グラフの移動と係数の符号｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (3) 二次関数ア (ア)「二次関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。

0. どういうまとまりか

グラフを動かすと式がどう変わるか、逆にグラフの形から式の係数の符号がどう読めるかを扱います。
どちらも「式の文字をどう置き換えるか」「グラフのどこを見るか」の決まりを覚えておけば、計算は短くなります。

移動	式の置き換え	移動後の式
$x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ の平行移動	$x$ を $x - p$ 、 $y$ を $y - q$ に	$y - q = f (x - p)$
x 軸に関する対称移動	$y$ を $- y$ に	$y = - f (x)$
y 軸に関する対称移動	$x$ を $- x$ に	$y = f (- x)$
原点に関する対称移動	$x$ を $- x$ 、 $y$ を $- y$ に	$y = - f (- x)$

分かれ目は次の 3 つ。

$x$ 軸方向に $p$ 動かすとき、 $x$ を $x + p$ ではなく $x - p$ に置き換える
対称移動で $a$ の符号が変わるのは x 軸と原点に関するとき。y 軸に関するときは変わらない
$b$ の符号は、軸 $x = - \frac{b}{2 a}$ の位置と $a$ の符号を組にして読む。 $b$ 単独ではグラフのどこにも現れない

1. 平行移動の式

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ア)

$y = f (x)$ のグラフ上の点 $(s, t)$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点を $(X, Y)$ とすると、
$s = X - p$ 、 $t = Y - q$ です。これを $t = f (s)$ に入れると $Y - q = f (X - p)$ になります。
移動後の点から、元の点へ戻して代入しているので、符号が移動の向きと逆になります。

$y = f (x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの式は？

$y - q = f (x - p)$ （ $x$ を $x - p$ に、 $y$ を $y - q$ に置き換える）

$y = f (x - p) + q$ と書いても同じ。

平行移動の式で、 $x$ を $x + p$ ではなく $x - p$ に置き換えるのはなぜか？

移動後の点 $(X, Y)$ を元に戻した点 $(X - p, Y - q)$ が、元のグラフ上にあるから

元の式に入るのは「戻した点」の座標。

二次関数のグラフの平行移動を、式を展開せずに求めるにはどうするか？

頂点の移動だけを考える

頂点 $(s, t)$ は $(s + p, t + q)$ に移り、 $x^{2}$ の係数 $a$ は変わらない。

2. 対称移動

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ア)

x 軸に関して対称な点は $y$ 座標の符号だけが、y 軸に関して対称な点は $x$ 座標の符号だけが変わります。
原点に関して対称な点は、両方の符号が変わります。二次関数では、頂点の動きと凸の向きで確かめられます。

$y = f (x)$ のグラフを x 軸に関して対称移動したグラフの式は？

$y = - f (x)$ （ $y$ を $- y$ に置き換える）

頂点の $y$ 座標の符号が変わり、凸の向きが逆になる。

$y = f (x)$ のグラフを y 軸に関して対称移動したグラフの式は？

$y = f (- x)$ （ $x$ を $- x$ に置き換える）

頂点の $x$ 座標の符号が変わる。凸の向きは変わらない。

$y = f (x)$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフの式は？

$y = - f (- x)$ （ $x$ を $- x$ 、 $y$ を $- y$ に置き換える）

頂点 $(p, q)$ は $(- p, - q)$ に移り、凸の向きが逆になる。

二次関数のグラフを対称移動したとき、 $x^{2}$ の係数 $a$ の符号が変わるのはどの移動か？

x 軸に関する対称移動と、原点に関する対称移動

y 軸に関する対称移動では $a$ は変わらない（左右を入れ替えるだけ）。

3. グラフから係数の符号を読む

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ア)

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフが与えられたとき、 $a$ ・ $b$ ・ $c$ の符号は、凸の向き・ $y$ 軸との交点・軸の位置から読めます。
頂点の $y$ 座標の符号（x 軸と交わるかどうか）は、判別式を使って二次方程式とグラフで読みます。

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフで、 $c$ の符号はグラフのどこで読むか？

$y$ 軸との交点（ $y$ 切片）の $y$ 座標

$x = 0$ を代入すると $y = c$ 。

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフで、 $b$ の符号はどう読むか？

軸 $x = - \frac{b}{2 a}$ の位置と $a$ の符号から読む

軸が $y$ 軸より右（ $- \frac{b}{2 a} > 0$ ）なら、 $a$ と $b$ は異符号。左なら同符号。

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフが下に凸で、軸が $y$ 軸より右にある。 $b$ の符号は？

$b < 0$

$a > 0$ で $- \frac{b}{2 a} > 0$ だから $b < 0$ 。

$y = a x^{2} + b x + c$ で、 $a + b + c$ と $a - b + c$ はグラフのどこで読むか？

$a + b + c$ は $x = 1$ のときの $y$ 座標、 $a - b + c$ は $x = - 1$ のときの $y$ 座標

$f (1) = a + b + c$ 、 $f (- 1) = a - b + c$ 。

練習問題

問 1　 $y = x^{2} + 2 x$ のグラフを、 $x$ 軸方向に 3、 $y$ 軸方向に $- 1$ だけ平行移動したグラフの式を求めよ。

$y = x^{2} - 4 x + 2$

方針　平行移動したグラフの式は、「 $x$ を $x - p$ に、 $y$ を $y - q$ に置き換える」と出る。ここでは $p = 3$ 、 $q = - 1$ なので、 $x$ を $x - 3$ に、 $y$ を $y - (- 1)$ つまり $y + 1$ に置き換える。

元の式 $y = x^{2} + 2 x$ の $x$ と $y$ を置き換える。 $y + 1 = (x - 3)^{2} + 2 (x - 3)$
$(x - 3)^{2}$ を展開する。 $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$
$2 (x - 3)$ を展開する。 $2 (x - 3) = 2 x - 6$
2 つを足して、右辺をまとめる。 $y + 1 = x^{2} - 6 x + 9 + 2 x - 6 = x^{2} - 4 x + 3$
左辺の $+ 1$ を右辺に移項する。 $y = x^{2} - 4 x + 3 - 1 = x^{2} - 4 x + 2$

確かめ（頂点で見る）: 元の式は $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ なので頂点は $(- 1, - 1)$ 。これを $x$ 軸方向に 3、 $y$ 軸方向に $- 1$ 動かすと $(2, - 2)$ に移る。求めた式は $x^{2} - 4 x + 2 = (x - 2)^{2} - 2$ で頂点が $(2, - 2)$ になり、一致する。

ここで間違えやすい　「 $x$ 軸方向に 3 だから $x + 3$ 」としない。式に入れるのは、移動後の点を元に戻した座標なので、符号が移動の向きと逆になる。 $y$ も同じで、 $- 1$ 動かすなら $y + 1$ に置き換える。

問 2　 $y = 2 x^{2} - 4 x + 3$ のグラフを、x 軸・y 軸・原点のそれぞれに関して対称移動したグラフの式を求めよ。

x 軸: $y = - 2 x^{2} + 4 x - 3$ 、y 軸: $y = 2 x^{2} + 4 x + 3$ 、原点: $y = - 2 x^{2} - 4 x - 3$

方針　対称移動は、符号が入れ替わる座標の文字を、式の中で置き換えれば出る。x 軸に関してなら $y$ を $- y$ に、y 軸に関してなら $x$ を $- x$ に、原点に関してならその両方を置き換える。

x 軸に関する対称移動。 $y$ を $- y$ に置き換える。 $- y = 2 x^{2} - 4 x + 3$
両辺に $- 1$ を掛けて $y$ について解く。右辺のすべての項の符号が変わり、 $y = - 2 x^{2} + 4 x - 3$
y 軸に関する対称移動。 $x$ を $- x$ に置き換える。 $y = 2 (- x)^{2} - 4 (- x) + 3$
$(- x)^{2} = x^{2}$ 、 $- 4 (- x) = 4 x$ なので、 $y = 2 x^{2} + 4 x + 3$ （ $x$ の 1 次の項だけ符号が変わる）
原点に関する対称移動。 $x$ を $- x$ に、 $y$ を $- y$ に置き換える。右辺は 4. と同じなので、 $- y = 2 x^{2} + 4 x + 3$
両辺に $- 1$ を掛けて、 $y = - 2 x^{2} - 4 x - 3$

確かめ（頂点で見る）: 元の式は $2 x^{2} - 4 x + 3 = 2 (x - 1)^{2} + 1$ で、頂点は $(1, 1)$ 、下に凸。

移動	頂点	凸の向き	式
x 軸	$(1, - 1)$	上に凸	$- 2 (x - 1)^{2} - 1 = - 2 x^{2} + 4 x - 3$
y 軸	$(- 1, 1)$	下に凸	$2 (x + 1)^{2} + 1 = 2 x^{2} + 4 x + 3$
原点	$(- 1, - 1)$	上に凸	$- 2 (x + 1)^{2} - 1 = - 2 x^{2} - 4 x - 3$

ここで間違えやすい　y 軸に関する対称移動では、 $x^{2}$ の係数と定数項は変わらない。全部の項の符号を変えるのは x 軸に関するときである。

問 3　 $y = x^{2} - 2 x + 3$ のグラフをどのように平行移動すると、 $y = x^{2} + 4 x + 1$ のグラフに重なるか。

$x$ 軸方向に $- 3$ 、 $y$ 軸方向に $- 5$

方針　平行移動しても放物線の形（ $x^{2}$ の係数）は変わらず、動くのは位置だけ。2 つの式はどちらも $x^{2}$ の係数が 1 なので重ねられる。位置は頂点で代表できるから、両方を平方完成して頂点を出し、頂点がどれだけ動いたかを見る。

移動前の式を平方完成する。 $x$ の係数 $- 2$ の半分は $- 1$ 、その 2 乗は 1 なので、 $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$
定数項を合わせる。 $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} - 1 + 3 = (x - 1)^{2} + 2$ 。頂点は $(1, 2)$
移動後の式を平方完成する。 $x$ の係数 4 の半分は 2、その 2 乗は 4 なので、 $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$
定数項を合わせる。 $x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ 。頂点は $(- 2, - 3)$
頂点は $(1, 2)$ から $(- 2, - 3)$ へ動いた。 $x$ 軸方向の移動は「移動後 $-$ 移動前」で $- 2 - 1 = - 3$
$y$ 軸方向の移動も同じように、 $- 3 - 2 = - 5$

ここで間違えやすい　引く順番を逆にして「 $x$ 軸方向に 3、 $y$ 軸方向に 5」としない。動かす量は、行き先の座標から元の座標を引く。

問 4　放物線 $y = x^{2} + b x + c$ を $x$ 軸方向に 2、 $y$ 軸方向に $- 3$ だけ平行移動すると、 $y = x^{2} - 2 x + 1$ になった。 $b$ 、 $c$ の値を求めよ。

$b = 2$ 、 $c = 4$

方針　分かっているのは移動したあとの式で、求めたいのは移動する前の式。だから移動を逆向きにたどる。 $x$ 軸方向に 2、 $y$ 軸方向に $- 3$ の逆は、 $x$ 軸方向に $- 2$ 、 $y$ 軸方向に 3 の平行移動である。

逆向きの移動は $p = - 2$ 、 $q = 3$ 。 $x$ を $x - (- 2)$ つまり $x + 2$ に、 $y$ を $y - 3$ に置き換える
移動後の式 $y = x^{2} - 2 x + 1$ を置き換える。 $y - 3 = (x + 2)^{2} - 2 (x + 2) + 1$
展開する。 $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ 、 $- 2 (x + 2) = - 2 x - 4$
右辺をまとめる。 $y - 3 = x^{2} + 4 x + 4 - 2 x - 4 + 1 = x^{2} + 2 x + 1$
左辺の $- 3$ を移項する。 $y = x^{2} + 2 x + 1 + 3 = x^{2} + 2 x + 4$
これが元の放物線 $y = x^{2} + b x + c$ なので、係数を比べて $b = 2$ 、 $c = 4$

確かめ（頂点で見る）: 移動後の式は $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ で頂点 $(1, 0)$ 。逆向きに戻すと頂点は $(1 - 2, 0 + 3)$ つまり $(- 1, 3)$ 。 $(x + 1)^{2} + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 3 = x^{2} + 2 x + 4$ となり、一致する。

ここで間違えやすい　与えられた移動（ $x$ 軸方向に 2、 $y$ 軸方向に $- 3$ ）を、移動後の式 $y = x^{2} - 2 x + 1$ にそのままもう一度かけない。それでは元に戻らず、さらに先へ動かしてしまう。

問 5　 $y = a x^{2} + b x + c$ のグラフが上に凸で、 $y$ 軸の正の部分と交わり、軸が $y$ 軸より右にある。 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の符号を答えよ。

$a < 0$ 、 $b > 0$ 、 $c > 0$

方針　 $a$ は凸の向き、 $c$ は $y$ 軸との交点から、それぞれ単独で読める。 $b$ はグラフのどこにも単独では現れないので、軸 $x = - \frac{b}{2 a}$ の位置と $a$ の符号を組にして、最後に読む。

グラフが上に凸なので、 $a < 0$
$x = 0$ を代入すると $y = c$ なので、 $c$ は $y$ 軸との交点の $y$ 座標。 $y$ 軸の正の部分と交わるから、 $c > 0$
軸は直線 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。これが $y$ 軸より右にあるので、 $- \frac{b}{2 a} > 0$
両辺に $- 1$ を掛けると $\frac{b}{2 a} < 0$ 。分数が負になるのは分子と分母が異符号のときなので、 $a$ と $b$ は異符号
1. から $a < 0$ なので、 $b > 0$

ここで間違えやすい　「軸が右にあるから $b > 0$ 」と、軸の位置だけで決めない。同じく軸が右にあっても、下に凸（ $a > 0$ ）なら $b < 0$ になる。必ず $a$ の符号と組にして読む。