三角比の相互関係｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (2) 図形と計量ア (ア)「鋭角の三角比の意味と相互関係について理解すること」のうち、相互関係。

0. どういうまとまりか

$sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ は同じ直角三角形の辺の比なので、互いに結びついています。
1 つの値が分かれば、残りの 2 つは計算で求まります。

関係	式	どこから出るか
tan を sin と cos で表す	$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$	定義の比を割る
sin と cos	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$	三平方の定理
tan と cos	$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$	上の式を $cos^{2} θ$ で割る
余角	$sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ$ など	直角三角形のもう 1 つの鋭角

分かれ目は次の 3 つ。

sin か cos が分かっていれば $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 、tan が分かっていれば $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ から入る
2 乗から戻すときの符号は、 $θ$ が鋭角なら sin・cos・tan とも正
$9 0^{\circ} - θ$ にすると sin と cos が入れかわり、tan は逆数になる

1. 3 つの相互関係

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ア)

斜辺を 1 とした直角三角形を考えると、対辺が $sin θ$ 、隣辺が $cos θ$ になります。3 つの式はすべてこの三角形から読み取れます。

$tan θ$ を $sin θ$ と $cos θ$ で表すと？

$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$

$\frac{対辺}{斜辺} \div \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{対辺}{隣辺}$ で、斜辺が消える。

$sin θ$ と $cos θ$ の間に成り立つ関係式は？また、それは何から出るか？

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 。三平方の定理から出る

斜辺 1 の直角三角形で、対辺 $sin θ$ と隣辺 $cos θ$ の 2 乗の和が斜辺の 2 乗 1 に等しい。

$tan θ$ と $cos θ$ の間に成り立つ関係式は？

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の両辺を $cos^{2} θ$ で割ると出る。忘れたらこの割り算で作り直す。

$sin^{2} θ$ は何を表すか？

$(sin θ)^{2}$ （ $sin θ$ の値の 2 乗）

$sin (θ^{2})$ （角を 2 乗したもの）ではない。 $sin θ^{2}$ と書くと紛らわしいので、2 乗は sin の右肩に書く。

2. 1 つの値から残りを求める

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ア)

2 乗の関係から値を出すと、平方根をとる段階で $\pm$ が出てきます。鋭角ではどれも正なので、正のほうだけをとります。

$θ$ が鋭角で $sin θ$ の値が分かっているとき、 $cos θ$ と $tan θ$ を求める手順は？

① $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ から $cos θ$ （鋭角なので正のほう）② $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$

$cos θ$ から始まるときも同じ形で、sin と cos の役を入れかえる。

$θ$ が鋭角で $tan θ$ の値が分かっているとき、 $cos θ$ と $sin θ$ を求める手順は？

① $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = 1 + tan^{2} θ$ から $cos θ$ （正のほう）② $sin θ = tan θ cos θ$

tan から sin を直接出す式は覚えていないので、いったん cos を経由する。

$θ$ が鋭角のとき、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ の値はそれぞれどの範囲にあるか？

$0 < sin θ < 1$ 、 $0 < cos θ < 1$ 、 $tan θ > 0$

sin と cos は斜辺で割るので 1 より小さい。tan は斜辺を使わないので 1 を超えることもある（ $tan 6 0^{\circ} = 3$ ）。

$sin θ + cos θ$ の値が分かっているとき、 $sin θ cos θ$ を求めるには？

$sin θ + cos θ$ を 2 乗する

$(sin θ + cos θ)^{2} = sin^{2} θ + cos^{2} θ + 2 sin θ cos θ = 1 + 2 sin θ cos θ$ となり、 $sin θ cos θ$ だけが残る。

3. 90°−θ の三角比

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ア)

直角三角形の 2 つの鋭角は、和が $9 0^{\circ}$ です。一方の角を $θ$ とすると、もう一方は $9 0^{\circ} - θ$ で、見る角が変わるので対辺と隣辺が入れかわります。

$sin (9 0^{\circ} - θ)$ と $cos (9 0^{\circ} - θ)$ は、 $θ$ の三角比でどう表せるか？

$sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ$ 、 $cos (9 0^{\circ} - θ) = sin θ$

もう一方の鋭角から見ると、 $θ$ の隣辺が対辺になる。 $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}$ はこの例。

$tan (9 0^{\circ} - θ)$ は、 $tan θ$ でどう表せるか？

$tan (9 0^{\circ} - θ) = \frac{1}{t a n θ}$

対辺と隣辺が入れかわるので逆数になる。 $tan 6 0^{\circ} = 3$ と $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ はこの例。

三角比の表が $0^{\circ}$ 〜 $4 5^{\circ}$ だけでも $4 5^{\circ}$ 〜 $9 0^{\circ}$ の値が分かるのはなぜか？

$9 0^{\circ} - θ$ の関係で、 $4 5^{\circ}$ より大きい角の sin・cos を、 $4 5^{\circ}$ より小さい角の cos・sin に直せるから

たとえば $sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ 。

練習問題

問 1　 $θ$ は鋭角で、 $sin θ = \frac{1}{3}$ のとき、 $cos θ$ と $tan θ$ の値を求めよ。

$cos θ = \frac{2 2}{3}$ 、 $tan θ = \frac{2}{4}$

方針　分かっているのは sin で、まず求めたいのは cos。sin と cos を直接結ぶ式は $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ なので、ここから入る。cos が出れば、 $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ で tan が出る。

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の $sin^{2} θ$ を移項して、 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$
$sin θ = \frac{1}{3}$ を入れる。 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ なので、 $cos^{2} θ = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$θ$ は鋭角なので $cos θ > 0$ 。正の平方根をとって、 $cos θ = \frac{8}{9} = \frac{8}{3} = \frac{2 2}{3}$
$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ に入れて、 $tan θ = \frac{1}{3} \div \frac{2 2}{3}$
割り算を逆数の掛け算に直すと、 $\frac{1}{3} \times \frac{3}{2 2} = \frac{1}{2 2}$
分母と分子に $2$ を掛けて有理化する。分母は $22 \times 2 = 4$ になるので、 $tan θ = \frac{2}{4}$

ここで間違えやすい　手順 3 で平方根をとると、本来は $\pm$ の 2 つが出る。正のほうだけをとってよい理由（鋭角だから）を書く。鈍角なら負のほうになる。

問 2　 $θ$ は鋭角で、 $tan θ = 2$ のとき、 $cos θ$ と $sin θ$ の値を求めよ。

$cos θ = \frac{5}{5}$ 、 $sin θ = \frac{2 5}{5}$

方針　分かっているのは tan。tan と結びつく式は $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ なので、先に cos を出す。tan から sin を直接出す式は無いので、sin は cos を経由して $sin θ = tan θ cos θ$ で求める。

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ に $tan θ = 2$ を入れる。 $1 + 2^{2} = 5$ なので、 $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = 5$
両辺の逆数をとって、 $cos^{2} θ = \frac{1}{5}$
$θ$ は鋭角なので $cos θ > 0$ 。正の平方根をとって、 $cos θ = \frac{1}{5}$
分母と分子に $5$ を掛けて有理化すると、 $cos θ = \frac{5}{5}$
$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ の両辺に $cos θ$ を掛けると、 $sin θ = tan θ cos θ$
値を入れて、 $2 \times \frac{5}{5} = \frac{2 5}{5}$ 。よって $sin θ = \frac{2 5}{5}$

（確かめ） $sin^{2} θ + cos^{2} θ$ を計算すると、 $\frac{20}{25} + \frac{5}{25} = 1$ で、相互関係を満たしている。

ここで間違えやすい　手順 1 で出るのは $cos^{2} θ$ ではなく、その逆数 $\frac{1}{c o s ^{2} θ}$ 。 $cos^{2} θ = 5$ としてしまうと、cos が 1 を超えておかしいと気づける。

問 3　 $θ$ は鋭角で、 $sin θ + cos θ = \frac{4}{3}$ のとき、 $sin θ cos θ$ の値を求めよ。

$\frac{7}{18}$

方針　求めたい積 $sin θ cos θ$ は、和 $sin θ + cos θ$ を 2 乗して展開すると真ん中の項に現れる。残りの $sin^{2} θ + cos^{2} θ$ は 1 に置きかえられるので、積だけが残る。 $sin θ$ と $cos θ$ を別々に求める必要はない。

与えられた式の両辺を 2 乗する。 $(sin θ + cos θ)^{2} = (\frac{4}{3})^{2}$
左辺を展開すると、 $sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ$
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ なので、左辺は $1 + 2 sin θ cos θ$
右辺は $(\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9}$ なので、 $1 + 2 sin θ cos θ = \frac{16}{9}$
1 を移項する。 $\frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$ なので、 $2 sin θ cos θ = \frac{7}{9}$
両辺を 2 で割る。 $\frac{7}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{18}$ なので、 $sin θ cos θ = \frac{7}{18}$

問 4　 $sin^{2} 2 0^{\circ} + sin^{2} 7 0^{\circ}$ の値を求めよ。

方針　 $2 0^{\circ}$ も $7 0^{\circ}$ も値を覚えている角ではないので、1 つずつ値を出すことはできない。2 つの角の和が $9 0^{\circ}$ であることに目をつけ、 $sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ$ で角を $2 0^{\circ}$ にそろえる。そろえば $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ が使える。

$2 0^{\circ} + 7 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ なので、 $7 0^{\circ} = 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ}$ と書ける。
$sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ$ で $θ = 2 0^{\circ}$ とすると、 $sin 7 0^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = cos 2 0^{\circ}$
両辺を 2 乗して、 $sin^{2} 7 0^{\circ} = cos^{2} 2 0^{\circ}$
もとの式に入れると、 $sin^{2} 2 0^{\circ} + sin^{2} 7 0^{\circ} = sin^{2} 2 0^{\circ} + cos^{2} 2 0^{\circ}$
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ はどの角でも成り立つので、値は 1。

問 5　 $tan 2 5^{\circ} tan 6 5^{\circ}$ の値を求めよ。

方針　 $2 5^{\circ}$ と $6 5^{\circ}$ は和が $9 0^{\circ}$ 。 $tan (9 0^{\circ} - θ) = \frac{1}{t a n θ}$ を使うと、一方がもう一方の逆数になるので、値を知らなくても積が決まる。

$2 5^{\circ} + 6 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ なので、 $6 5^{\circ} = 9 0^{\circ} - 2 5^{\circ}$ と書ける。
$tan (9 0^{\circ} - θ) = \frac{1}{t a n θ}$ で $θ = 2 5^{\circ}$ とすると、 $tan 6 5^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 2 5^{\circ}) = \frac{1}{t a n 2 5 ^{\circ}}$
もとの式に入れると、 $tan 2 5^{\circ} tan 6 5^{\circ} = tan 2 5^{\circ} \times \frac{1}{t a n 2 5 ^{\circ}}$
ある数とその逆数の積なので、値は 1。