二次関数のグラフ｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (3) 二次関数ア (ア)「二次関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。

0. どういうまとまりか

中 3 で学んだ $y = a x^{2}$ のグラフは、頂点が原点の放物線でした。
これを平行移動すると、頂点がどこにでもある放物線 $y = a (x - p)^{2} + q$ になります。
一般の二次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ も、平方完成で $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に直せば、頂点と対称軸がすぐに読めます。

式の形	頂点	対称軸	いつ使うか
$y = a x^{2}$	$(0, 0)$	$x = 0$ （ $y$ 軸）	中 3 の形
$y = a (x - p)^{2} + q$	$(p, q)$	$x = p$	頂点・軸が分かっているとき
$y = a x^{2} + b x + c$	平方完成して読む	$x = - \frac{b}{2 a}$	通る 3 点が分かっているとき
$y = a (x - α) (x - β)$	—	$x = \frac{α + β}{2}$	x 軸との交点が分かっているとき

分かれ目は次の 3 つ。

$y = a (x - p)^{2} + q$ の頂点は $(p, q)$ 。 $y = 2 (x + 3)^{2} - 1$ の頂点は $(- 3, - 1)$ で、 $x$ 座標の符号が式と逆に見える
平方完成では、 $a$ でくくるのは $x^{2}$ の項と $x$ の項だけ。定数項まで割らない
グラフの形（開き方と向き）は $a$ だけで決まる。平行移動しても $a$ は変わらない

1. 関数と f(x)、平行移動

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ア)

$y$ が $x$ の関数であることを $y = f (x)$ と書きます。 $f (x)$ の $x$ に数 $a$ を入れた値が $f (a)$ です。
$y = a x^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、頂点は原点から $(p, q)$ に移り、
グラフは $y = a (x - p)^{2} + q$ になります。頂点を通り $y$ 軸に平行な直線 $x = p$ が対称軸（軸）です。

二次関数とは、どんな式で表される関数か？

$y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq = 0$ ）

$a = 0$ なら一次関数（またはそれ以下）になるので、 $a \neq = 0$ が条件。

関数 $y = f (x)$ で、 $f (a)$ は何を表すか？

$x = a$ のときの $y$ の値

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ なら、 $f (1)$ は $1 - 3 + 1 = - 1$ 。 $x$ にかっこごと入れる。

$y = a (x - p)^{2} + q$ のグラフは、 $y = a x^{2}$ のグラフをどのように移動したものか？

$x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したもの

形は $y = a x^{2}$ と同じで、位置だけが変わる。

$y = a (x - p)^{2} + q$ のグラフの頂点と対称軸は？

頂点 $(p, q)$ 、軸は直線 $x = p$

放物線は軸について線対称。

$y = - 2 (x + 3)^{2} + 1$ のグラフの頂点は？

$(- 3, 1)$

$x + 3 = x - (- 3)$ なので $p = - 3$ 。 $x$ 座標の符号を取り違えやすい。

二次関数のグラフを平行移動しても変わらないものは何か？

$x^{2}$ の係数 $a$ （グラフの形・開き方・向き）

変わるのは頂点の位置だけ。

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフは、 $a > 0$ と $a < 0$ でそれぞれどんな形か？

$a > 0$ なら下に凸、 $a < 0$ なら上に凸

下に凸は「谷の形」（頂点がいちばん低い）、上に凸は「山の形」（頂点がいちばん高い）。

2. 平方完成と頂点

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ア)

$y = a x^{2} + b x + c$ を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に直すことを平方完成といいます。
頂点と対称軸を読むための一手で、最大・最小、不等式のどれにも使います。

$x^{2} + b x$ を平方完成すると？

$(x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}$

$x$ の係数の半分を 2 乗して足し、同じものを引く。

$x^{2}$ の係数 $a$ が 1 でない $a x^{2} + b x + c$ を平方完成するとき、最初に何をするか？

$x^{2}$ の項と $x$ の項だけを $a$ でくくる

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ 。定数項 $c$ は外に残す。

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフの頂点の座標は？

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a})$

軸は $x = - \frac{b}{2 a}$ 。覚えるより平方完成で出すほうが間違えにくい。

3. 条件から式を決める

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ア)

グラフの条件から二次関数を決めるときは、分かっていることに合わせて式の形を選ぶと、未知数が少なくなります。

頂点や軸が分かっている二次関数を求めるとき、式をどうおくか？

$y = a (x - p)^{2} + q$ とおく

頂点 $(p, q)$ が分かれば残りは $a$ だけ。軸 $x = p$ だけなら $a$ と $q$ の 2 つ。

グラフが通る 3 点が分かっている二次関数を求めるとき、式をどうおくか？

$y = a x^{2} + b x + c$ とおき、3 点を代入して $a$ 、 $b$ 、 $c$ の連立方程式を解く

$x = 0$ の点があれば、そこから $c$ がすぐ決まる。

グラフと x 軸の交点 $(α, 0)$ 、 $(β, 0)$ が分かっている二次関数を求めるとき、式をどうおくか？

$y = a (x - α) (x - β)$ とおく

残りの 1 点を代入すれば $a$ が決まる。

練習問題

問 1　 $y = x^{2} - 6 x + 5$ を平方完成し、グラフの頂点と軸を求めよ。

$y = (x - 3)^{2} - 4$ 、頂点 $(3, - 4)$ 、軸は直線 $x = 3$

方針　頂点と軸は $y = (x - p)^{2} + q$ の形から読むので、まず平方完成する。平方完成は「 $x$ の係数の半分を 2 乗して足し、同じ数を引く」。

$x$ の係数 $- 6$ の半分は $- 3$ 、その 2 乗は 9
$(x - 3)^{2}$ を展開すると $x^{2} - 6 x + 9$ で、 $x^{2} - 6 x$ より 9 だけ多い。だから 9 を引いて、 $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$
これを元の式の $x^{2} - 6 x$ のところに入れる。 $y = (x - 3)^{2} - 9 + 5$
定数をまとめる。 $- 9 + 5 = - 4$ なので、 $y = (x - 3)^{2} - 4$
$y = (x - p)^{2} + q$ と比べると $p = 3$ 、 $q = - 4$ 。頂点は $(3, - 4)$ 、軸は直線 $x = 3$

ここで間違えやすい　式に見えているのは $x - 3$ だが、頂点の $x$ 座標は $- 3$ ではなく 3。かっこの中が 0 になる $x$ の値が頂点の $x$ 座標である。

問 2　 $y = 2 x^{2} + 8 x + 3$ を平方完成し、グラフの頂点を求めよ。

$y = 2 (x + 2)^{2} - 5$ 、頂点 $(- 2, - 5)$

方針　 $x^{2}$ の係数が 2 なので、そのままでは「係数の半分の 2 乗」が使えない。まず $x^{2}$ の項と $x$ の項だけを 2 でくくり、かっこの中を平方完成する。定数項 3 はかっこの外に残す。

$x^{2}$ の項と $x$ の項を 2 でくくる。 $y = 2 (x^{2} + 4 x) + 3$
かっこの中を平方完成する。 $x$ の係数 4 の半分は 2、その 2 乗は 4 なので、 $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$
これをかっこの中に戻す。 $y = 2 {(x + 2)^{2} - 4} + 3$
中かっこを外す。 $- 4$ にも 2 が掛かるので、 $y = 2 (x + 2)^{2} - 8 + 3$
定数をまとめる。 $- 8 + 3 = - 5$ なので、 $y = 2 (x + 2)^{2} - 5$
$x + 2 = x - (- 2)$ なので、頂点は $(- 2, - 5)$

確かめ: 展開すると $2 (x + 2)^{2} - 5 = 2 (x^{2} + 4 x + 4) - 5 = 2 x^{2} + 8 x + 8 - 5 = 2 x^{2} + 8 x + 3$ で、元の式に戻る。

ここで間違えやすい　4. で $- 4$ に 2 を掛け忘れて $2 (x + 2)^{2} - 4 + 3$ としない。また、1. で定数項 3 まで 2 で割らない。

問 3　 $y = - x^{2} + 3 x + 1$ のグラフの頂点を求めよ。

$(\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$

方針　頂点は平方完成して読む。 $x^{2}$ の係数が $- 1$ なので、まず $x^{2}$ の項と $x$ の項を $- 1$ でくくり、かっこの中を平方完成する。 $x$ の係数が奇数なので、半分は分数になる。

$x^{2}$ の項と $x$ の項を $- 1$ でくくる。 $+ 3 x$ はかっこの中で $- 3 x$ になり、 $y = - (x^{2} - 3 x) + 1$
かっこの中を平方完成する。 $x$ の係数 $- 3$ の半分は $- \frac{3}{2}$ 、その 2 乗は $\frac{9}{4}$ なので、 $x^{2} - 3 x = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$
かっこの中に戻す。 $y = - {(x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}} + 1$
中かっこを外す。 $- \frac{9}{4}$ にもマイナスが掛かって $+ \frac{9}{4}$ になり、 $y = - (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4} + 1$
定数を通分してまとめる。 $\frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$ なので、 $y = - (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{13}{4}$
頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$

ここで間違えやすい　 $- 1$ でくくるときは、中の $x$ の項の符号が変わる（ $+ 3 x$ が $- 3 x$ になる）。また、4. で中かっこを外すとき、 $- \frac{9}{4}$ の符号を変え忘れて $- \frac{9}{4} + 1$ としない。

問 4　グラフの頂点が $(1, - 3)$ で、点 $(3, 5)$ を通る二次関数を求めよ。

$y = 2 (x - 1)^{2} - 3$ （ $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ ）

方針　頂点が分かっているので、式を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形におく。頂点 $(p, q)$ を入れると、分からないのは $a$ だけになる。 $a$ は、通る点の座標を代入して決める。

頂点が $(1, - 3)$ なので、 $p = 1$ 、 $q = - 3$ として $y = a (x - 1)^{2} - 3$ とおく
点 $(3, 5)$ を通るので、 $x = 3$ 、 $y = 5$ を代入する。 $5 = a (3 - 1)^{2} - 3$
かっこの中を計算する。 $(3 - 1)^{2} = 2^{2} = 4$ なので、 $5 = 4 a - 3$
$- 3$ を移項して $4 a = 5 + 3 = 8$ 。両辺を 4 で割って $a = 2$
$a = 2$ を 1. の式に戻す。 $y = 2 (x - 1)^{2} - 3$
展開した形にするなら、 $2 (x - 1)^{2} - 3 = 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 3 = 2 x^{2} - 4 x + 2 - 3 = 2 x^{2} - 4 x - 1$

確かめ: $x = 3$ を入れると $2 \times (3 - 1)^{2} - 3 = 2 \times 4 - 3 = 5$ で、点 $(3, 5)$ を通る。

問 5　グラフが 3 点 $(- 1, 6)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(2, 3)$ を通る二次関数を求めよ。

$y = 2 x^{2} - 3 x + 1$

方針　頂点も軸も分かっておらず、分かっているのは通る 3 点だけ。このときは一般の形 $y = a x^{2} + b x + c$ とおき、3 点の座標を代入して $a$ 、 $b$ 、 $c$ の連立方程式を作る。文字が 3 つ、式が 3 つなので解ける。

点 $(- 1, 6)$ を代入する。 $a \times (- 1)^{2} + b \times (- 1) + c = 6$ から、 $a - b + c = 6$ …①
点 $(1, 0)$ を代入する。 $a + b + c = 0$ …②
点 $(2, 3)$ を代入する。 $a \times 2^{2} + b \times 2 + c = 3$ から、 $4 a + 2 b + c = 3$ …③
①と②は $b$ の符号だけが違うので、②から①を引くと $a$ と $c$ が消える。 $2 b = 0 - 6 = - 6$ なので、 $b = - 3$
$b = - 3$ を②に代入する。 $a - 3 + c = 0$ から、 $a + c = 3$ …④
$b = - 3$ を③に代入する。 $4 a - 6 + c = 3$ から、 $4 a + c = 9$ …⑤
⑤から④を引くと $c$ が消える。 $3 a = 9 - 3 = 6$ なので、 $a = 2$
$a = 2$ を④に代入する。 $2 + c = 3$ から、 $c = 1$
よって、 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$

確かめ: 求めた式に 3 点を入れ直す。 $x = - 1$ のとき $2 \times (- 1)^{2} - 3 \times (- 1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$ 、 $x = 1$ のとき $2 - 3 + 1 = 0$ 、 $x = 2$ のとき $2 \times 2^{2} - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ で、3 点とも通る。

問 6　 $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ のとき、 $f (- 1)$ と $f (a + 1)$ を求めよ。

$f (- 1)$ は 6、 $f (a + 1) = a^{2} - 2 a - 2$

方針　 $f ()$ のかっこに入っているものを、式 $x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ のところ全部に、かっこごと入れる。入れるものが数でも、 $a + 1$ のような式でも、やり方は同じである。

$f (- 1)$ は、 $x$ に $- 1$ をかっこごと入れて、 $(- 1)^{2} - 4 \times (- 1) + 1$
$(- 1)^{2}$ は 1、 $- 4 \times (- 1)$ は 4 なので、 $(- 1)^{2} - 4 \times (- 1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6$
$f (a + 1)$ は、 $x$ に $a + 1$ をかっこごと入れる。 $f (a + 1) = (a + 1)^{2} - 4 (a + 1) + 1$
それぞれ展開する。 $(a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a + 1$ 、 $- 4 (a + 1) = - 4 a - 4$
並べると、 $f (a + 1) = a^{2} + 2 a + 1 - 4 a - 4 + 1$
同類項をまとめる。 $a$ の項は $2 a - 4 a = - 2 a$ 、定数項は $1 - 4 + 1 = - 2$ なので、 $f (a + 1) = a^{2} - 2 a - 2$

ここで間違えやすい　かっこを付けずに入れると、 $- 1^{2}$ を $- 1$ と計算したり、 $- 4 (a + 1)$ を $- 4 a + 1$ としたりする。負の数や式は、必ずかっこを付けて入れる。