鋭角の三角比｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (2) 図形と計量ア (ア)「鋭角の三角比の意味と相互関係について理解すること」のうち、三角比の意味。

0. どういうまとまりか

直角三角形では、直角でない 1 つの角 $θ$ の大きさを決めると、三角形の大きさにかかわらず辺の比が決まります（すべて相似になるから）。
この比に名前をつけたのが三角比です。直角の向かいの辺を斜辺、 $θ$ の向かいの辺を対辺、 $θ$ をはさむ斜辺でない辺を隣辺とよびます。

名前	記号	どの辺とどの辺の比か
正弦	$sin θ$	$\frac{対辺}{斜辺}$
余弦	$cos θ$	$\frac{隣辺}{斜辺}$
正接	$tan θ$	$\frac{対辺}{隣辺}$

$θ$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin θ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos θ$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan θ$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

分かれ目は次の 3 つ。

どの角から見た比かを先に決める。同じ辺でも、見る角が変われば対辺と隣辺が入れかわる
sin と cos は分母が斜辺、tan だけ分母が隣辺（tan には斜辺が出てこない）
高さを求めるときは、斜辺が分かっていれば sin、水平の距離が分かっていれば tan を掛ける

1. 三角比の定義

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ア)

$∠ C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形 ABC で、 $∠ A = θ$ とします。斜辺は AB、 $θ$ の対辺は BC、隣辺は AC です。

直角三角形で、鋭角 $θ$ の正弦（ $sin θ$ ）とは、どの辺とどの辺の比か？

$sin θ = \frac{対辺}{斜辺}$ （ $θ$ の向かいの辺 ÷ 斜辺）

分母は斜辺。対辺を使うのは sin と tan。

直角三角形で、鋭角 $θ$ の余弦（ $cos θ$ ）とは、どの辺とどの辺の比か？

$cos θ = \frac{隣辺}{斜辺}$ （ $θ$ をはさむ斜辺でない辺 ÷ 斜辺）

sin と同じく分母は斜辺。分子が対辺か隣辺かだけが違う。

直角三角形で、鋭角 $θ$ の正接（ $tan θ$ ）とは、どの辺とどの辺の比か？

$tan θ = \frac{対辺}{隣辺}$

3 つの中で tan だけ斜辺を使わない。傾き（縦 ÷ 横）と同じ比。

正弦・余弦・正接の値が、直角三角形の大きさによらず $θ$ だけで決まるのはなぜか？

鋭角 $θ$ が等しい直角三角形は、どれも相似になるから

2 つの角（直角と $θ$ ）が等しいので相似。相似な図形では対応する辺の比が等しい。

直角三角形 ABC（ $∠ C = 9 0^{\circ}$ ）で、 $∠ A$ から見た対辺と、 $∠ B$ から見た対辺は、それぞれどれか？

$∠ A$ の対辺は BC、 $∠ B$ の対辺は AC

見る角を変えると対辺と隣辺が入れかわる。 $sin A = \frac{B C}{A B}$ は $cos B$ と同じ比になる。

2. 30°・45°・60° の三角比

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ア)

中学で学んだ 2 つの特別な直角三角形（ $1 : 1 : 2$ と $1 : 2 : 3$ ）の辺の比から、そのまま読み取れます。

$sin 3 0^{\circ}$ 、 $cos 3 0^{\circ}$ 、 $tan 3 0^{\circ}$ の値は？

$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 、 $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$

辺の比 $1 : 2 : 3$ の直角三角形で、30° の対辺が 1、斜辺が 2、隣辺が $3$ 。

$sin 4 5^{\circ}$ 、 $cos 4 5^{\circ}$ 、 $tan 4 5^{\circ}$ の値は？

$sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ 、 $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ 、 $tan 4 5^{\circ} = 1$

辺の比 $1 : 1 : 2$ の直角二等辺三角形。 $\frac{1}{2}$ と書いても同じ値。

$sin 6 0^{\circ}$ 、 $cos 6 0^{\circ}$ 、 $tan 6 0^{\circ}$ の値は？

$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 、 $tan 6 0^{\circ} = 3$

30° の三角形を 60° の側から見たもの。sin と cos が 30° のときと入れかわる。

3. 三角比で高さや距離を求める

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(2)-ア-(ア)

定義の式の分母を払うと、辺の長さを求める式になります。30°・45°・60° 以外の角は、三角比の表（小数第 4 位までの近似値）を使います。

直角三角形で、斜辺 $c$ と鋭角 $θ$ が分かっているとき、 $θ$ の対辺と隣辺は？

対辺 $= c sin θ$ 、隣辺 $= c cos θ$

$sin θ = \frac{対辺}{c}$ の分母を払った形。坂を上ったときの高さは $c sin θ$ 、水平に進んだ距離は $c cos θ$ 。

直角三角形で、隣辺 $b$ と鋭角 $θ$ が分かっているとき、 $θ$ の対辺は？

$b tan θ$

$tan θ = \frac{対辺}{b}$ の分母を払った形。水平の距離から高さを出すときに使う。

仰角とは何か？また俯角とは何か？

仰角は、水平の向きから上を見上げた角。俯角は、水平の向きから下を見下ろした角

どちらも水平線から測る（真上や真下から測るのではない）。

木から水平に $d$ だけ離れた地点で、木の先端を見上げた仰角が $θ$ 、目の高さが $h$ のとき、木の高さは？

$d tan θ + h$

$d tan θ$ は目の高さから上の部分。目の高さを足し忘れるのが典型的な誤り。

練習問題

問 1　 $∠ C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形 ABC で、 $B C = 5$ 、 $A C = 12$ 、 $A B = 13$ のとき、 $sin A$ 、 $cos A$ 、 $tan A$ を求めよ。

$sin A = \frac{5}{13}$ 、 $cos A = \frac{12}{13}$ 、 $tan A = \frac{5}{12}$

方針　三角比は「どの角から見るか」で対辺と隣辺が決まる。先に $∠ A$ から見た 3 辺の名前を決め、それから定義の比に長さを入れる。

斜辺は直角 $C$ の向かいの辺なので AB で、長さは 13。
$∠ A$ の対辺は、 $A$ の向かいにある辺 BC で、長さは 5。隣辺は残りの辺 AC で、長さは 12。
$sin A$ は対辺 ÷ 斜辺なので、 $sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{5}{13}$
$cos A$ は隣辺 ÷ 斜辺なので、 $cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{13}$
$tan A$ は対辺 ÷ 隣辺なので、 $tan A = \frac{B C}{A C} = \frac{5}{12}$

ここで間違えやすい　 $∠ B$ から見ると対辺と隣辺が入れかわる（対辺が AC、隣辺が BC）。「 $A$ の近くにある辺」を対辺にしないこと。対辺は角の向かいの辺。

問 2　長さ 8 m の坂道を、水平面に対して $3 0^{\circ}$ の傾きで上りきった。高さは何 m 上がったか。また、水平方向には何 m 進んだか。

高さ 4 m、水平方向 $43$ m

方針　坂道を斜辺とする直角三角形をかく。分かっているのは斜辺（8 m）と角（ $3 0^{\circ}$ ）なので、分母が斜辺の sin と cos を使う。高さは $3 0^{\circ}$ の対辺だから sin、水平方向の距離は隣辺だから cos。

坂道を斜辺、上がった高さを縦の辺、水平に進んだ距離を横の辺とする直角三角形を考える。 $3 0^{\circ}$ の角から見て、高さが対辺、水平方向の距離が隣辺になる。
$sin 3 0^{\circ} = \frac{高さ}{8}$ なので、分母を払って、高さは $8 sin 3 0^{\circ}$
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ を入れて、 $8 \times \frac{1}{2} = 4$ 。高さは 4 m。
$cos 3 0^{\circ} = \frac{水平方向の距離}{8}$ なので、分母を払って、水平方向の距離は $8 cos 3 0^{\circ}$
$cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ を入れて、 $8 \times \frac{3}{2} = 43$ 。水平方向は $43$ m。

問 3　塔から水平に 20 m 離れた地点で、塔の先端を見上げた仰角は $3 0^{\circ}$ だった。目の高さを 1.5 m として、塔の高さを求めよ。

$(\frac{20 3}{3} + 1.5)$ m（約 13.0 m）

方針　分かっているのは水平の距離（20 m）と仰角（ $3 0^{\circ}$ ）で、求めたいのは高さ。水平の距離は隣辺、高さは対辺にあたるので、斜辺を使わない tan を選ぶ。ただし仰角は目の位置から測るので、tan で出るのは「目の高さから上の部分」だけである。

目の位置、塔の中で目と同じ高さの点、塔の先端の 3 点で直角三角形を作る。 $3 0^{\circ}$ の角から見て、隣辺が 20 m、対辺が「目の高さから先端まで」になる。
$tan 3 0^{\circ} = \frac{対辺}{20}$ なので、分母を払って、対辺は $20 tan 3 0^{\circ}$
$tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ を入れて、 $20 \times \frac{1}{3} = \frac{20}{3}$
分母と分子に $3$ を掛けて有理化すると、 $\frac{20}{3} = \frac{20 3}{3}$
これに目の高さ 1.5 m を足して、塔の高さは $(\frac{20 3}{3} + 1.5)$ m。
およその値は、 $3 ≒ 1.732$ として $\frac{20 3}{3} ≒ 11.547$ 。 $11.547 + 1.5 = 13.047$ なので、約 13.0 m。

ここで間違えやすい　目の高さ 1.5 m を足し忘れる。tan で出した長さは、地面からではなく目の高さからの長さである。

問 4　ビルから水平に 50 m 離れた地点で、ビルの屋上を見上げた仰角は $3 5^{\circ}$ だった。 $tan 3 5^{\circ}$ を 0.7002 として、目の高さから屋上までの高さを小数第 1 位まで求めよ。

約 35.0 m

方針　分かっているのは水平の距離（50 m）と仰角（ $3 5^{\circ}$ ）で、求めたいのは高さ。隣辺から対辺を出すので tan を使う。 $3 5^{\circ}$ は特別な角ではないので、与えられた近似値を掛ける。

目の位置、ビルの中で目と同じ高さの点、屋上の 3 点で直角三角形を作る。 $3 5^{\circ}$ の角から見て、隣辺が 50 m、対辺が求める高さ。
$tan 3 5^{\circ} = \frac{高さ}{50}$ なので、分母を払って、高さは $50 tan 3 5^{\circ}$
$tan 3 5^{\circ}$ を 0.7002 として、 $50 \times 0.7002 = 35.01$
小数第 1 位まで求めるので、小数第 2 位の 1 を四捨五入して、約 35.0 m。

ここで間違えやすい　この問題は「目の高さから屋上まで」を聞いているので、目の高さは足さない。何の長さを聞かれているかを問題文で確かめる。

問 5　高さ 30 m のがけの上から、海上の船を見下ろした俯角が $4 5^{\circ}$ だった。がけの下から船までの水平の距離を求めよ（目の高さは考えない）。

30 m

方針　がけの上の点、がけの下の点、船の 3 点で直角三角形を作る。分かっているのは高さ（30 m）で、求めたいのは水平の距離。縦の辺と横の辺の比なので tan を使う。俯角は水平の向きから測る角なので、まず三角形のどの角が $4 5^{\circ}$ になるかを決める。

がけの上の点を P、がけの下の点を Q、船の位置を S とする。 $∠ Q = 9 0^{\circ}$ 、 $P Q = 30$ で、求めるのは QS。
俯角 $4 5^{\circ}$ は、P を通る水平な線と PS のなす角。この水平な線と QS は平行なので、錯角が等しく、 $∠ P S Q = 4 5^{\circ}$
$∠ S$ から見ると、対辺が PQ、隣辺が QS なので、 $tan 4 5^{\circ} = \frac{30}{QS}$
QS について解くと、 $QS = \frac{30}{t a n 4 5 ^{\circ}}$
$tan 4 5^{\circ} = 1$ なので、 $30 \div 1 = 30$ 。水平の距離は 30 m。

（確かめ） $∠ S = 4 5^{\circ}$ 、 $∠ Q = 9 0^{\circ}$ の三角形は直角二等辺三角形なので、高さ PQ と水平の距離 QS は等しい。

ここで間違えやすい　俯角を、がけ（縦の線 PQ）と PS のなす角にとってしまう。俯角も仰角も水平の向きから測る。 $4 5^{\circ}$ ではたまたま同じ答えになるが、ほかの角では違う値になる。