関数の増減と極値｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (5) 微分・積分の考えア (イ)「導関数を用いて関数の値の増減や極大・極小を調べ，グラフの概形をかく方法を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

導関数 $f^{'} (x)$ は各点での接線の傾きなので、 $f^{'} (x)$ の符号を見れば関数の増減が分かります。
増加から減少に変わる点が極大、減少から増加に変わる点が極小で、これを増減表にまとめるとグラフの概形がかけます。

$f^{'} (x)$ の符号	$f (x)$ の増減
$f^{'} (x) > 0$ の区間	増加する
$f^{'} (x) < 0$ の区間	減少する
$f^{'} (x)$ が $+$ から $-$ に変わる $x = a$	極大（極大値 $f (a)$ ）
$f^{'} (x)$ が $-$ から $+$ に変わる $x = a$	極小（極小値 $f (a)$ ）

分かれ目は次の 3 つ。

$f^{'} (a) = 0$ は極値をとるための必要条件にすぎない。前後で符号が変わらなければ極値ではない（ $f (x) = x^{3}$ の $x = 0$ ）
三次関数が極値をもつのは、 $f^{'} (x) = 0$ が異なる 2 つの実数解をもつとき（判別式 $D > 0$ ）
「 $x = a$ で極値をとる」から $f^{'} (a) = 0$ で係数を出したら、増減表で本当に極値になるか確かめる

1. 導関数の符号と増減

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

接線の傾きが正なら右上がり、負なら右下がりです。これが導関数の符号と増減の関係です。

関数 $f (x)$ の増減と導関数 $f^{'} (x)$ の符号の関係は？

$f^{'} (x) > 0$ となる区間で $f (x)$ は増加し、 $f^{'} (x) < 0$ となる区間で減少する

ある区間で常に $f^{'} (x) = 0$ なら、 $f (x)$ はその区間で定数。

増減表はどう作るか？

$f^{'} (x) = 0$ となる $x$ を求め、その値で区切った各区間での $f^{'} (x)$ の符号と、 $f (x)$ の増減（↗・↘）を表にする

$f^{'} (x)$ を因数分解しておくと、符号がすぐ分かる。区切りの $x$ での $f (x)$ の値も書き込む。

2. 極大・極小

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

増加から減少に変わる点は、その近くでいちばん高い点、減少から増加に変わる点は、その近くでいちばん低い点です。

関数が $x = a$ で極大、極小になるとはどういうことか？

$x = a$ の前後で、増加から減少に変わるとき極大、減少から増加に変わるとき極小。そのときの $f (a)$ を極大値・極小値といい、まとめて極値という

導関数でいえば、 $f^{'} (x)$ の符号が $+$ から $-$ に変われば極大、 $-$ から $+$ に変われば極小。

$f (x)$ が $x = a$ で極値をとるとき、 $f^{'} (a)$ の値は？（ $f (x)$ は多項式）

$f^{'} (a) = 0$

極大・極小の点では接線が $x$ 軸に平行になる。ただし逆は成り立たない。

$f^{'} (a) = 0$ なのに $x = a$ で極値をとらない例は？

$f (x) = x^{3}$ の $x = 0$

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ で $f^{'} (0) = 0$ だが、 $x = 0$ の前後でも $f^{'} (x) ≧ 0$ のまま符号が変わらず、 $f (x)$ は増加し続ける。

極大値は、その関数の最大値と同じか？

同じとは限らない。極大値は「その点の近くでいちばん大きい値」で、関数全体でいちばん大きいとは限らない

極小値が極大値より大きくなることもある（極値は局所的な比べ方）。

3. 三次関数のグラフ

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

三次関数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ の導関数は二次関数です。 $f^{'} (x) = 0$ の実数解の個数で、グラフの形が決まります。

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ の極値は？

$x = - 1$ で極大値 3、 $x = 1$ で極小値 $- 1$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ 。符号は $x < - 1$ で $+$ 、 $- 1 < x < 1$ で $-$ 、 $x > 1$ で $+$ 。

三次関数 $f (x) = a x^{3} + \dots$ （ $a > 0$ ）のグラフの形は、 $f^{'} (x) = 0$ の解でどう分かれるか？

異なる 2 つの実数解をもてば、極大と極小を 1 つずつもつ（増加・減少・増加）。重解か実数解なしなら極値をもたず、常に増加する

$a < 0$ なら増加と減少を入れかえて読む。

三次関数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ が極値をもつ条件は？

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ が異なる 2 つの実数解をもつこと。判別式 $D > 0$ （ $\frac{D}{4} = b^{2} - 3 a c > 0$ ）

$D ≦ 0$ なら $f^{'} (x)$ の符号が変わらず、極値をもたない。

4. 極値から係数を決める

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

「 $x = a$ で極値をとる」という条件から係数を決めるときは、 $f^{'} (a) = 0$ を使います。ただし $f^{'} (a) = 0$ は必要条件なので、最後に確かめが要ります。

「 $f (x)$ が $x = a$ で極値をとる」条件から係数を求めたあと、何をするか？

求めた係数で増減表をかき、 $x = a$ の前後で $f^{'} (x)$ の符号が本当に変わるか（極大・極小のどちらか）を確かめる

$f^{'} (a) = 0$ は必要条件だけなので、極値にならない係数が混じることがある（十分性の確認）。

【発展】四次関数の増減（範囲外の扱い）

学習指導要領は三次までの関数を中心に扱うと定めるが、考え方は四次関数でも同じ。
$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ なら $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x + 1) (x - 1)$ 。
増減表から、 $x = - 1$ と $x = 1$ で極小値 $- 1$ 、 $x = 0$ で極大値 0 をとる（W の形のグラフ）。

練習問題

問 1　関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の極値を求めよ。

$x = 1$ で極大値 5、 $x = 3$ で極小値 1

方針　極値をとるのは、 $f^{'} (x)$ の符号が変わるところ。 $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ を求め、その前後での $f^{'} (x)$ の符号を増減表にまとめて、極大か極小かを決める。

微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$
因数分解する。 $3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)$
$f^{'} (x) = 0$ となるのは、 $x = 1, 3$
符号を調べる。 $x < 1$ では $x - 1$ と $x - 3$ がともに負なので $f^{'} (x) > 0$ 、 $1 < x < 3$ では正と負なので $f^{'} (x) < 0$ 、 $x > 3$ ではともに正なので $f^{'} (x) > 0$
$x = 1$ での値を求める。 $f (1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$
$x = 3$ での値を求める。 $f (3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
$x = 1$ で増加から減少に変わるので極大値 5、 $x = 3$ で減少から増加に変わるので極小値 1

増減表にまとめると次のようになる。

$x$	$\dots$	1	$\dots$	3	$\dots$
$f^{'} (x)$	$+$	0	$-$	0	$+$
$f (x)$	↗	5	↘	1	↗

問 2　関数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ の極値を求めよ。

$x = 0$ で極小値 0、 $x = 2$ で極大値 4

方針　極値をとるのは、 $f^{'} (x)$ の符号が変わるところ。 $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ を求めて増減表を作る。 $x^{3}$ の係数が負なので、符号の並びが「 $-$ 、 $+$ 、 $-$ 」になることに気をつける。

微分する。 $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x$
$- 3 x$ でくくる。 $- 3 x^{2} + 6 x = - 3 x (x - 2)$
$f^{'} (x) = 0$ となるのは、 $x = 0, 2$
符号を調べる。 $x < 0$ では $x$ と $x - 2$ がともに負で積は正、それに $- 3$ をかけるので $f^{'} (x) < 0$ 。 $0 < x < 2$ では積が負なので $f^{'} (x) > 0$ 。 $x > 2$ では積が正なので $f^{'} (x) < 0$
$x = 0$ での値は $f (0) = 0$
$x = 2$ での値は、 $- x^{3}$ が $- 8$ 、 $3 x^{2}$ が $12$ なので、 $- 8 + 12 = 4$
$x = 0$ で減少から増加に変わるので極小値 0、 $x = 2$ で増加から減少に変わるので極大値 4

$x$	$\dots$	0	$\dots$	2	$\dots$
$f^{'} (x)$	$-$	0	$+$	0	$-$
$f (x)$	↘	0	↗	4	↘

ここで間違えやすい　「 $x$ が小さいほうが極大」と決めつけない。 $x^{3}$ の係数が負のときは、先に極小、あとに極大がくる。必ず符号を調べる。

問 3　関数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ の増減を調べよ。

常に増加し、極値をもたない

方針　増減は $f^{'} (x)$ の符号で決まる。 $f^{'} (x)$ を因数分解して、符号が変わるところがあるかどうかを見る。

微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$
因数分解する。 $3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 (x^{2} + 2 x + 1) = 3 (x + 1)^{2}$
2 乗した数は 0 以上なので、すべての $x$ で $f^{'} (x) ≧ 0$ 。 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = - 1$ だけ
$x = - 1$ の前後ではどちらも $f^{'} (x) > 0$ で、符号が変わらない。よって $x = - 1$ で極値をとらず、 $f (x)$ は常に増加する

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$
$f^{'} (x)$	$+$	0	$+$
$f (x)$	↗	$- 1$	↗

ここで間違えやすい　 $f^{'} (- 1) = 0$ だからといって、 $x = - 1$ で極値をとると決めない。極値になるのは、前後で $f^{'} (x)$ の符号が変わるときだけ。

問 4　関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 x$ が極値をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$a < - 3$ 、 $3 < a$

方針　極値をもつのは、 $f^{'} (x)$ の符号が変わるところがあるとき。 $f^{'} (x)$ は二次式なので、 $f^{'} (x) = 0$ が異なる 2 つの実数解をもてば符号が変わる。

微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + 3$
$f^{'} (x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、 $\frac{D}{4} = a^{2} - 3 \times 3 = a^{2} - 9$
異なる 2 つの実数解をもつ条件は $D > 0$ なので、 $a^{2} - 9 > 0$
$(a + 3) (a - 3) > 0$ から、 $a < - 3$ 、 $3 < a$

ここで間違えやすい　 $D = 0$ （重解）のときは $f^{'} (x) ≧ 0$ で符号が変わらないので、極値をもたない。等号は入らない。

問 5　関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ が $x = 1$ で極小値 $- 2$ をとるとき、定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 0$ 、 $b = - 3$

方針　「 $x = 1$ で極小値 $- 2$ をとる」は、2 つの条件を含む。 $x = 1$ で極値をとるから $f^{'} (1) = 0$ 、そのときの値が $- 2$ だから $f (1) = - 2$ 。この 2 本の式で $a$ 、 $b$ を出す。ただし $f^{'} (1) = 0$ は極値をとるための必要条件にすぎないので、最後に本当に極小になるかを確かめる。

微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$
$f^{'} (1) = 0$ から、 $3 + 2 a + b = 0$
$f (1) = - 2$ から、 $1 + a + b = - 2$
手順 2 の式から手順 3 の式をひいて $b$ を消す。左辺は $(3 + 2 a + b) - (1 + a + b) = 2 + a$ 、右辺は $0 - (- 2) = 2$ なので、 $2 + a = 2$
よって $a = 0$
$1 + a + b = - 2$ に $a = 0$ を代入して $1 + b = - 2$ なので、 $b = - 3$
確かめる。 $a = 0$ 、 $b = - 3$ のとき $f (x) = x^{3} - 3 x$ で、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$
$x = 1$ の前後で $f^{'} (x)$ は $-$ から $+$ に変わるので、 $x = 1$ で確かに極小になる。極小値は $f (1) = 1 - 3 = - 2$

ここで間違えやすい　手順 7・8 の確かめを省かない。 $f^{'} (1) = 0$ から出した係数では、 $x = 1$ が極大だったり、極値でなかったりすることがある。