余弦定理｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (2) 図形と計量ア (ウ)「正弦定理や余弦定理について三角形の決定条件や三平方の定理と関連付けて理解し，三角形の辺の長さや角の大きさなどを求めること」のうち、余弦定理。

0. どういうまとまりか

余弦定理は、三角形の 3 辺と 1 つの角の cos を結ぶ式です。三平方の定理に、角が $9 0^{\circ}$ からずれた分の補正 $- 2 b c cos A$ をつけた形をしています。

何が分かっているか	何が求まるか	使う形
2 辺とその間の角	残りの辺	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
3 辺	角	$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
3 辺	角が鋭角・直角・鈍角のどれか	$a^{2}$ と $b^{2} + c^{2}$ の大小

分かれ目は次の 3 つ。

式の左辺の辺 $a$ と、右辺の角 $A$ は向かい合う組。 $A$ をはさむ 2 辺が $b$ と $c$
$A$ が鈍角なら $cos A < 0$ で、 $- 2 b c cos A$ は正の数を足すことになる
鋭角か鈍角かは、最大の辺の向かいの角だけ調べればよい

1. 余弦定理

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ウ)

三角形 ABC で、C から辺 AB（またはその延長）に垂線を下ろし、2 つの直角三角形に三平方の定理を使うと導けます。

余弦定理とは何か？（ $a$ を求める形）

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

$a$ の向かいの角 $A$ と、 $A$ をはさむ 2 辺 $b$ 、 $c$ で書く。 $b^{2}$ 、 $c^{2}$ も同じ形（ $b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ など）。

余弦定理を、角の cos を求める形に書き直すと？

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

分子は「 $A$ をはさむ 2 辺の 2 乗の和」から「向かいの辺の 2 乗」を引く。引く辺を取り違えやすい。

余弦定理で $A = 9 0^{\circ}$ とすると、何になるか？

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ （三平方の定理）

$cos 9 0^{\circ} = 0$ なので補正の項 $- 2 b c cos A$ が消える。余弦定理は三平方の定理を直角でない三角形に広げたもの。

余弦定理の補正の項 $- 2 b c cos A$ は、 $A$ が鋭角のときと鈍角のときで、それぞれ正・負のどちらか？

鋭角なら負（ $a^{2}$ は $b^{2} + c^{2}$ より小さい）、鈍角なら正（ $a^{2}$ は $b^{2} + c^{2}$ より大きい）

鈍角では $cos A < 0$ なので、 $- 2 b c cos A > 0$ 。角が開くほど向かいの辺は長くなる。

2. 余弦定理を使う場面

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ウ)

三角形の決定条件のうち「3 辺」と「2 辺とその間の角」は、正弦定理だけでは残りが出ません（向かい合う辺と角の組がそろわない）。ここで使うのが余弦定理です。

三角形で 2 辺とその間の角 が分かっているとき、残りの辺を求めるのに使う定理は？

余弦定理（ $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ）

分かっている角の向かいの辺が求める辺になる。向かい合う辺と角の組がまだ無いので、正弦定理は使えない。

三角形で 3 辺 が分かっているとき、角を求めるのに使う定理は？

余弦定理（ $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ ）

cos の値から角は 1 つに決まる（ $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ で cos の値が同じ角は 1 つ）。sin から出すより候補の迷いがない。

2 辺と、その間でない角が分かっているとき、余弦定理を使うと残りの辺はどう求まるか？

残りの辺についての二次方程式になる

たとえば $a$ 、 $b$ 、 $A$ が分かっていれば、 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ は $c$ の二次方程式。正の解が 2 つなら三角形は 2 つある。

正弦定理と余弦定理のどちらを使うかは、何を見て決めるか？

向かい合う辺と角の組が 1 つそろっているか

そろっていれば正弦定理（2 角と 1 辺、外接円）。そろっていなければ余弦定理（2 辺とその間の角、3 辺）。

3. 鋭角・直角・鈍角の判定

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ウ)

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ の分母は正なので、 $cos A$ の符号は分子 $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ の符号で決まります。

三角形 ABC の角 $A$ が鋭角・直角・鈍角のどれかは、辺でどう判定するか？

$a^{2} < b^{2} + c^{2}$ なら鋭角、 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ なら直角、 $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ なら鈍角

$cos A$ が正・0・負になるのに合わせたもの。直角の場合は三平方の定理の逆。

三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれかを調べるには、どの角を調べればよいか？

最大の辺の向かいの角だけ

三角形では大きい辺の向かいに大きい角がある。最大の角が鋭角なら、残りも鋭角。

三角形の辺と角の大小にはどんな関係があるか？

$a > b$ ならば $A > B$ （大きい辺の向かいに大きい角がある）

逆も成り立つ。正弦定理の候補の選び分けや、最大の角を見つけるときに使う。

練習問題

問 1　三角形 ABC で、 $b = 3$ 、 $c = 5$ 、 $A = 12 0^{\circ}$ のとき、 $a$ を求めよ。

$a = 7$

方針　分かっているのは 2 辺 $b$ 、 $c$ と、その間の角 $A$ 。求めるのは $A$ の向かいの辺 $a$ 。向かい合う辺と角の組（ $a$ と $A$ など）がまだ 1 つもそろっていないので、正弦定理は使えない。2 辺とその間の角から向かいの辺を出すのは余弦定理。

$a$ を求める形の余弦定理を書く。 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$b = 3$ 、 $c = 5$ 、 $A = 12 0^{\circ}$ を入れて、 $a^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \times 3 \times 5 \times cos 12 0^{\circ}$
$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ なので、最後の項は $- 2 \times 3 \times 5 \times (- \frac{1}{2}) = 15$
$3^{2} = 9$ 、 $5^{2} = 25$ と合わせて、 $a^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$
$a$ は辺の長さで $a > 0$ なので、 $a = 49 = 7$

ここで間違えやすい　 $A$ が鈍角のときは $cos A$ が負なので、 $- 2 b c cos A$ は足すことになる。 $9 + 25 - 15$ として $a^{2} = 19$ にしてしまうのが典型的な誤り。

問 2　3 辺が $5$ 、 $7$ 、 $8$ の三角形で、長さ 7 の辺の向かいの角を求めよ。

$6 0^{\circ}$

方針　分かっているのは 3 辺だけで、求めるのは角。角が 1 つも分かっていないので正弦定理は使えない。3 辺から角の cos を出す形の余弦定理を使う。分子で引くのは、求める角の向かいの辺の 2 乗である。

求める角を $θ$ とする。 $θ$ の向かいの辺が 7、 $θ$ をはさむ 2 辺が 5 と 8。
余弦定理の cos を求める形に入れて、 $cos θ = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \times 5 \times 8}$
分子は $25 + 64 - 49 = 40$ 、分母は $2 \times 5 \times 8 = 80$
よって $cos θ = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ で cos が $\frac{1}{2}$ になる角は 1 つだけなので、 $θ = 6 0^{\circ}$

ここで間違えやすい　分子で引く辺を取り違える。「はさむ 2 辺の 2 乗の和」から「向かいの辺の 2 乗」を引く。

問 3　3 辺が $4$ 、 $5$ 、 $7$ の三角形は、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれか。

鈍角三角形

方針　三角形の種類は、いちばん大きい角が鋭角・直角・鈍角のどれかで決まる。いちばん大きい角は最大の辺の向かいにあるので、その角だけ調べればよい。調べ方は、余弦定理の分子の符号、つまり「最大の辺の 2 乗」と「残りの 2 辺の 2 乗の和」の大小を比べる。

最大の辺は 7 なので、その向かいの角が最大の角。
最大の辺の 2 乗は、 $7^{2} = 49$
残りの 2 辺の 2 乗の和は、 $4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$
$49 > 41$ で、最大の辺の 2 乗のほうが大きい。このとき向かいの角の cos は負になるので、その角は鈍角。
鈍角を 1 つもつので、鈍角三角形。

（確かめ）最大の角の cos を実際に計算すると、 $\frac{4 ^{2} + 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \times 4 \times 5} = \frac{- 8}{40} = - \frac{1}{5}$ で、たしかに負。

問 4　三角形 ABC で、 $a = 7$ 、 $b = 2$ 、 $A = 6 0^{\circ}$ のとき、 $c$ を求めよ。

$c = 3$

方針　分かっているのは 2 辺 $a$ 、 $b$ と角 $A$ で、 $A$ は $a$ の向かいの角（2 辺の間の角ではない）。求めるのは残りの辺 $c$ 。 $A$ を使う余弦定理 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ を書くと、分からないのは $c$ だけになるので、 $c$ の二次方程式として解く。正弦定理でも進めるが、 $B$ 、 $C$ と回り道になる。

$A$ についての余弦定理を書く。 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$a = 7$ 、 $b = 2$ 、 $A = 6 0^{\circ}$ を入れて、 $(7)^{2} = 2^{2} + c^{2} - 2 \times 2 \times c \times cos 6 0^{\circ}$
$(7)^{2} = 7$ 、 $2^{2} = 4$ 。また $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので $2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$ となり、 $7 = 4 + c^{2} - 2 c$
すべて右辺に集めて整理すると、 $c^{2} - 2 c - 3 = 0$
左辺を因数分解して、 $(c - 3) (c + 1) = 0$ 。よって $c = 3, - 1$
$c$ は辺の長さで $c > 0$ なので、 $c = 3$

ここで間違えやすい　余弦定理の左辺の辺と右辺の角は向かい合う組。 $A$ が分かっているのだから左辺は $a^{2}$ で、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos A$ としてはいけない（ $a$ と $b$ の間の角は $C$ ）。

問 5　3 辺が $6$ 、 $7$ 、 $8$ の三角形は、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれか。

鋭角三角形

方針　いちばん大きい角が鋭角なら、残りの角も鋭角なので鋭角三角形と言える。いちばん大きい角は最大の辺の向かいにあるので、「最大の辺の 2 乗」と「残りの 2 辺の 2 乗の和」の大小を比べる。

最大の辺は 8 なので、その向かいの角が最大の角。
最大の辺の 2 乗は、 $8^{2} = 64$
残りの 2 辺の 2 乗の和は、 $6^{2} + 7^{2} = 36 + 49 = 85$
$64 < 85$ で、最大の辺の 2 乗のほうが小さい。このとき向かいの角の cos は正になるので、最大の角は鋭角。
最大の角が鋭角なので、残りの 2 つの角も鋭角。よって鋭角三角形。

（確かめ）最大の角の cos を実際に計算すると、 $\frac{6 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 6 \times 7} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$ で、たしかに正。

ここで間違えやすい　最大でない辺（6 や 7）の向かいの角を調べて「鋭角だった」としても、何も決まらない。鈍角三角形でも、小さいほうの 2 つの角は鋭角だからである。