正弦定理｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (2) 図形と計量ア (ウ)「正弦定理や余弦定理について三角形の決定条件や三平方の定理と関連付けて理解し，三角形の辺の長さや角の大きさなどを求めること」のうち、正弦定理。

0. どういうまとまりか

ここからは直角三角形に限らない、ふつうの三角形 ABC を扱います。
頂点 A、B、C の角の大きさを $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、その向かいの辺の長さを $a$ 、 $b$ 、 $c$ と書きます（ $a = B C$ 、 $b = C A$ 、 $c = A B$ ）。

何が分かっているか	何が求まるか	使うもの
2 つの角と 1 つの辺	残りの辺	正弦定理
1 つの辺とその向かいの角	外接円の半径 $R$	正弦定理
2 辺とその間の角、3 辺	残りの辺、角	余弦定理（→ 余弦定理）

分かれ目は次の 3 つ。

正弦定理は「辺とその向かいの角」の組で書く（ $a$ と $A$ 、 $b$ と $B$ ）。組が 1 つそろえば使える
比の値は外接円の直径 $2 R$ （半径 $R$ ではない）
sin の値から角を出すと 2 つの候補が出る。2 辺とその間でない角が与えられたときは、三角形が 2 つあり得る

1. 正弦定理

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ウ)

三角形の 3 つの頂点を通る円を外接円といい、その半径を $R$ と書きます。

正弦定理とは何か？（三角形 ABC の外接円の半径を $R$ とする）

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$

辺の長さと、その向かいの角の正弦の比が一定で、その値は外接円の直径に等しい。

正弦定理を、辺を求める形と、sin を求める形に書き直すと？

$a = 2 R sin A$ 、 $sin A = \frac{a}{2 R}$ （ $b$ ・ $c$ も同じ形）

$\frac{a}{s i n A} = 2 R$ の分母を払うか、両辺の逆数をとるかの違い。

正弦定理から、 $a : b : c$ と $sin A : sin B : sin C$ の間にはどんな関係があるか？

$a : b : c = sin A : sin B : sin C$

$a = 2 R sin A$ 、 $b = 2 R sin B$ 、 $c = 2 R sin C$ で、どれも同じ $2 R$ を掛けているから。角の比ではなく、sin の比であることに注意。

$A$ が鋭角のとき、正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ はどう示すか？（証明の要点）

B を通る直径 BA′ を引くと、円周角で $∠ A^{'} = A$ 、直径に対する円周角で $\angle$BCA′ $= 9 0^{\circ}$ 。直角三角形 A′BC で $sin A = \frac{a}{2 R}$

斜辺が直径 $2 R$ の直角三角形を作るのが要。

$A$ が鈍角のとき、正弦定理の証明はどこが変わるか？

A′ が A と反対側の弧にくるので、円に内接する四角形 ABA′C の対角で $∠ A^{'} = 18 0^{\circ} - A$ になる。 $sin (18 0^{\circ} - A) = sin A$ なので同じ式になる

鈍角まで三角比を広げてあるので、鈍角をもつ三角形でも同じ形で成り立つ。

$A = 9 0^{\circ}$ のとき、正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ は何を言っているか？

$a = 2 R$ 、つまり斜辺 BC が外接円の直径になる

$sin 9 0^{\circ} = 1$ だから。直径に対する円周角が $9 0^{\circ}$ であることの言い直し。

2. 正弦定理を使う場面

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ウ)

正弦定理は「辺とその向かいの角」の組を 2 つ結ぶ式です。組が 1 つ完全にそろい、もう 1 つの組の片方が分かれば、残りの片方が出ます。

三角形で 2 つの角と 1 つの辺が分かっているとき、残りの辺を求めるには、まず何をするか？

内角の和 $18 0^{\circ}$ から残りの角を出し、正弦定理を使う

3 つの角がそろえば、分かっている辺の向かいの角が必ず分かるので、「辺と向かいの角」の組ができる。

三角形の外接円の半径を求めたいとき、使う定理と、そろえるものは？

正弦定理。1 つの辺とその向かいの角

$2 R = \frac{a}{s i n A}$ 。3 辺しか分かっていなければ、余弦定理で角の cos を出し、sin に直してから使う。

3. 三角形の決定条件との関係

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ウ)

中学の合同条件は、「どれだけ分かれば三角形がただ 1 つに決まるか」という決定条件でもあります。決まるなら、残りの辺や角は計算で求まるはずで、その計算をするのが正弦定理と余弦定理です。

三角形がただ 1 つに決まる条件（三角形の決定条件）は？

① 3 辺 ② 2 辺とその間の角 ③ 1 辺とその両端の角

中学の合同条件と同じ 3 つ。③ で残りの辺を求めるのが正弦定理、① と ② で残りを求めるのが余弦定理。

2 辺と、その間でない角が分かっているとき、三角形はただ 1 つに決まるか？

決まるとは限らない。2 つできることがある

正弦定理で残りの角の sin を出すと、鋭角と鈍角の 2 つの候補が出る。どちらも内角の和が $18 0^{\circ}$ 未満に収まれば、三角形は 2 つある。

正弦定理で $sin B$ の値を出したとき、 $B$ の候補の片方を捨ててよいのはどんなときか？

$A + B$ が $18 0^{\circ}$ 以上になるとき（内角の和を超える）

または、向かいの辺の大小で決まるとき（大きい辺の向かいに大きい角）。たとえば $b < a$ なら $B < A$ なので、 $B$ は鈍角になれない。

練習問題

問 1　三角形 ABC で、 $a = 4$ 、 $A = 4 5^{\circ}$ 、 $B = 6 0^{\circ}$ のとき、 $b$ を求めよ。

$b = 26$

方針　辺 $a$ とその向かいの角 $A$ が、組でそろっている。求める辺 $b$ の向かいの角 $B$ も分かっている。向かい合う辺と角の組を 2 つ結ぶ式なので、正弦定理を使う（2 辺とその間の角ではないので、余弦定理の出番ではない）。

正弦定理のうち、 $a$ と $b$ の部分を書く。 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$
$a = 4$ 、 $A = 4 5^{\circ}$ 、 $B = 6 0^{\circ}$ を入れて、 $\frac{4}{s i n 4 5 ^{\circ}} = \frac{b}{s i n 6 0 ^{\circ}}$
両辺に $sin 6 0^{\circ}$ を掛けて、 $b = \frac{4 s i n 6 0 ^{\circ}}{s i n 4 5 ^{\circ}}$
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ を入れると、 $b = 4 \times \frac{3}{2} \div \frac{2}{2}$
割り算を逆数の掛け算に直すと、 $4 \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{4 3}{2}$
分母と分子に $2$ を掛けて有理化すると、 $\frac{4 3}{2} = \frac{4 6}{2} = 26$ 。よって $b = 26$

ここで間違えやすい　辺と角の組を取り違える。 $a$ の下は $sin A$ 、 $b$ の下は $sin B$ 。 $\frac{4}{s i n 6 0 ^{\circ}} = \frac{b}{s i n 4 5 ^{\circ}}$ としない。

問 2　三角形 ABC で、 $a = 6$ 、 $A = 3 0^{\circ}$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。

$R = 6$

方針　外接円の半径 $R$ が出てくる式は正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ 。辺 $a$ とその向かいの角 $A$ が組でそろっているので、そのまま使える。

正弦定理から、 $2 R = \frac{a}{s i n A}$
$a = 6$ 、 $A = 3 0^{\circ}$ を入れて、 $2 R = \frac{6}{s i n 3 0 ^{\circ}}$
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので、 $6 \div \frac{1}{2} = 6 \times 2 = 12$ 。よって $2 R = 12$
両辺を 2 で割って、 $R = 6$

ここで間違えやすい　 $\frac{a}{s i n A}$ の値 12 は外接円の直径 $2 R$ 。これをそのまま半径と答えない。

問 3　三角形 ABC で、 $c = 33$ 、 $C = 12 0^{\circ}$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。

$R = 3$

方針　外接円の半径を求めるので正弦定理。辺 $c$ とその向かいの角 $C$ が組でそろっているから、 $\frac{c}{s i n C} = 2 R$ を使う。 $C$ が鈍角でも式の形は変わらない。

正弦定理から、 $2 R = \frac{c}{s i n C}$
$c = 33$ 、 $C = 12 0^{\circ}$ を入れて、 $2 R = \frac{3 3}{s i n 12 0 ^{\circ}}$
$12 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ なので、 $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
これを入れて、 $2 R = 33 \div \frac{3}{2}$
割り算を逆数の掛け算に直すと、 $33 \times \frac{2}{3} = 6$ 。よって $2 R = 6$
両辺を 2 で割って、 $R = 3$

ここで間違えやすい　鈍角でも sin は正。 $sin 12 0^{\circ}$ を $- \frac{3}{2}$ にすると半径が負になってしまう（符号が変わるのは cos と tan）。

問 4　三角形 ABC で、 $a = 2$ 、 $b = 3$ 、 $A = 4 5^{\circ}$ のとき、 $B$ を求めよ。

$B = 6 0^{\circ}$ または $B = 12 0^{\circ}$

方針　辺 $a$ とその向かいの角 $A$ が組でそろっていて、求める角 $B$ の向かいの辺 $b$ も分かっている。だから正弦定理で $sin B$ が出る。ただし sin の値から角を求めると候補が 2 つ出るので、どちらも三角形として成り立つかを最後に確かめる。

正弦定理のうち、 $a$ と $b$ の部分を書く。 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$
$sin B$ について解くと、 $sin B = \frac{b s i n A}{a}$
$a = 2$ 、 $b = 3$ 、 $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ を入れて、 $sin B = \frac{3}{2} \times \frac{2}{2}$
$2$ が約分で消えて、 $sin B = \frac{3}{2}$
$0^{\circ} < B < 18 0^{\circ}$ で sin が $\frac{3}{2}$ になる角は、 $B = 6 0^{\circ}$ と $B = 12 0^{\circ}$ の 2 つ。
$B = 6 0^{\circ}$ のとき、 $A + B$ は $4 5^{\circ} + 6 0^{\circ} = 10 5^{\circ}$ で、 $18 0^{\circ}$ 未満。 $C = 7 5^{\circ}$ の三角形ができる。
$B = 12 0^{\circ}$ のとき、 $A + B$ は $4 5^{\circ} + 12 0^{\circ} = 16 5^{\circ}$ で、これも $18 0^{\circ}$ 未満。 $C = 1 5^{\circ}$ の三角形ができる。
どちらも成り立つので、 $B = 6 0^{\circ}$ または $B = 12 0^{\circ}$ （三角形は 2 つある）。

ここで間違えやすい　鋭角の $6 0^{\circ}$ だけを答える。2 辺とその間でない角が与えられたときは、三角形が 1 つに決まるとは限らない。逆に、 $A + B$ が $18 0^{\circ}$ 以上になる候補は捨てる。

問 5　三角形 ABC で、 $A : B : C = 1 : 1 : 4$ のとき、 $a : b : c$ を求めよ。

$a : b : c = 1 : 1 : 3$

方針　正弦定理から、辺の比は向かいの角の sin の比に等しい（ $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ ）。角の比そのものではないので、まず内角の和 $18 0^{\circ}$ を使って 3 つの角の大きさを出し、それぞれの sin の値を比べる。

比の合計は $1 + 1 + 4 = 6$ 。内角の和は $18 0^{\circ}$ なので、比の 1 にあたる角は $18 0^{\circ} \div 6 = 3 0^{\circ}$
よって $A = 3 0^{\circ}$ 、 $B = 3 0^{\circ}$ 、 $C = 3 0^{\circ} \times 4 = 12 0^{\circ}$
正弦定理から、 $a : b : c = sin 3 0^{\circ} : sin 3 0^{\circ} : sin 12 0^{\circ}$
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 、 $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ を入れて、 $a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} : \frac{3}{2}$
3 つとも 2 倍して、 $a : b : c = 1 : 1 : 3$

ここで間違えやすい　角の比 $1 : 1 : 4$ をそのまま辺の比にしない。角が 4 倍でも、向かいの辺は $3$ 倍（約 1.7 倍）にしかならない。