ$ と $cos 2 θ$ の 1 次の式に直せる。1 次になれば合成でき、最大・最小が読める。

次数を下げる公式を用意する。 $sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ 、 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ 、 $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$
もとの式に代入する。 $y = \frac{1 - c o s 2 θ}{2} + sin 2 θ + \frac{3 ( 1 + c o s 2 θ )}{2}$
分数の 2 つをまとめる。分子は $1 - cos 2 θ + 3 + 3 cos 2 θ = 4 + 2 cos 2 θ$ なので、 $\frac{4 + 2 c o s 2 θ}{2} = 2 + cos 2 θ$
よって $y = sin 2 θ + cos 2 θ + 2$
$sin 2 θ + cos 2 θ$ を合成する。点 $(1, 1)$ は原点からの距離が $2$ 、動径の角が $\frac{π}{4}$ なので、 $y = 2 sin (2 θ + \frac{π}{4}) + 2$
$θ$ に範囲の指定がないので、 $2 θ + \frac{π}{4}$ はすべての角をとり、 $- 1 ≦ sin (2 θ + \frac{π}{4}) ≦ 1$
各辺に $2$ を掛けて 2 を足すと、 $2 - 2 ≦ y ≦ 2 + 2$ 。最大値は $2 + 2$ 、最小値は $2 - 2$

ここで間違えやすい　最後に足す 2 を落として、最大値を $2$ としない。合成するのは $sin 2 θ + cos 2 θ$ の部分だけで、定数の 2 はそのまま残る。