微分係数と導関数｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (5) 微分・積分の考えア (ア)「微分係数や導関数の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の導関数を求めること。」。

0. どういうまとまりか

2 点を結ぶ直線の傾き（平均変化率）で、2 点の間隔を限りなく小さくすると、1 点での傾き（微分係数）になります。
微分係数を $x$ の関数とみたものが導関数で、多項式の導関数は公式 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ と、定数倍・和・差の性質だけで求められます。

	式	何を表すか
平均変化率	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$	2 点を結ぶ直線の傾き（数）
微分係数 $f^{'} (a)$	$lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	点 $(a, f (a))$ での接線の傾き（数）
導関数 $f^{'} (x)$	$lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$	各 $x$ での微分係数を与える関数

分かれ目は次の 3 つ。

微分係数は「数」、導関数は「関数」。 $f^{'} (a)$ は導関数 $f^{'} (x)$ に $x = a$ を代入した値
定義から求めるときは、 $h$ で約分してから $h$ を 0 に近づける（ $h = 0$ を先に代入すると分母が 0 になる）
積や累乗の形は展開してから微分する。 $(2 x + 1)^{2}$ の導関数は $2 (2 x + 1)$ ではない

1. 平均変化率と微分係数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

$x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの $y$ の変化の割合が平均変化率です。 $b$ を $a$ に限りなく近づけたときの行き先が微分係数です。

関数 $f (x)$ で、 $x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率は？また、グラフの上で何を表すか？

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ 。グラフ上の 2 点 $(a, f (a))$ 、 $(b, f (b))$ を結ぶ直線の傾き

$b = a + h$ とおくと $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ と書ける。

極限値とは何か？また、記号でどう書くか？

$h$ が 0 と異なる値をとりながら 0 に限りなく近づくとき、式の値がある一定の値 $α$ に限りなく近づくなら、その $α$ を極限値という。 $lim_{h \to 0} (式) = α$ と書く

lim は「limit（極限）」の略。 $h$ は 0 そのものにはならない。

関数 $f (x)$ の $x = a$ における微分係数 $f^{'} (a)$ の定義は？

$f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

平均変化率で、区間の幅 $h$ を 0 に限りなく近づけたときの極限値。

微分係数 $f^{'} (a)$ は、 $y = f (x)$ のグラフの上で何を表すか？

点 $(a, f (a))$ における接線の傾き

2 点を結ぶ直線（割線）の傾きで、もう 1 点を限りなく近づけた行き先が接線の傾きになる。

$f (x) = x^{2}$ の $x = 3$ における微分係数を、定義に従ってどう求めるか？

$\frac{( 3 + h ) ^{2} - 3 ^{2}}{h} = \frac{6 h + h ^{2}}{h} = 6 + h$ と約分してから $h$ を 0 に近づけて、 $f^{'} (3) = 6$

約分する前に $h = 0$ とすると $\frac{0}{0}$ になって求められない。

2. 導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

微分係数 $f^{'} (a)$ の $a$ を変数 $x$ にかえると、 $x$ の関数が 1 つ決まります。これが導関数です。

関数 $f (x)$ の導関数の定義は？また、どんな記号で表すか？

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ 。 $f^{'} (x)$ 、 $y^{'}$ 、 $\frac{d y}{d x}$ 、 $\frac{d}{d x} f (x)$ で表す

導関数を求めることを、 $f (x)$ を $x$ で微分するという。

微分係数 $f^{'} (a)$ と導関数 $f^{'} (x)$ の関係は？

導関数 $f^{'} (x)$ に $x = a$ を代入した値が、微分係数 $f^{'} (a)$

微分係数は 1 つの数、導関数は $x$ の関数。 $f^{'} (a)$ を求めるには、まず導関数を出してから代入するのが早い。

3. 導関数の計算

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

多項式の導関数は、 $x^{n}$ の導関数の公式と、定数倍・和・差の性質を組み合わせて求めます。

$x^{n}$ （ $n$ は正の整数）と定数 $c$ の導関数は？

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ 、 $(c)^{'} = 0$

$(x)^{'} = 1$ 、 $(x^{2})^{'} = 2 x$ 、 $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ 。定数のグラフは水平な直線なので、傾きは 0。

関数の定数倍・和・差の導関数の性質は？（ $k$ 、 $l$ は定数）

${k f (x)}^{'} = k f^{'} (x)$ 、 ${f (x) \pm g (x)}^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$ 。まとめて ${k f (x) + l g (x)}^{'} = k f^{'} (x) + l g^{'} (x)$

多項式は、項ごとに微分して足せばよい。

$y = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1$ を微分すると？

$y^{'} = 6 x^{2} - 10 x + 4$

$2 \cdot 3 x^{2} - 5 \cdot 2 x + 4 \cdot 1 - 0$ 。定数項 $- 1$ は消える。

$y = (2 x + 1)^{2}$ の導関数はどう求めるか？

展開して $y = 4 x^{2} + 4 x + 1$ にしてから微分し、 $y^{'} = 8 x + 4$

括弧のまま「2 乗の指数を前に出す」と $2 (2 x + 1)$ になり誤り。数学Ⅱでは積や累乗は展開してから微分する。

球の体積 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ を $r$ で微分すると？

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$ （球の表面積と同じ式）

変数が $x$ 以外の文字でも、その文字について同じ公式で微分する。 $π$ は定数。

【発展】 $(a x + b)^{n}$ を展開せずに微分する（数学Ⅲの内容）

数学Ⅲでは合成関数の微分により、 ${(a x + b)^{n}}^{'} = na (a x + b)^{n - 1}$ と展開せずに求める。
たとえば ${(2 x + 1)^{2}}^{'} = 2 \cdot 2 (2 x + 1) = 8 x + 4$ で、展開して求めた結果と一致する。
数学Ⅱの範囲では展開してから微分すれば足りる。

練習問題

問 1　関数 $f (x) = x^{2} - 3 x$ について、 $x$ が 1 から 3 まで変わるときの平均変化率を求めよ。

方針　平均変化率は「 $y$ の変化量 ÷ $x$ の変化量」。区間の両端 $x = 1$ と $x = 3$ での関数の値を先に求めて、 $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ に入れる。

$x = 1$ での値を求める。 $f (1) = 1^{2} - 3 \times 1 = - 2$
$x = 3$ での値を求める。 $f (3) = 3^{2} - 3 \times 3 = 0$
平均変化率の式に入れる。 $\frac{f ( 3 ) - f ( 1 )}{3 - 1} = \frac{0 - ( - 2 )}{3 - 1}$
分子は $0 - (- 2) = 2$ 、分母は $3 - 1 = 2$ なので、 $\frac{2}{2} = 1$

問 2　関数 $f (x) = x^{2} + x$ の $x = 2$ における微分係数を、定義に従って求めよ。

方針　定義 $f^{'} (2) = lim_{h \to 0} \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$ をそのまま計算する。 $h = 0$ を先に入れると分母が 0 になるので、分子を展開して $h$ で約分してから、 $h$ を 0 に近づける。

$f (2)$ を求める。 $f (2) = 2^{2} + 2 = 6$
$f (2 + h)$ を展開する。 $f (2 + h) = (2 + h)^{2} + (2 + h) = 4 + 4 h + h^{2} + 2 + h = 6 + 5 h + h^{2}$
差をとる。 $f (2 + h) - f (2) = (6 + 5 h + h^{2}) - 6 = 5 h + h^{2}$
$h$ で割って約分する。 $\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{5 h + h ^{2}}{h} = 5 + h$
$h$ を 0 に近づけると $5 + h$ は 5 に近づくので、 $f^{'} (2) = 5$

確かめ: 公式で微分すると $f^{'} (x) = 2 x + 1$ で、 $x = 2$ を代入すると $2 \times 2 + 1 = 5$ 。定義から求めた値と一致する。

ここで間違えやすい　 $f (2 + h)$ は、 $x^{2}$ だけでなく $+ x$ の $x$ にも $2 + h$ を入れる。 $(2 + h)^{2}$ だけにすると $h$ の係数が 4 になってしまう。

問 3　次の関数を微分せよ。(1) $y = x^{3} - 4 x^{2} + 7 x - 2$ 　(2) $y = (x + 2) (x^{2} - 3)$ 　(3) $y = (3 x - 1)^{2}$

(1) $y^{'} = 3 x^{2} - 8 x + 7$ 　(2) $y^{'} = 3 x^{2} + 4 x - 3$ 　(3) $y^{'} = 18 x - 6$

方針　多項式は、公式 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ を項ごとに使って微分する。(2)(3) のような積や累乗の形にはこの公式がそのまま使えないので、先に展開して多項式にする。

(1) 項ごとに微分する。 $x^{3}$ は $3 x^{2}$ 、 $- 4 x^{2}$ は $- 4 \cdot 2 x = - 8 x$ 、 $7 x$ は $7$ 、定数 $- 2$ は $0$ になる
(1) 合わせて、 $y^{'} = 3 x^{2} - 8 x + 7$
(2) 展開する。 $(x + 2) (x^{2} - 3) = x^{3} - 3 x + 2 x^{2} - 6 = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6$
(2) 項ごとに微分する。 $x^{3}$ は $3 x^{2}$ 、 $2 x^{2}$ は $4 x$ 、 $- 3 x$ は $- 3$ 、定数 $- 6$ は $0$ なので、 $y^{'} = 3 x^{2} + 4 x - 3$
(3) 展開する。 $(3 x - 1)^{2} = 9 x^{2} - 6 x + 1$
(3) 項ごとに微分する。 $9 x^{2}$ は $18 x$ 、 $- 6 x$ は $- 6$ 、定数 $1$ は $0$ なので、 $y^{'} = 18 x - 6$

ここで間違えやすい　(3) を括弧のまま「2 を前に出す」と $2 (3 x - 1) = 6 x - 2$ になり、正しい答えの $\frac{1}{3}$ にしかならない。数学Ⅱでは必ず展開してから微分する。

問 4　 $f (x) = x^{3} - 2 x$ のとき、 $f^{'} (2)$ を求めよ。

方針　微分係数 $f^{'} (2)$ は、導関数 $f^{'} (x)$ に $x = 2$ を代入した値。定義の極限から求めるより、先に導関数を出してから代入するほうが早い。

項ごとに微分する。 $x^{3}$ は $3 x^{2}$ 、 $- 2 x$ は $- 2$ になるので、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$
$x = 2$ を代入する。 $f^{'} (2) = 3 \times 2^{2} - 2$
計算して、 $3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

ここで間違えやすい　順番は「微分してから代入」。先に $x = 2$ を代入すると $f (2) = 8 - 4 = 4$ というただの数になり、それを微分しても 0 にしかならない。

問 5　 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ が $f^{'} (0) = 1$ 、 $f^{'} (1) = 5$ を満たすとき、定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 2$ 、 $b = 1$

方針　与えられた条件は 2 つとも導関数の値なので、まず $f^{'} (x)$ を $a$ 、 $b$ を含んだまま求める。そこに $x = 0$ 、 $x = 1$ を代入すると、 $a$ 、 $b$ の式が 2 本できる。

$a$ 、 $b$ は定数として微分する。 $a x^{2}$ は $2 a x$ 、 $b x$ は $b$ 、定数 $1$ は $0$ になるので、 $f^{'} (x) = 2 a x + b$
$x = 0$ を代入すると $2 a x$ の項が消えて、 $f^{'} (0) = b$ 。条件 $f^{'} (0) = 1$ から、 $b = 1$
$x = 1$ を代入すると、 $f^{'} (1) = 2 a + b$ 。条件 $f^{'} (1) = 5$ から、 $2 a + b = 5$
$b = 1$ を代入して、 $2 a + 1 = 5$
1 を移項して $2 a = 4$ なので、 $a = 2$

確かめ: $f^{'} (x) = 4 x + 1$ で、 $x = 0$ のとき $1$ 、 $x = 1$ のとき $4 + 1 = 5$ 。条件に合う。