最大・最小と方程式・不等式への応用｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (5) 微分・積分の考えア (イ)「導関数を用いて関数の値の増減や極大・極小を調べ，グラフの概形をかく方法を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

関数の増減を調べてグラフの概形がかければ、最大値・最小値も、方程式の実数解の個数も、不等式が成り立つかどうかも、グラフを読むことに置きかわります。

求めるもの	グラフのどこを読むか
区間での最大値・最小値	極大値・極小値と、区間の端の値を比べる
$f (x) = k$ の実数解の個数	$y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数
$x ≧ a$ で $f (x) ≧ g (x)$	$F (x) = f (x) - g (x)$ の最小値が 0 以上か

分かれ目は次の 3 つ。

区間での最大・最小は、極値だけでなく端点の値とも比べる。極大値が最大値とは限らない
文字 $k$ を含む方程式は、 $k$ を片側に集めて（定数分離）、動くのは水平な直線 $y = k$ だけにする
文章題は、変数のとりうる範囲（定義域）を先に決める

1. 区間での最大・最小

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

区間 $a ≦ x ≦ b$ での最大値・最小値は、増減表で候補を挙げてから比べます。候補は、区間内の極値と、両端の値です。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で三次関数の最大値・最小値を求める手順は？

区間内で増減表をかき、極大値・極小値と、両端の値 $f (a)$ 、 $f (b)$ を比べる

区間の外にある極値は候補にしない。

$f (x) = x^{3} - 3 x$ （ $- 2 ≦ x ≦ 3$ ）の最大値と最小値は？

$x = 3$ で最大値 18、 $x = - 2$ と $x = 1$ で最小値 $- 2$

$x = - 1$ で極大値 2 をとるが、端 $x = 3$ の値のほうが大きい。極大値が最大値とは限らない例。

区間の端が文字 $a$ を含むとき（ $0 ≦ x ≦ a$ など）、最大値・最小値はどう場合分けするか？

区間が極値をとる $x$ を含むかどうか、また端の値が極値と等しくなる $a$ を境目にして分ける

グラフをかいて、区間の右端を少しずつ動かしながら、どこで最大・最小が入れかわるかを見る。

2. 方程式の実数解の個数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

方程式の実数解は、グラフの共有点の $x$ 座標です。極大値・極小値が分かれば、共有点の個数が数えられます。

方程式 $f (x) = k$ の異なる実数解の個数は、グラフで何にあたるか？

曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数

$k$ を含む方程式は、 $k$ だけを右辺に移して（定数分離）、 $y = f (x)$ のグラフを 1 回かけばよい。

方程式 $x^{3} - 3 x = k$ の異なる実数解の個数は、 $k$ によってどう変わるか？

$k < - 2$ 、 $2 < k$ のとき 1 個。 $k = \pm 2$ のとき 2 個。 $- 2 < k < 2$ のとき 3 個

$y = x^{3} - 3 x$ は $x = - 1$ で極大値 2、 $x = 1$ で極小値 $- 2$ 。直線 $y = k$ が極大値と極小値の間にあると 3 点で交わる。

三次方程式 $f (x) = 0$ （ $x^{3}$ の係数が正）が異なる 3 つの実数解をもつ条件は？

$f (x)$ が極値をもち、極大値 $> 0$ かつ極小値 $< 0$

極大値と極小値が異符号、すなわち（極大値）×（極小値） $< 0$ と言ってもよい。

三次方程式の実数解の個数を数えるとき、グラフの極大値と極小値の一方がちょうど 0 なら、解はいくつか？

異なる実数解は 2 個（極値の点で $x$ 軸に接する重解と、もう 1 つの解）

重解も数えると 3 個だが、「異なる実数解」なら 2 個。

3. 不等式の証明

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

2 つの式の大小は、差をとった 1 つの関数の最小値で判定できます。

「 $x ≧ 0$ のとき $f (x) ≧ g (x)$ 」を微分で証明する方法は？

$F (x) = f (x) - g (x)$ とおき、 $x ≧ 0$ での増減を調べて、 $F (x)$ の最小値が 0 以上であることを示す

最小値をとる $x$ で等号が成り立つ。

$x ≧ 0$ のとき $x^{3} + 16 ≧ 12 x$ はどう示すか？

$F (x) = x^{3} - 12 x + 16$ とおく。 $F^{'} (x) = 3 (x + 2) (x - 2)$ から、 $x ≧ 0$ では $x = 2$ で極小かつ最小。最小値が 0 なので $F (x) ≧ 0$

等号は $x = 2$ のとき。 $x = 2$ を代入すると $8 - 24 + 16 = 0$ 。

4. 容積の最大

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(イ)

長さを $x$ とおいて体積を式にすると、三次関数になることが多くあります。長さが正であることから、先に $x$ の範囲を決めます。

1 辺 $a$ の正方形の厚紙の四隅から 1 辺 $x$ の正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。体積と $x$ の範囲は？

体積 $V = x (a - 2 x)^{2}$ 、範囲は $0 < x < \frac{a}{2}$

底面の 1 辺は $a - 2 x$ 、高さは $x$ 。どちらも正でなければならない。

1 辺 12 cm の正方形の四隅から 1 辺 $x$ cm の正方形を切り取ってふたのない箱を作る。容積が最大になる $x$ と、その容積は？

$x = 2$ のとき、最大値 128 cm³

$V = x (12 - 2 x)^{2} = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ 、 $V^{'} = 12 (x - 2) (x - 6)$ 。 $0 < x < 6$ では $x = 2$ で極大かつ最大。底面の 1 辺は 8 cm。

練習問題

問 1　関数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ （ $- 1 ≦ x ≦ 4$ ）の最大値と最小値を求めよ。

$x = 4$ で最大値 16、 $x = - 1$ と $x = 2$ で最小値 $- 4$

方針　区間での最大値・最小値の候補は、区間の中にある極値と、両端の値。増減表で候補をすべて挙げてから、値の大きさを比べる。極大値がそのまま最大値になるとは限らない。

微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$
$3 x$ でくくる。 $3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$
$f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ で、どちらも区間 $- 1 ≦ x ≦ 4$ の中にある
符号を調べる。 $- 1 ≦ x < 0$ で $f^{'} (x) > 0$ 、 $0 < x < 2$ で $f^{'} (x) < 0$ 、 $2 < x ≦ 4$ で $f^{'} (x) > 0$
極値を求める。 $x = 0$ で極大値 $f (0) = 0$ 、 $x = 2$ で極小値 $f (2) = 8 - 12 = - 4$
両端の値を求める。 $f (- 1) = - 1 - 3 = - 4$ 、 $f (4) = 64 - 48 = 16$
最大値の候補は極大値 0 と右端の値 16 で、大きいのは 16。最小値の候補は極小値 $- 4$ と左端の値 $- 4$ で、等しい
よって $x = 4$ で最大値 16、 $x = - 1$ と $x = 2$ で最小値 $- 4$

$x$	$- 1$	$\dots$	0	$\dots$	2	$\dots$	4
$f^{'} (x)$		$+$	0	$-$	0	$+$
$f (x)$	$- 4$	↗	0	↘	$- 4$	↗	16

ここで間違えやすい　極大値 0 を最大値にしない。右端の値のほうが大きい。また、最小値をとる $x$ は 2 つあるので、両方書く。

問 2　 $a > 0$ とする。関数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ （ $0 ≦ x ≦ a$ ）の最大値と最小値を求めよ。

最大値: $0 < a ≦ 3$ のとき 0（ $x = 0$ 。 $a = 3$ のときは $x = 3$ でも）、 $3 < a$ のとき $a^{3} - 3 a$ （ $x = a$ ）
最小値: $0 < a < 1$ のとき $a^{3} - 3 a$ （ $x = a$ ）、 $1 ≦ a$ のとき $- 2$ （ $x = 1$ ）

方針　区間の右端 $a$ が動くので、先にグラフの形（増減）を決めておき、右端を右へ動かしていったときに、最大・最小をとる場所がどこで入れかわるかを見る。最小値の境目は、極小をとる $x = 1$ が区間に入るところ。最大値の境目は、右端の値が左端の値に追いつくところ。

微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$
$x ≧ 0$ では $x + 1 > 0$ なので、符号は $x - 1$ で決まる。 $0 ≦ x < 1$ で $f^{'} (x) < 0$ （減少）、 $x > 1$ で $f^{'} (x) > 0$ （増加）
$x = 1$ で極小になり、極小値は $f (1) = 1 - 3 = - 2$
両端の値は、左端が $f (0) = 0$ 、右端が $f (a) = a^{3} - 3 a$
最小値を考える。 $0 < a < 1$ のときは、区間の中でずっと減少するので、右端 $x = a$ で最小値 $a^{3} - 3 a$ 。 $1 ≦ a$ のときは、区間が $x = 1$ を含むので、 $x = 1$ で最小値 $- 2$
最大値を考える。グラフは下がってから上がるので、最大値は両端の値のうち大きいほう。右端の値が左端の値 0 と等しくなる $a$ を求めると、 $a^{3} - 3 a = 0$ から $a (a^{2} - 3) = 0$ で、 $a > 0$ なので $a = 3$
$0 < a < 3$ のときは $a^{2} - 3 < 0$ で $a^{3} - 3 a < 0$ なので、左端 $x = 0$ で最大値 0。 $a = 3$ のときは両端の値がともに 0 で、 $x = 0$ と $x = 3$ の両方で最大値 0
$3 < a$ のときは $a^{2} - 3 > 0$ で $a^{3} - 3 a > 0$ なので、右端 $x = a$ で最大値 $a^{3} - 3 a$

$x$	0	$\dots$	1	$\dots$
$f^{'} (x)$		$-$	0	$+$
$f (x)$	0	↘	$- 2$	↗

ここで間違えやすい　最大値と最小値で、場合分けの境目が違う（最小値は $a = 1$ 、最大値は $a = 3$ ）。最大値の境目を、極小をとる $x = 1$ にしない。

問 3　方程式 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x - k = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $k$ の値で分類せよ。

$k < - 20$ 、 $7 < k$ のとき 1 個。 $k = - 20$ 、 $k = 7$ のとき 2 個。 $- 20 < k < 7$ のとき 3 個

方針　方程式の実数解は、グラフの共有点の $x$ 座標。 $k$ だけを右辺に移す（定数分離）と、左辺のグラフは 1 回かけば済み、動くのは水平な直線 $y = k$ だけになる。直線を上下に動かして、共有点の個数を数える。

$k$ を右辺に移項する。 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x = k$
$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ とおいて微分する。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$
因数分解する。 $6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x^{2} - x - 2) = 6 (x + 1) (x - 2)$
$f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = - 1, 2$ 。符号は、 $x < - 1$ で $+$ 、 $- 1 < x < 2$ で $-$ 、 $x > 2$ で $+$
極大値を求める。 $x = - 1$ のとき、 $2 x^{3}$ は $- 2$ 、 $- 3 x^{2}$ は $- 3$ 、 $- 12 x$ は $12$ なので、 $- 2 - 3 + 12 = 7$
極小値を求める。 $x = 2$ のとき、 $2 x^{3}$ は $16$ 、 $- 3 x^{2}$ は $- 12$ 、 $- 12 x$ は $- 24$ なので、 $16 - 12 - 24 = - 20$
直線 $y = k$ が極大値 7 より上、または極小値 $- 20$ より下にあるとき（ $k < - 20$ 、 $7 < k$ ）、共有点は 1 個
直線が極大または極小の点をちょうど通るとき（ $k = - 20$ 、 $k = 7$ ）、そこで接して共有点は 2 個
直線が極小値と極大値の間にあるとき（ $- 20 < k < 7$ ）、共有点は 3 個

$x$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	2	$\dots$
$f^{'} (x)$	$+$	0	$-$	0	$+$
$f (x)$	↗	7	↘	$- 20$	↗

問 4　 $x ≧ 0$ のとき、 $x^{3} + 2 ≧ 3 x$ が成り立つことを証明せよ。

$F (x) = x^{3} - 3 x + 2$ の $x ≧ 0$ での最小値が 0 であることを示す（等号は $x = 1$ ）

方針　2 つの式の大小は、差をとった 1 つの関数で調べる。（左辺） $-$ （右辺）を $F (x)$ とおき、 $x ≧ 0$ での $F (x)$ の最小値が 0 以上であることを言えば、不等式が示せる。最小値は増減を調べて求める。

差をとる。 $F (x) = (x^{3} + 2) - 3 x = x^{3} - 3 x + 2$ とおく
微分する。 $F^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$
因数分解する。 $3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x + 1) (x - 1)$
$x ≧ 0$ では $x + 1 > 0$ なので、符号は $x - 1$ で決まる。 $0 ≦ x < 1$ で $F^{'} (x) < 0$ 、 $x > 1$ で $F^{'} (x) > 0$
減少から増加に変わるので、 $x ≧ 0$ では $x = 1$ で最小になる。最小値は $F (1) = 1 - 3 + 2 = 0$
よって $x ≧ 0$ のとき $F (x) ≧ 0$ 、すなわち $x^{3} + 2 ≧ 3 x$ が成り立つ。等号が成り立つのは $x = 1$ のとき

$x$	0	$\dots$	1	$\dots$
$F^{'} (x)$		$-$	0	$+$
$F (x)$	2	↘	0	↗

問 5　縦 5 cm、横 8 cm の長方形の厚紙の四隅から、1 辺 $x$ cm の正方形を切り取ってふたのない箱を作る。容積が最大になる $x$ と、そのときの容積を求めよ。

$x = 1$ のとき、最大値 18 cm³

方針　切り取る長さ $x$ を使って容積 $V$ を式にすると三次関数になるので、微分して増減を調べる。その前に、箱の辺の長さがすべて正であることから、 $x$ のとりうる範囲を決めておく。

箱の辺を $x$ で表す。両側から $x$ ずつ切るので、底面の縦は $5 - 2 x$ 、横は $8 - 2 x$ 、高さは $x$ 。よって $V = x (8 - 2 x) (5 - 2 x)$
$x$ の範囲を決める。 $x > 0$ 、 $5 - 2 x > 0$ 、 $8 - 2 x > 0$ をすべて満たすのは、 $0 < x < \frac{5}{2}$
展開する。 $(8 - 2 x) (5 - 2 x) = 40 - 16 x - 10 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} - 26 x + 40$ なので、 $V = 4 x^{3} - 26 x^{2} + 40 x$
微分する。 $V^{'} = 12 x^{2} - 52 x + 40$
因数分解する。 $12 x^{2} - 52 x + 40 = 4 (3 x^{2} - 13 x + 10) = 4 (x - 1) (3 x - 10)$
$V^{'} = 0$ となるのは $x = 1, \frac{10}{3}$ 。 $\frac{10}{3}$ は $\frac{5}{2}$ より大きく、範囲の外なので、範囲内では $x = 1$ だけ
範囲内では $3 x - 10 < 0$ なので、符号は $x - 1$ と逆になる。 $0 < x < 1$ で $V^{'} > 0$ 、 $1 < x < \frac{5}{2}$ で $V^{'} < 0$
増加から減少に変わるので、 $x = 1$ で極大かつ最大になる
$x = 1$ のとき、底面は縦 3 cm、横 6 cm、高さ 1 cm で、容積は $3 \times 6 \times 1 = 18$

$x$	0	$\dots$	1	$\dots$	$\frac{5}{2}$
$V^{'}$		$+$	0	$-$
$V$		↗	18	↘

ここで間違えやすい　 $x$ の範囲は短いほうの辺（5 cm）で決まる。範囲を決めずに進めると、 $x = \frac{10}{3}$ を捨てる理由がなくなる。

問 6　方程式 $x^{3} - 3 x^{2} + a = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$0 < a < 4$

方針　実数解の個数は、グラフの共有点の個数で数える。 $a$ を右辺に移す（定数分離）と、曲線 $y = x^{3} - 3 x^{2}$ と水平な直線 $y = - a$ の共有点の話になる。3 点で交わるのは、直線が極小値と極大値の間にあるとき。

$a$ を右辺に移項する。 $x^{3} - 3 x^{2} = - a$
$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ とおいて微分する。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$
$f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ 。符号は、 $x < 0$ で $+$ 、 $0 < x < 2$ で $-$ 、 $x > 2$ で $+$
$x = 0$ で極大値 $f (0) = 0$ 、 $x = 2$ で極小値 $f (2) = 8 - 12 = - 4$
直線 $y = - a$ が曲線と 3 点で交わるのは、直線が極小値と極大値の間にあるときなので、 $- 4 < - a < 0$
各辺に $- 1$ をかけると不等号の向きが逆になり、 $4 > a > 0$ 。すなわち $0 < a < 4$

$x$	$\dots$	0	$\dots$	2	$\dots$
$f^{'} (x)$	$+$	0	$-$	0	$+$
$f (x)$	↗	0	↘	$- 4$	↗

ここで間違えやすい　移項したので、直線は $y = a$ ではなく $y = - a$ 。 $- 4 < a < 0$ と答えない。また、極値のどちらかに一致すると共有点は 2 個になるので、等号は入らない。