不定積分と定積分｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (5) 微分・積分の考えア (ウ)「不定積分及び定積分の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の不定積分や定積分の値を求めること。」。

0. どういうまとまりか

積分は微分の逆です。微分すると $f (x)$ になる関数を探すのが不定積分、その関数の 2 つの値の差をとったものが定積分です。

	書き方	結果
不定積分	$\int f (x) d x = F (x) + C$	関数（積分定数 $C$ がつく）
定積分	$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$	数（ $C$ は差で消える）
定積分で表された関数	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$	微分するともとの関数

分かれ目は次の 3 つ。

不定積分には必ず積分定数 $C$ をつける。定積分にはつけない
$\int_{0}^{1} f (t) d t$ のように上端・下端がともに定数の定積分は、ただの数。文字 $k$ などとおいて求める
上端が $x$ の定積分 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ は $x$ の関数。微分すると $f (x)$ 、 $x = a$ を代入すると 0

1. 不定積分

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ウ)

微分して $f (x)$ になる関数を $f (x)$ の原始関数といいます。原始関数は定数の差だけいくつもあるので、それらをまとめて書いたものが不定積分です。

$f (x)$ の不定積分とは？また、 $C$ は何か？

$F^{'} (x) = f (x)$ となる関数（原始関数） $F (x)$ を使って $\int f (x) d x = F (x) + C$ と書いたもの。 $C$ は積分定数

不定積分を求めることを、 $f (x)$ を積分するという。

不定積分に積分定数 $C$ がつくのはなぜか？

定数を微分すると 0 になるので、 $F (x)$ に定数を足したものも、微分するとすべて $f (x)$ になるから

$x^{2}$ も $x^{2} + 5$ も、微分すると $2 x$ 。原始関数は 1 つに決まらない。

$\int x^{n} d x$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）は？

$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$

$\int 1 d x = x + C$ 、 $\int x d x = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 、 $\int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} + C$ 。微分してもとに戻るかで確かめる。

関数の定数倍・和・差の不定積分の性質は？（ $k$ 、 $l$ は定数）

$\int {k f (x) + l g (x)} d x = k \int f (x) d x + l \int g (x) d x$

多項式は項ごとに積分し、積分定数は最後に 1 つだけつける。

$\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x$ は？

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$

$3 \cdot \frac{1}{3} x^{3} - 4 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ 。

$F^{'} (x) = 2 x - 3$ 、 $F (1) = 0$ を満たす関数 $F (x)$ はどう求めるか？

不定積分で $F (x) = x^{2} - 3 x + C$ とし、条件 $F (1) = 0$ から $C = 2$ 。 $F (x) = x^{2} - 3 x + 2$

条件を 1 つ与えると、積分定数 $C$ が決まり、関数が 1 つに決まる。

2. 定積分

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ウ)

原始関数の、上端での値から下端での値を引いたものが定積分です。どの原始関数を使っても、 $C$ は引き算で消えます。

定積分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ の定義は？

$f (x)$ の原始関数の 1 つを $F (x)$ として、 $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

$a$ を下端、 $b$ を上端という。積分定数は差で消えるので書かない。

$\int_{1}^{3} (x^{2} - 2 x) d x$ の値は？

$\frac{2}{3}$

$[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]_{1}^{3}$ 。上端の値は $9 - 9 = 0$ 、下端の値は $\frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$ 。差をとって $\frac{2}{3}$ 。

定積分の上端・下端について成り立つ性質は？

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ 、 $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ 、 $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

どれも $F (b) - F (a)$ の形から分かる。区間を分けたりつないだりするときに使う。

$\int_{- a}^{a}$ の定積分で、奇数次の項と偶数次の項はどうなるか？

奇数次の項は 0 になり、偶数次の項は $2 \int_{0}^{a}$ になる

$\int_{- a}^{a} x d x = 0$ 、 $\int_{- a}^{a} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{a} x^{2} d x$ 。区間が原点について対称なときの計算の工夫。

3. 定積分で表された関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(5)-ア-(ウ)

上端が変数 $x$ の定積分は $x$ の関数になり、微分するともとの関数に戻ります。上端・下端がともに定数の定積分は、ただの数です。

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t$ は？（ $a$ は定数）

$f (x)$

$F^{'} (t) = f (t)$ とすると $\int_{a}^{x} f (t) d t = F (x) - F (a)$ で、これを $x$ で微分すると $F^{'} (x) = f (x)$ 。

$f (x) = 4 x - \int_{0}^{1} f (t) d t$ を満たす $f (x)$ はどう求めるか？

定積分 $\int_{0}^{1} f (t) d t$ は定数なので $k$ とおく。 $f (x) = 4 x - k$ を $k = \int_{0}^{1} (4 t - k) d t$ に入れて $k = 2 - k$ 、 $k = 1$ 。 $f (x) = 4 x - 1$

上端・下端が定数の定積分は、 $x$ を含まない 1 つの数になる。

【発展】 $(x - α)^{n}$ の形のまま積分する

$\int (x - α)^{2} d x = \frac{1}{3} (x - α)^{3} + C$ のように、 $(x - α)^{n}$ は展開せずに積分できる（微分するともとに戻る）。
一般の $(a x + b)^{n}$ の積分は数学Ⅲで扱う（ $\int (a x + b)^{n} d x = \frac{1}{a ( n + 1 )} (a x + b)^{n + 1} + C$ ）。

練習問題

問 1　不定積分 $\int (x - 1) (3 x + 1) d x$ を求めよ。

$x^{3} - x^{2} - x + C$ （ $C$ は積分定数）

方針　数学Ⅱの積分の公式 $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ は、 $x^{n}$ の和の形にしか使えない。積の形のままでは積分できないので、先に展開して多項式にし、項ごとに積分する。

展開する。 $(x - 1) (3 x + 1) = 3 x^{2} + x - 3 x - 1 = 3 x^{2} - 2 x - 1$
項ごとに積分する。 $3 x^{2}$ は $3 \cdot \frac{1}{3} x^{3} = x^{3}$ 、 $- 2 x$ は $- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2}$ 、 $- 1$ は $- x$ になる
合わせて、最後に積分定数を 1 つつける。 $\int (3 x^{2} - 2 x - 1) d x = x^{3} - x^{2} - x + C$

確かめ: $x^{3} - x^{2} - x + C$ を微分すると $3 x^{2} - 2 x - 1$ で、展開した式に戻る。

ここで間違えやすい　積分定数 $C$ を忘れない。また、 $x - 1$ と $3 x + 1$ を別々に積分してかけても、正しい答えにならない。

問 2　定積分 $\int_{- 1}^{2} (x^{2} + 2 x - 1) d x$ の値を求めよ。

方針　定積分は、原始関数を 1 つ求めて「上端での値 $-$ 下端での値」を計算する。負の数を代入するところで符号を間違えやすいので、上端と下端を別々に計算してから差をとる。

原始関数を求める。 $x^{2}$ は $\frac{1}{3} x^{3}$ 、 $2 x$ は $x^{2}$ 、 $- 1$ は $- x$ になるので、 $[\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - x]_{- 1}^{2}$
上端 $x = 2$ での値を求める。 $\frac{8}{3} + 4 - 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$
下端 $x = - 1$ での値を求める。 $(- 1)^{3} = - 1$ 、 $(- 1)^{2} = 1$ 、 $- (- 1) = 1$ なので、 $- \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{5}{3}$
差をとる。 $\frac{14}{3} - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$

ここで間違えやすい　下端の $- x$ に $x = - 1$ を入れると $+ 1$ になる。ここを $- 1$ にすると、下端の値が $- \frac{1}{3}$ になって答えがずれる。

問 3　定積分 $\int_{- 2}^{2} (x^{3} + 3 x^{2} - x + 1) d x$ の値を求めよ。

方針　積分区間が $- 2$ から $2$ で、原点について対称になっている。このとき、奇数次の項の定積分は 0 になり、偶数次の項（定数項を含む）の定積分は「0 から 2 まで」の 2 倍になる。項を分ければ、計算する量が半分以下になる。

項を分ける。奇数次の項は $x^{3}$ と $- x$ 、偶数次の項は $3 x^{2}$ と $1$
奇数次の項の定積分は 0 になる。 $\int_{- 2}^{2} (x^{3} - x) d x = 0$
偶数次の項の定積分は 2 倍にまとめる。 $\int_{- 2}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = 2 \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x$
原始関数を求める。 $3 x^{2}$ は $x^{3}$ 、 $1$ は $x$ になるので、 $2 \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = 2 [x^{3} + x]_{0}^{2}$
上端 $x = 2$ での値は $8 + 2 = 10$ 、下端 $x = 0$ での値は 0
よって $2 \times (10 - 0) = 20$

確かめ: 性質を使わずに計算すると $[\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x]_{- 2}^{2}$ 。上端の値は $4 + 8 - 2 + 2 = 12$ 、下端の値は $4 - 8 - 2 - 2 = - 8$ で、差は $12 - (- 8) = 20$ 。同じ値になる。

ここで間違えやすい　定数項 $1$ は偶数次（0 次）の項なので、消えずに残る。

問 4　 $f^{'} (x) = 6 x - 2$ 、 $f (1) = 3$ を満たす関数 $f (x)$ を求めよ。

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

方針　導関数 $f^{'} (x)$ が分かっているので、積分すればもとの関数 $f (x)$ が出る。ただし積分定数 $C$ が残るので、もう 1 つの条件 $f (1) = 3$ を使って $C$ を決める。

$f^{'} (x)$ を積分する。 $6 x$ は $6 \cdot \frac{1}{2} x^{2} = 3 x^{2}$ 、 $- 2$ は $- 2 x$ になるので、 $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + C$
$x = 1$ を代入する。 $f (1) = 3 - 2 + C = 1 + C$
条件 $f (1) = 3$ から、 $1 + C = 3$
1 を移項して、 $C = 2$
よって $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

確かめ: $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$ を微分すると $6 x - 2$ 。 $x = 1$ を代入すると $3 - 2 + 2 = 3$ 。2 つの条件に合う。

問 5　等式 $\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} - 3 x + 2$ を満たす関数 $f (x)$ と、定数 $a$ の値を求めよ。

$f (x) = 2 x - 3$ 、 $a = 1$ または $a = 2$

方針　上端が $x$ の定積分 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ には、性質が 2 つある。 $x$ で微分すると $f (x)$ に戻ることと、 $x = a$ を代入すると上端と下端が同じになって 0 になること。微分で $f (x)$ を、代入で $a$ を求める。

両辺を $x$ で微分する。左辺は $f (x)$ 、右辺は $2 x - 3$ になるので、 $f (x) = 2 x - 3$
もとの等式の両辺に $x = a$ を代入する。左辺は $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ 、右辺は $a^{2} - 3 a + 2$
左辺と右辺が等しいので、 $a^{2} - 3 a + 2 = 0$
因数分解して $(a - 1) (a - 2) = 0$ なので、 $a = 1$ または $a = 2$

確かめ: $a = 1$ のとき、 $\int_{1}^{x} (2 t - 3) d t = [t^{2} - 3 t]_{1}^{x} = (x^{2} - 3 x) - (1 - 3) = x^{2} - 3 x + 2$ で、右辺と一致する。 $a = 2$ のときも、下端の値が $4 - 6 = - 2$ で同じ結果になる。

ここで間違えやすい　 $a$ は 1 つに決まらない。 $a = 1$ と $a = 2$ のどちらでも等式が成り立つので、両方を答える。

問 6　 $f (x) = x^{2} + \int_{0}^{2} f (t) d t$ を満たす関数 $f (x)$ を求めよ。

$f (x) = x^{2} - \frac{8}{3}$

方針　 $\int_{0}^{2} f (t) d t$ は上端も下端も定数なので、 $x$ を含まないただの数である。これを $k$ とおくと $f (x)$ の形が決まる。その $f$ を $k$ の定義にもう一度入れると、 $k$ だけの方程式になる。

$\int_{0}^{2} f (t) d t = k$ （定数）とおくと、 $f (x) = x^{2} + k$
$k$ の定義に $f (t) = t^{2} + k$ を入れる。 $k = \int_{0}^{2} (t^{2} + k) d t$
右辺を計算する。 $k$ は定数なので、原始関数は $\frac{1}{3} t^{3} + k t$ 。 $\int_{0}^{2} (t^{2} + k) d t = [\frac{1}{3} t^{3} + k t]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 k$
よって $k = \frac{8}{3} + 2 k$
$2 k$ を左辺に移項して $- k = \frac{8}{3}$ なので、 $k = - \frac{8}{3}$
$f (x) = x^{2} + k$ に戻して、 $f (x) = x^{2} - \frac{8}{3}$

確かめ: $\int_{0}^{2} (t^{2} - \frac{8}{3}) d t = \frac{8}{3} - \frac{16}{3} = - \frac{8}{3}$ で、 $k$ と一致する。

ここで間違えやすい　 $k$ を積分するとき、 $k$ は定数なので $k t$ になる（ $\frac{1}{2} k^{2}$ ではない）。0 から 2 までで $2 k$ 。