三角形の面積と図形の計量

$s=\frac{a+b+c}{2}$ として、$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

数学Ⅰの本文では扱わず、教科書でも発展として触れる程度。検算に使うと便利なので、復習には出さずにここに置いている。

$S=\frac{15}{2}$

方針　分かっているのは 2 辺 $b$、$c$ と、その間の角 $A$。これは面積の公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ にちょうど必要な 3 つなので、そのまま入れる。$A$ が鈍角でも同じ式で求まる。

1. 面積の公式に入れて、$S=\frac{1}{2}\times 6\times 5\times \sin 150^{\circ }$
2. $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$ なので、$\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$
3. これを入れて、$S=\frac{1}{2}\times 6\times 5\times \frac{1}{2}=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$

ここで間違えやすい　鈍角でも sin は正（$\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$）。$-\frac{1}{2}$ にすると面積が負になる。また $\cos 150^{\circ }$ の値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ と取り違えない。

$S=10\sqrt{3}$、$r=\sqrt{3}$

方針　面積の公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ には角の sin が要るが、分かっているのは 3 辺だけ。3 辺から角を出せるのは余弦定理なので、まず $\cos A$ を求め、$\sin A$ に直してから面積を出す。内接円の半径は、面積と 3 辺の和を結ぶ $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ から求める。

1. 余弦定理の cos を求める形に入れる。$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\times 5\times 8}$
2. 分子は $25+64-49=40$、分母は $2\times 5\times 8=80$ なので、$\cos A=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$
3. $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ で cos が $\frac{1}{2}$ になるのは $A=60^{\circ }$。よって $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$
4. 面積の公式に入れて、$S=\frac{1}{2}\times 5\times 8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$
5. 次に内接円の半径。3 辺の和は $7+5+8=20$
6. $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ に $S=10\sqrt{3}$ と 3 辺の和 20 を入れる。$\frac{1}{2}\times 20=10$ なので、$10\sqrt{3}=10r$
7. 両辺を 10 で割って、$r=\sqrt{3}$

ここで間違えやすい　面積の公式に使う角は、2 辺の間の角。$\sin A$ を使うなら、掛ける 2 辺は $A$ をはさむ $b=5$ と $c=8$ で、向かいの辺 $a=7$ は使わない。

（検算・発展）ヘロンの公式では $s=\frac{7+5+8}{2}=10$、$S=\sqrt{10\times 3\times 5\times 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ で一致する。

$AD=2$

方針　AD を含む三角形 ABD や ADC では、分かっている辺と角が足りず、正弦定理も余弦定理もすぐには使えない。そこで面積を 2 通りに表す。AD で分けた 2 つの三角形は、どちらも A での角が $60^{\circ }$ で、「2 辺とその間の角」で面積が書ける。その和が三角形 ABC の面積に等しい、という式を AD について解く。

1. AD $=x$ とおく。AD は $\angle A$ を二等分するので、$\angle BAD$ と $\angle DAC$ はどちらも $120^{\circ }÷2=60^{\circ }$
2. 三角形 ABC の面積は、2 辺 AB、AC とその間の角 $120^{\circ }$ から、$\frac{1}{2}\times 3\times 6\times \sin 120^{\circ }$
3. $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\frac{1}{2}\times 3\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$
4. 三角形 ABD の面積は、2 辺 AB、AD とその間の角 $60^{\circ }$ から、$\frac{1}{2}\times 3\times x\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ で、$\frac{3\sqrt{3}}{4}x$
5. 三角形 ADC の面積は、2 辺 AD、AC とその間の角 $60^{\circ }$ から、$\frac{1}{2}\times x\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ で、$\frac{6\sqrt{3}}{4}x$
6. 手順 4 と 5 を足すと、$\frac{3\sqrt{3}}{4}x+\frac{6\sqrt{3}}{4}x=\frac{9\sqrt{3}}{4}x$
7. これが三角形 ABC の面積に等しいので、$\frac{9\sqrt{3}}{4}x=\frac{9\sqrt{3}}{2}$
8. 両辺に $\frac{4}{9\sqrt{3}}$ を掛けると、$\frac{9\sqrt{3}}{2}\times \frac{4}{9\sqrt{3}}=2$ なので、$x=2$。よって $AD=2$

$AC=7$、$AD=8$、面積 $\frac{39\sqrt{3}}{4}$

方針　四角形は対角線 AC で 2 つの三角形に分けて考える。三角形 ABC は 2 辺とその間の角が分かっているので、余弦定理で AC が出る。次に、円に内接する四角形は向かい合う角の和が $180^{\circ }$ なので $\angle ADC$ が決まり、三角形 ACD で 2 辺（AC、CD）と角が分かる。この角は 2 辺の間の角ではないので、余弦定理を AD の二次方程式として解く。面積は 2 つの三角形の和。

1. 【AC】三角形 ABC で、$\angle ABC$ の向かいの辺が AC。余弦定理から、$A{C}^2=5^2+3^2-2\times 5\times 3\times \cos 120^{\circ }$
2. $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ なので、最後の項は $-2\times 5\times 3\times \left(-\frac{1}{2}\right)=15$。よって $A{C}^2=25+9+15=49$
3. $AC>0$ なので、$AC=7$
4. 【AD】円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ }$ なので、$\angle ADC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$
5. AD $=x$ とおく。三角形 ACD で、$\angle ADC$ の向かいの辺が AC、はさむ 2 辺が AD と CD なので、余弦定理から $7^2=x^2+3^2-2\times x\times 3\times \cos 60^{\circ }$
6. $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので $2\times 3\times \frac{1}{2}=3$ となり、$49=x^2+9-3x$
7. 整理して $x^2-3x-40=0$。因数分解すると $(x-8)(x+5)=0$ で、$x=8,-5$
8. $x>0$ なので、$AD=8$
9. 【面積】三角形 ABC は、2 辺 5、3 とその間の角 $120^{\circ }$ から、$\frac{1}{2}\times 5\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$
10. 三角形 ACD は、2 辺 AD、CD とその間の角 $60^{\circ }$ から、$\frac{1}{2}\times 8\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$
11. 2 つを足す。$6\sqrt{3}=\frac{24\sqrt{3}}{4}$ と通分して、$\frac{15\sqrt{3}}{4}+\frac{24\sqrt{3}}{4}=\frac{39\sqrt{3}}{4}$

ここで間違えやすい　手順 5 で、余弦定理の左辺は角 $D$ の向かいの辺 AC の 2 乗。$x^2=7^2+3^2-\cdots$ としない（AC と CD の間の角は $\angle ACD$ で、まだ分かっていない）。

$AH=2\sqrt{6}$、$V=18\sqrt{2}$

方針　空間の長さは、それを含む平面の三角形を取り出して求める。AH を含むのは直角三角形 ABH（$\angle AHB=90^{\circ }$）で、斜辺 $AB=6$ は分かっているから、BH が分かれば三平方の定理で AH が出る。H は底面の正三角形 BCD の外心なので、BH は外接円の半径であり、1 辺とその向かいの角から正弦定理で求まる。体積は $\frac{1}{3}\times$（底面積）$\times$（高さ）。

1. $AB=AC=AD$ で AH は共通なので、直角三角形 ABH、ACH、ADH は合同。よって $HB=HC=HD$ で、H は三角形 BCD の外心、BH は外接円の半径 $R$ になる。
2. 正三角形 BCD で、辺 $CD=6$ とその向かいの角 $60^{\circ }$ に正弦定理を使う。$2R=\frac{6}{\sin 60^{\circ }}$
3. $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$6÷\frac{\sqrt{3}}{2}=6\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}$。よって $2R=\frac{12}{\sqrt{3}}$
4. 両辺を 2 で割って $R=\frac{6}{\sqrt{3}}$。有理化すると $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ なので、$BH=2\sqrt{3}$
5. 直角三角形 ABH で三平方の定理。$A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$ で、$B{H}^2$ は $2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=12$ なので、$A{H}^2=36-12=24$
6. $AH>0$ なので、$AH=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
7. 底面の正三角形 BCD の面積は、2 辺 6、6 とその間の角 $60^{\circ }$ から、$\frac{1}{2}\times 6\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$
8. 体積は、$V=\frac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}$
9. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ なので、$V=6\times 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}$

ここで間違えやすい　手順 3 で出るのは直径 $2R$。半径にするのを忘れて $BH=\frac{12}{\sqrt{3}}$ とすると、$B{H}^2=48$ が $A{B}^2=36$ を超えてしまい、AH が求まらなくなる。