鈍角の三角比｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (2) 図形と計量ア (イ)「三角比を鈍角まで拡張する意義を理解し，鋭角の三角比の値を用いて鈍角の三角比の値を求める方法を理解すること」。

0. どういうまとまりか

直角三角形の中では、角は $9 0^{\circ}$ より小さい鋭角しか作れません。そこで、座標平面の円の上の点を使って三角比を決め直し、 $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ の角まで広げます。
こうしておくと、鈍角をもつ三角形でも正弦定理・余弦定理・面積の公式が同じ形で使えます。

	鋭角（ $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ ）	鈍角（ $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ ）
$sin θ$	正	正
$cos θ$	正	負
$tan θ$	正	負

分かれ目は次の 3 つ。

$x$ 座標が cos、 $y$ 座標が sin（単位円の上の点は $(cos θ, sin θ)$ ）
$18 0^{\circ} - θ$ にすると、sin はそのまま、cos と tan は符号だけが変わる
sin の値から角を求めると 2 つ出ることがある（ $θ$ と $18 0^{\circ} - θ$ ）。cos からは 1 つ。tan からも 1 つ（ $tan θ = 0$ のときだけ $0^{\circ}$ と $18 0^{\circ}$ の 2 つ）

1. 座標を使った三角比の定義

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(イ)

原点 O を中心とする半径 $r$ の円の上に点 P $(x, y)$ をとり、 $x$ 軸の正の向きから反時計回りに測った角 $∠$ POx を $θ$ とします（ $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ なので P は $y ≧ 0$ の半円の上）。

原点を中心とする半径 $r$ の円の上の点 P $(x, y)$ について、 $x$ 軸の正の向きとなす角を $θ$ とするとき、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ の定義は？

$sin θ = \frac{y}{r}$ 、 $cos θ = \frac{x}{r}$ 、 $tan θ = \frac{y}{x}$

$θ$ が鋭角なら、直角三角形の対辺が $y$ 、隣辺が $x$ 、斜辺が $r$ にあたり、前の定義と一致する。 $θ$ が鈍角のときは $x < 0$ になる。

単位円（半径 1）の上で角 $θ$ にあたる点 P の座標は、三角比でどう表せるか？

P $(cos θ, sin θ)$

$r = 1$ なので $cos θ = x$ 、 $sin θ = y$ 。 $x$ 座標が cos、 $y$ 座標が sin で、順番を取り違えやすい。

三角比を鈍角まで拡張するのは何のためか？

鈍角をもつ三角形でも、辺と角の関係（正弦定理・余弦定理・面積の公式）を同じ式で扱えるようにするため

直角三角形の辺の比のままでは、鈍角の三角比が決まらない。

2. 0°・90°・180° の三角比と値の表

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(イ)

単位円の上の点が $(1, 0)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(- 1, 0)$ にくる角です。直角三角形では決められなかった値も、座標の定義なら決まります。

$0^{\circ}$ 、 $9 0^{\circ}$ 、 $18 0^{\circ}$ の sin・cos の値は？

$sin 0^{\circ} = 0$ ・ $cos 0^{\circ} = 1$ 、 $sin 9 0^{\circ} = 1$ ・ $cos 9 0^{\circ} = 0$ 、 $sin 18 0^{\circ} = 0$ ・ $cos 18 0^{\circ} = - 1$

単位円の上の点 $(1, 0)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(- 1, 0)$ の $y$ 座標が sin、 $x$ 座標が cos。

$tan 0^{\circ}$ 、 $tan 9 0^{\circ}$ 、 $tan 18 0^{\circ}$ の値は？

$tan 0^{\circ} = 0$ 、 $tan 18 0^{\circ} = 0$ 。 $tan 9 0^{\circ}$ は定義されない

$9 0^{\circ}$ では $x = 0$ になり、 $\frac{y}{x}$ の分母が 0 になる。

$0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ の主な角の値は次のとおりです（—は定義されない）。

$θ$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin θ$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos θ$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan θ$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	—	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

$sin 12 0^{\circ}$ 、 $cos 12 0^{\circ}$ 、 $tan 12 0^{\circ}$ の値は？

$sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 、 $tan 12 0^{\circ} = - 3$

$12 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ なので、 $6 0^{\circ}$ の値の cos と tan の符号を変える。

$sin 13 5^{\circ}$ 、 $cos 13 5^{\circ}$ 、 $tan 13 5^{\circ}$ の値は？

$sin 13 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ 、 $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ 、 $tan 13 5^{\circ} = - 1$

$13 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}$ なので、 $4 5^{\circ}$ の値の cos と tan の符号を変える。

$sin 15 0^{\circ}$ 、 $cos 15 0^{\circ}$ 、 $tan 15 0^{\circ}$ の値は？

$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 、 $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ 、 $tan 15 0^{\circ} = - \frac{1}{3}$

$15 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ なので、 $3 0^{\circ}$ の値の cos と tan の符号を変える。

3. 180°−θ の三角比と符号

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(イ)

角 $θ$ の点 P $(x, y)$ と、角 $18 0^{\circ} - θ$ の点 Q は、 $y$ 軸について対称で、Q $(- x, y)$ になります。これを使うと、鈍角の三角比を鋭角の三角比で表せます。

$sin (18 0^{\circ} - θ)$ 、 $cos (18 0^{\circ} - θ)$ 、 $tan (18 0^{\circ} - θ)$ は、 $θ$ の三角比でどう表せるか？

$sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ 、 $cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ 、 $tan (18 0^{\circ} - θ) = - tan θ$

2 点は $y$ 軸について対称で、 $y$ 座標は同じ、 $x$ 座標は符号が逆。これが鈍角の値を鋭角の値から求める方法。

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ のとき、 $sin θ$ と $cos θ$ のとりうる値の範囲は？

$0 ≦ sin θ ≦ 1$ 、 $- 1 ≦ cos θ ≦ 1$

点は $y ≧ 0$ の半円の上にあるので、 $y$ 座標の sin は負にならない。 $tan θ$ はすべての実数の値をとる（ $9 0^{\circ}$ を除く）。

$θ$ が鈍角のとき、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ などの相互関係は成り立つか？また、使うときの注意は？

成り立つ。ただし 2 乗から cos・tan に戻すとき、鈍角なら負のほうをとる

単位円の上の点 $(cos θ, sin θ)$ は原点からの距離が 1 なので、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ は $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ のどの角でも成り立つ。

4. 三角比の値から角を求める

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(イ)

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ の範囲で、値にあたる点を単位円の上に探します。sin は $y$ 座標なので横線、cos は $x$ 座標なので縦線を引き、円と交わる点を読みます。

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で、 $sin θ = k$ （ $0 < k < 1$ ）を満たす $θ$ はいくつあるか？ $cos θ = k$ （ $- 1 < k < 1$ ）ではどうか？

sin では 2 つ（鋭角と鈍角。 $θ$ と $18 0^{\circ} - θ$ ）、cos では 1 つ

直線 $y = k$ は半円と 2 点で交わり、直線 $x = k$ は 1 点で交わる。

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で、 $sin θ = \frac{1}{2}$ を満たす $θ$ は？

$θ = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$

鋭角の $3 0^{\circ}$ だけ答えて $15 0^{\circ}$ を落とすのが典型的な誤り。

練習問題

問 1　 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で、 $cos θ = - \frac{2}{2}$ を満たす $θ$ を求めよ。

$θ = 13 5^{\circ}$

方針　cos は単位円の上の点の $x$ 座標。値が負なので、点は $y$ 軸より左、つまり $θ$ は鈍角になる。符号を外した値をもつ鋭角を先に見つけ、 $cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ で鈍角に移す。

$cos θ < 0$ なので、 $θ$ は $9 0^{\circ}$ より大きい。 $cos 18 0^{\circ} = - 1$ とも違う値なので $18 0^{\circ}$ でもなく、 $θ$ は鈍角（ $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ ）。
符号を外した $\frac{2}{2}$ を cos の値にもつ鋭角は、 $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ から $4 5^{\circ}$
$cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ で $θ = 4 5^{\circ}$ とすると、 $cos (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$
$18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ なので、 $θ = 13 5^{\circ}$
半円の上で $x$ 座標が決まれば点は 1 つだけなので、答えはこれだけ。

問 2　 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で、 $sin θ = \frac{3}{2}$ を満たす $θ$ を求めよ。

$θ = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$

方針　sin は単位円の上の点の $y$ 座標。高さ $\frac{3}{2}$ の横線 $y = \frac{3}{2}$ を引くと、半円と左右 2 点で交わる。だから答えは鋭角と鈍角の 2 つあると見通してから、それぞれの角を求める。

鋭角のほうは、 $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ から $6 0^{\circ}$
もう 1 つの交点は $y$ 軸について対称な点で、角は $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$
$sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ なので、 $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ となり、 $12 0^{\circ}$ も条件を満たす。
よって $θ = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$

ここで間違えやすい　鋭角の $6 0^{\circ}$ だけ答えて $12 0^{\circ}$ を落とす。sin の値から角を求めるときは、 $θ$ と $18 0^{\circ} - θ$ の 2 つを必ず考える。

問 3　 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で、 $tan θ = - 3$ を満たす $θ$ を求めよ。

$θ = 12 0^{\circ}$

方針　まず tan の符号から、鋭角か鈍角かを決める。次に、符号を外した値をもつ鋭角を見つけ、 $tan (18 0^{\circ} - θ) = - tan θ$ で鈍角に移す。

鋭角では tan は正なので、 $tan θ < 0$ となる $θ$ は鈍角。
符号を外した $3$ を tan の値にもつ鋭角は、 $tan 6 0^{\circ} = 3$ から $6 0^{\circ}$
$tan (18 0^{\circ} - θ) = - tan θ$ で $θ = 6 0^{\circ}$ とすると、 $tan (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - tan 6 0^{\circ} = - 3$
$18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ なので、 $θ = 12 0^{\circ}$
tan が 0 でない値のとき、その値をとる角は $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ に 1 つだけなので、答えはこれだけ。

問 4　 $θ$ は鈍角で、 $sin θ = \frac{1}{3}$ のとき、 $cos θ$ と $tan θ$ の値を求めよ。

$cos θ = - \frac{2 2}{3}$ 、 $tan θ = - \frac{2}{4}$

方針　sin が分かっていて cos を求めるので、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ から入る（この式は鈍角でも成り立つ）。鋭角のときと違うのは、平方根をとるときの符号だけ。鈍角では cos が負になる。

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の $sin^{2} θ$ を移項して、 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$
$sin θ = \frac{1}{3}$ を入れる。 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ なので、 $cos^{2} θ = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$θ$ は鈍角なので $cos θ < 0$ 。負の平方根をとって、 $cos θ = - \frac{8}{9} = - \frac{2 2}{3}$
$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ に入れて、 $tan θ = \frac{1}{3} \div (- \frac{2 2}{3})$
割り算を逆数の掛け算に直すと、 $\frac{1}{3} \times (- \frac{3}{2 2}) = - \frac{1}{2 2}$
分母と分子に $2$ を掛けて有理化する。分母は $22 \times 2 = 4$ になるので、 $tan θ = - \frac{2}{4}$

ここで間違えやすい　鋭角のときと同じように cos を正にとってしまう。鈍角では sin だけが正で、cos と tan は負になる。

問 5　 $sin 14 0^{\circ}$ を $0.6428$ 、 $cos 4 0^{\circ}$ を $0.7660$ として、 $sin 4 0^{\circ}$ と $cos 14 0^{\circ}$ の値を求めよ。

$sin 4 0^{\circ} = 0.6428$ 、 $cos 14 0^{\circ} = - 0.7660$

方針　 $4 0^{\circ}$ と $14 0^{\circ}$ は和が $18 0^{\circ}$ 。 $18 0^{\circ} - θ$ の三角比では、sin はそのまま、cos は符号だけが変わる。与えられた値をこの関係で移す。

$4 0^{\circ} + 14 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ なので、 $14 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ}$ と書ける。
$sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ で $θ = 4 0^{\circ}$ とすると、 $sin 14 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}$
$sin 14 0^{\circ}$ は 0.6428 と与えられているので、 $sin 4 0^{\circ} = 0.6428$
$cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ で $θ = 4 0^{\circ}$ とすると、 $cos 14 0^{\circ} = - cos 4 0^{\circ}$
$cos 4 0^{\circ}$ は 0.7660 と与えられているので、 $cos 14 0^{\circ} = - 0.7660$

ここで間違えやすい　符号が変わるのは cos（と tan）だけ。sin にまでマイナスを付けない。 $14 0^{\circ}$ は鈍角なので、sin が正、cos が負になっていれば合っている。