接線の方程式｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (5) 微分・積分の考えア (ア)「微分係数や導関数の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の導関数を求めること。」。

0. どういうまとまりか

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の傾きは、微分係数 $f^{'} (a)$ です。
直線は「通る 1 点」と「傾き」で決まるので、接線の問題はすべて接点の $x$ 座標を決めることに帰着します。

与えられるもの	接点の決め方	立てる式
接点 $(a, f (a))$	そのまま使う	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
傾き $m$	$f^{'} (t) = m$ を解いて $t$ を出す	接点 $(t, f (t))$ で上の式
曲線外の点（通る点）	接点を $(t, f (t))$ とおき、接線が通る点を代入して $t$ の方程式を解く	求めた $t$ ごとに上の式

分かれ目は次の 3 つ。

「点 A における接線」は A が接点。「点 A を通る接線」は A が接点とは限らない
通る点が与えられたら、先に接点を $t$ とおいて接線の式を作り、あとから点を代入する
法線の傾きは、接線の傾きの $- 1$ 倍の逆数（接線の傾きが 0 なら法線は $x = a$ ）

1. 接点が分かっている接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

微分係数が接線の傾きを表すことを使うと、接点が分かっていれば接線は 1 本の式で書けます。

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の傾きは？

微分係数 $f^{'} (a)$

導関数 $f^{'} (x)$ を求めてから $x = a$ を代入する。

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の方程式は？

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り傾き $m$ の直線 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に、接点と微分係数を入れたもの。

放物線 $y = x^{2}$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式は？

$y = 2 x - 1$

$y^{'} = 2 x$ なので傾きは 2。 $y - 1 = 2 (x - 1)$ を整理する。

2. 傾きが与えられた接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

傾きが分かっているときは、微分係数がその傾きに等しくなる点を探します。そこが接点です。

曲線 $y = f (x)$ の接線のうち、傾きが $m$ のものはどう求めるか？

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、 $f^{'} (t) = m$ を解いて接点を求めてから、接線の式を立てる

$f^{'} (t) = m$ の解が 2 つあれば、接線も 2 本ある。

曲線 $y = x^{3} - 3 x$ の接線で、傾きが 9 のものは？

$y = 9 x - 16$ と $y = 9 x + 16$ の 2 本

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ から $3 t^{2} - 3 = 9$ 、 $t = \pm 2$ 。接点は $(2, 2)$ と $(- 2, - 2)$ 。三次関数では同じ傾きの接線が 2 本になることがある。

3. 曲線外の点から引く接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

接線が通る点が分かっていても、その点が接点でなければ、傾き（微分係数）はすぐには分かりません。
そこで接点を文字でおいて接線の式を作り、通る点の条件で接点を決めます。

曲線 $y = f (x)$ の外の点 $P (p, q)$ から引いた接線はどう求めるか？

接点を $(t, f (t))$ とおいて接線 $y - f (t) = f^{'} (t) (x - t)$ を作り、 $x = p$ 、 $y = q$ を代入して $t$ の方程式を解く

点 P は曲線上にないので、P での微分係数を傾きにしてはいけない。

放物線 $y = x^{2}$ に、点 $(1, - 3)$ から引いた接線は？

$y = 6 x - 9$ と $y = - 2 x - 1$

接点 $(t, t^{2})$ における接線は $y = 2 t x - t^{2}$ 。点を代入して $- 3 = 2 t - t^{2}$ 、 $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ から $t = 3, - 1$ 。

「曲線上の点 A における接線」と「曲線上の点 A を通る接線」の違いは？

「における」は A が接点で 1 本に決まる。「を通る」は A が接点とは限らず、別の点で接して A を通る接線もある

「を通る」ときは、A が曲線上にあっても接点を $t$ とおいて求める。

曲線 $y = x^{3}$ 上の点 $(1, 1)$ を通る接線は何本あるか？

2 本（ $y = 3 x - 2$ と $y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{4}$ ）

接点 $(t, t^{3})$ における接線 $y = 3 t^{2} x - 2 t^{3}$ に点を代入して $2 t^{3} - 3 t^{2} + 1 = 0$ 、 $(t - 1)^{2} (2 t + 1) = 0$ から $t = 1, - \frac{1}{2}$ 。

4. 法線

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ア)

接点を通り、接線に垂直な直線を法線といいます。垂直な 2 直線の傾きの積は $- 1$ です。

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における法線の方程式は？（ $f^{'} (a) \neq = 0$ ）

$y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$

法線は、接点を通り接線に垂直な直線。傾きは、微分係数 $f^{'} (a)$ との積が $- 1$ になる値。

微分係数 $f^{'} (a) = 0$ のとき、点 $(a, f (a))$ における法線は？

直線 $x = a$

接線が $x$ 軸に平行（ $y = f (a)$ ）なので、法線は $y$ 軸に平行になる。

練習問題

問 1　曲線 $y = x^{3} - 2 x + 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

$y = x - 1$

方針　「点 $(1, 0)$ における接線」なので、この点が接点。直線は通る 1 点と傾きで決まり、接線の傾きは接点での微分係数なので、 $y^{'}$ に $x = 1$ を代入して傾きを出す。

微分する。 $y^{'} = 3 x^{2} - 2$
$x = 1$ を代入して、接線の傾きを求める。 $3 \times 1^{2} - 2 = 1$
点 $(1, 0)$ を通り傾き 1 の直線なので、 $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$
整理して、 $y = x - 1$

問 2　放物線 $y = x^{2} - 4 x + 5$ の接線で、傾きが 2 のものの方程式を求めよ。

$y = 2 x - 4$

方針　傾きは分かっているが、接点が分からない。接線の傾きは接点での微分係数なので、接点の $x$ 座標を $t$ とおき、微分係数が 2 になる $t$ を探す。接点が決まれば、あとは「通る 1 点と傾き」で式が書ける。

微分する。 $y^{'} = 2 x - 4$
$x = t$ での微分係数が 2 なので、 $2 t - 4 = 2$
$- 4$ を移項して $2 t = 6$ なので、 $t = 3$
接点の $y$ 座標を求める。もとの式に $x = 3$ を代入して、 $3^{2} - 4 \times 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$ 。接点は $(3, 2)$
点 $(3, 2)$ を通り傾き 2 の直線なので、 $y - 2 = 2 (x - 3)$
右辺を展開して $y - 2 = 2 x - 6$ 。 $- 2$ を移項して、 $y = 2 x - 4$

ここで間違えやすい　接点の $y$ 座標は、 $y^{'}$ ではなくもとの放物線の式に代入して求める。

問 3　放物線 $y = x^{2} + 3$ に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。

$y = 23 x$ と $y = - 23 x$

方針　原点は放物線の上にない（ $x = 0$ のとき $y = 3$ ）ので、原点は接点ではない。接点が分からないので $(t, t^{2} + 3)$ とおいて接線の式を先に作り、その接線が原点を通るという条件で $t$ を決める。

微分する。 $y^{'} = 2 x$ なので、接点 $(t, t^{2} + 3)$ での接線の傾きは $2 t$
接線の式を立てる。 $y - (t^{2} + 3) = 2 t (x - t)$
右辺を展開して、 $y - (t^{2} + 3) = 2 t x - 2 t^{2}$
$t^{2} + 3$ を右辺に移項する。 $- 2 t^{2} + t^{2} + 3 = - t^{2} + 3$ なので、 $y = 2 t x - t^{2} + 3$
原点を通るので、 $x = 0$ 、 $y = 0$ を代入する。 $0 = - t^{2} + 3$
$t^{2} = 3$ なので、 $t = \pm 3$
どちらの $t$ でも $- t^{2} + 3 = 0$ なので、接線は $y = 2 t x$ 。 $t = 3$ のとき $y = 23 x$ 、 $t = - 3$ のとき $y = - 23 x$

ここで間違えやすい　原点の $x = 0$ を $y^{'} = 2 x$ に代入して傾き 0 としてはいけない。微分係数を傾きにできるのは、その点が曲線上の接点であるときだけ。

問 4　曲線 $y = x^{3} - x$ 上の点 $(1, 0)$ における法線の方程式を求めよ。

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

方針　法線は、接点を通り接線に垂直な直線。垂直な 2 直線の傾きの積は $- 1$ なので、まず接線の傾きを微分係数で出し、そこから法線の傾きを決める。

微分する。 $y^{'} = 3 x^{2} - 1$
$x = 1$ を代入して、接線の傾きを求める。 $3 \times 1^{2} - 1 = 2$
法線の傾きを $m$ とすると、 $2 m = - 1$ なので $m = - \frac{1}{2}$
点 $(1, 0)$ を通り傾き $- \frac{1}{2}$ の直線なので、 $y - 0 = - \frac{1}{2} (x - 1)$
右辺を展開して、 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

ここで間違えやすい　法線の傾きは、接線の傾きの逆数にするだけでなく符号も変える。 $\frac{1}{2}$ では積が 1 になり、垂直にならない。

問 5　曲線 $y = x^{3}$ に、点 $(2, 0)$ から引いた接線の方程式を求めよ。

$y = 0$ と $y = 27 x - 54$

方針　点 $(2, 0)$ は曲線の上にない（ $x = 2$ のとき $y = 8$ ）ので、接点ではない。接点を $(t, t^{3})$ とおいて接線の式を先に作り、その接線が点 $(2, 0)$ を通るという条件で $t$ を決める。 $t$ が 2 つ出れば接線も 2 本ある。

微分する。 $y^{'} = 3 x^{2}$ なので、接点 $(t, t^{3})$ での接線の傾きは $3 t^{2}$
接線の式を立てる。 $y - t^{3} = 3 t^{2} (x - t)$
右辺を展開して、 $y - t^{3} = 3 t^{2} x - 3 t^{3}$
$t^{3}$ を右辺に移項する。 $- 3 t^{3} + t^{3} = - 2 t^{3}$ なので、 $y = 3 t^{2} x - 2 t^{3}$
点 $(2, 0)$ を通るので、 $x = 2$ 、 $y = 0$ を代入する。 $0 = 6 t^{2} - 2 t^{3}$
$2 t^{2}$ でくくると $2 t^{2} (3 - t) = 0$ なので、 $t = 0, 3$
$t = 0$ のとき、傾き $3 t^{2}$ も $- 2 t^{3}$ も 0 なので、接線は $y = 0$
$t = 3$ のとき、傾きは $3 \times 3^{2} = 27$ 、定数項は $- 2 \times 3^{3} = - 54$ なので、接線は $y = 27 x - 54$

ここで間違えやすい　手順 6 で両辺を $t^{2}$ で割ると、 $t = 0$ の解が消えて $y = 0$ （ $x$ 軸）を落とす。割らずに、くくって因数分解する。

問 6　放物線 $y = x^{2} + a x + b$ が、点 $(1, 2)$ で直線 $y = 3 x - 1$ に接するとき、定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 1$ 、 $b = 0$

方針　「点 $(1, 2)$ で直線に接する」は、2 つのことを言っている。放物線がその点を通ることと、その点での接線の傾き（微分係数）が直線の傾き 3 に等しいこと。求める文字が $a$ 、 $b$ の 2 つなので、この 2 つの条件で決まる。

放物線が点 $(1, 2)$ を通るので、 $x = 1$ 、 $y = 2$ を代入する。 $1 + a + b = 2$
1 を移項して、 $a + b = 1$
微分する。 $y^{'} = 2 x + a$
$x = 1$ での微分係数が直線の傾き 3 に等しいので、 $2 + a = 3$
2 を移項して、 $a = 1$
$a + b = 1$ に代入して $1 + b = 1$ なので、 $b = 0$

確かめ: 放物線は $y = x^{2} + x$ 。 $x = 1$ のとき $y = 1 + 1 = 2$ で点 $(1, 2)$ を通り、 $y^{'} = 2 x + 1$ は $x = 1$ で $3$ 。直線 $y = 3 x - 1$ も $x = 1$ で $y = 3 - 1 = 2$ となり、同じ点を同じ傾きで通る。