一次不等式｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (エ)「不等式の解の意味や不等式の性質について理解し，一次不等式の解を求めること」。

0. どういうまとまりか

不等式の解き方は、一次方程式とほとんど同じ手順です。違うのは 1 点だけで、両辺に負の数を掛けたり負の数で割ったりすると、不等号の向きが変わることです。
解は 1 つの値ではなく範囲になるので、数直線で表して考えます。

場面	方程式	不等式
移項	できる	できる（向きは変わらない）
両辺に正の数を掛ける・割る	できる	できる（向きは変わらない）
両辺に負の数を掛ける・割る	できる	できるが向きが変わる
解	値（ $x = 2$ ）	範囲（ $x > 2$ ）

分かれ目は次の 3 つ。

負の数を掛ける・割ると、不等号の向きが変わる
連立不等式の解は、それぞれの解の共通範囲（共通範囲が無ければ解なし）
絶対値は、中身の符号で場合分けして外す（得た解が、その場合の範囲に入っているかを確かめる）

1. 不等式の性質

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(エ)

数量の大小関係を不等号で表した式を不等式といいます。
不等式を変形するときに使ってよい規則を不等式の性質といい、次の 3 つにまとめられます。

不等式の性質 1: $A < B$ のとき、 $A + C$ と $B + C$ 、 $A - C$ と $B - C$ の大小は？

$A + C < B + C$ 、 $A - C < B - C$ （向きは変わらない）

両辺に同じ数を足しても引いても大小は変わらない。これが移項の根拠になる。

不等式の性質 2: $A < B$ 、 $C > 0$ のとき、 $A C$ と $B C$ 、 $\frac{A}{C}$ と $\frac{B}{C}$ の大小は？

$A C < B C$ 、 $\frac{A}{C} < \frac{B}{C}$ （向きは変わらない）

正の数を掛けても割っても、大小は変わらない。

不等式の性質 3: $A < B$ 、 $C < 0$ のとき、 $A C$ と $B C$ 、 $\frac{A}{C}$ と $\frac{B}{C}$ の大小は？

$A C > B C$ 、 $\frac{A}{C} > \frac{B}{C}$ （向きが変わる）

$2 < 3$ の両辺に $- 1$ を掛けると $- 2 > - 3$ 。数直線で原点について折り返すので、左右が入れかわる。

2. 一次不等式の解き方

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(エ)

移項して整理すると $a x > b$ 、 $a x ≦ b$ などの形になる不等式を、 $x$ についての一次不等式といいます。
不等式を満たす $x$ の値全体を、その不等式の解といい、解をすべて求めることを「不等式を解く」といいます。

不等式の解とは何か？方程式の解と何が違うか？

不等式を満たす $x$ の値全体。1 つの値ではなく範囲になることが多い

$x + 1 > 3$ の解は $x > 2$ 。 $x = 3$ は解の 1 つにすぎない。

一次不等式 $a x > b$ は、 $a$ の符号によってどう解くか？

$a > 0$ なら $x > \frac{b}{a}$ 、 $a < 0$ なら $x < \frac{b}{a}$

最後に $x$ の係数で割るとき、係数が負なら向きを変える。 $- 3 x > 6$ は $x < - 2$ 。

係数に分数を含む一次不等式は、どう解き始めるか？

両辺に分母の最小公倍数（正の数）を掛けて、分母を払う

正の数を掛けるので向きは変わらない。分子が多項式なら、かっこを付けたまま掛ける。

3. 連立不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(エ)

2 つ以上の不等式を組にしたものを連立不等式といい、すべてを同時に満たす $x$ の範囲がその解です。
それぞれの一次不等式を解き、数直線の上に重ねて共通部分を読みます。

連立不等式の解は、どう求めるか？

それぞれの不等式を解き、数直線に重ねて、すべてに共通する範囲を求める

$x > 1$ と $x ≦ 4$ なら $1 < x ≦ 4$ 。共通範囲がなければ「解なし」。

$A < B < C$ の形の不等式は、どう解くか？

「 $A < B$ かつ $B < C$ 」の連立不等式として解く

$x$ が 2 つ以上の辺にある形（ $x - 1 < 2 x + 3 < 3 x$ など）なら、2 つに分けてからそれぞれを解く。 $x$ が真ん中だけにある形（ $1 < 2 x + 3 < 7$ ）なら、各辺に同じ操作をしてよい。

数直線に解を表すとき、端の点の ● と ○ は何を表すか？

● はその点を含む（ $≦, ≧$ ）、○ は含まない（ $<, >$ ）

連立不等式で共通部分を読むとき、端が両方の範囲に入っているかを ● と ○ で確かめる。

不等式の文章題で、答えが個数や人数のときに最後にすることは？

求めた範囲の中から、条件に合う整数（自然数）を選ぶ

$x ≦ 7.5$ で $x$ が個数なら、最大は $7$ 個。

4. 絶対値を含む方程式・不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(エ)

$∣ x ∣$ は数直線上の原点からの距離なので、 $∣ x ∣ < 3$ は「原点からの距離が 3 より小さい」と読めます。
中身が $x - 3$ のような式のときは、中身が 0 以上か負かで場合分けして絶対値を外します。

$a > 0$ のとき、 $∣ x ∣ = a$ 、 $∣ x ∣ < a$ 、 $∣ x ∣ > a$ の解は？

$∣ x ∣ = a$ は $x = \pm a$ 、 $∣ x ∣ < a$ は $- a < x < a$ 、 $∣ x ∣ > a$ は $x < - a, a < x$

原点からの距離が $a$ に等しい・より小さい・より大きい点の範囲。

$∣ x - p ∣$ を含む方程式・不等式を場合分けで解くとき、何に注意するか？

$x ≧ p$ なら $∣ x - p ∣ = x - p$ 、 $x < p$ なら $∣ x - p ∣ = - (x - p)$ と外し、得た解がその場合の範囲に入っているかを確かめる

範囲の外に出た解は捨てる。最後に、それぞれの場合の解を合わせる。

練習問題

問 1　不等式 $3 x - 5 > 7 x + 3$ を解け。

$x < - 2$

方針　一次方程式と同じ手順で、 $x$ の項を左辺に、数の項を右辺に集めて $a x > b$ の形にする。最後に $x$ の係数で割るとき、係数が負なら不等号の向きを変える。

$7 x$ を左辺に、 $- 5$ を右辺に移項する（移項では向きは変わらない）。 $3 x - 7 x > 3 + 5$
両辺をそれぞれ計算する。 $- 4 x > 8$
両辺を $- 4$ で割る。負の数で割るので不等号の向きが変わり、 $x < - 2$

確かめ: 解に入る $x = - 3$ を元の式に入れると、左辺は $3 \times (- 3) - 5 = - 14$ 、右辺は $7 \times (- 3) + 3 = - 18$ 。 $- 14 > - 18$ で、たしかに成り立つ。

ここで間違えやすい　3 で向きを変え忘れて $x > - 2$ としない。不安なら、 $3 x$ を右辺に、 $3$ を左辺に移して $- 8 > 4 x$ とすれば、正の数 $4$ で割るだけで $- 2 > x$ が出る。

問 2　連立不等式 $2 x + 1 ≦ 3 x + 4$ 、 $5 x - 2 < 2 x + 7$ を解け。

$- 3 ≦ x < 3$

方針　連立不等式は、2 つの不等式を別々に解いてから、数直線に重ねて共通する範囲を読む。それぞれの解き方は、ふつうの一次不等式と同じ。

1 つ目を解く。 $3 x$ を左辺に、 $1$ を右辺に移項して、 $2 x - 3 x ≦ 4 - 1$
計算すると $- x ≦ 3$ 。両辺を $- 1$ で割る（負の数なので向きが変わる）と、 $x ≧ - 3$
2 つ目を解く。 $2 x$ を左辺に、 $- 2$ を右辺に移項して、 $5 x - 2 x < 7 + 2$
計算すると $3 x < 9$ 。両辺を $3$ で割る（正の数なので向きは変わらない）と、 $x < 3$
$x ≧ - 3$ と $x < 3$ を数直線に重ねる。 $- 3$ から右へ伸びる範囲と、 $3$ から左へ伸びる範囲の重なりは、 $- 3$ と $3$ の間
端の $- 3$ は両方の範囲に入り、 $3$ は 2 つ目に入らない。よって $- 3 ≦ x < 3$

ここで間違えやすい　端の等号は、もとの不等号をそのまま引き継ぐ。 $- 3$ の側は $≦$ 、 $3$ の側は $<$ で、そろえてしまわない。

問 3　不等式 $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 1}{3} ≧ 1$ を解け。

$x ≦ - 11$

方針　分数のままでは計算しにくいので、分母の $2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ を両辺に掛けて、分母を払う。 $6$ は正の数なので、不等号の向きは変わらない。

両辺に $6$ を掛ける。 $6 \div 2 = 3$ 、 $6 \div 3 = 2$ なので、 $3 (x - 1) - 2 (2 x + 1) ≧ 6$
かっこを外す。 $3 x - 3 - 4 x - 2 ≧ 6$
左辺の同類項をまとめる。 $- x - 5 ≧ 6$
$- 5$ を右辺に移項する。 $- x ≧ 6 + 5$ 、つまり $- x ≧ 11$
両辺を $- 1$ で割る。負の数で割るので向きが変わり、 $x ≦ - 11$

確かめ: 端の $x = - 11$ を元の式に入れると、 $\frac{x - 1}{2} = \frac{- 12}{2}$ で $- 6$ 、 $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{- 21}{3}$ で $- 7$ 。左辺は $- 6 - (- 7) = 1$ で、ちょうど右辺の $1$ に等しい。

ここで間違えやすい　右辺の $1$ にも $6$ を掛ける。また、分子はかっこを付けたまま掛け、 $- 2 (2 x + 1)$ を外すときは $- 4 x - 2$ と、後ろの項の符号も変える。

問 4　1 個 120 円のりんごと 1 個 80 円のみかんを合わせて 15 個買い、代金を 1500 円以下にしたい。りんごは最大で何個買えるか。

7 個

方針　求めたい「りんごの個数」を $x$ とおき、みかんの個数も $x$ で表して、代金の式を作る。「1500 円以下」を不等式にして解き、最後に $x$ が個数（整数）であることに戻る。

りんごを $x$ 個とすると、合わせて 15 個なので、みかんは $(15 - x)$ 個
代金は $120 x + 80 (15 - x)$ 円。これが 1500 円以下なので、 $120 x + 80 (15 - x) ≦ 1500$
かっこを外す。 $80 \times 15 = 1200$ なので、 $120 x + 1200 - 80 x ≦ 1500$
左辺の同類項をまとめる。 $40 x + 1200 ≦ 1500$
$1200$ を右辺に移項する。 $40 x ≦ 1500 - 1200$ 、つまり $40 x ≦ 300$
両辺を $40$ で割る（正の数なので向きは変わらない）。 $300 \div 40 = 7.5$ なので、 $x ≦ 7.5$
$x$ は $0$ 以上 $15$ 以下の整数なので、 $7.5$ 以下で最大の整数をとって、 $7$ 個

確かめ: りんご 7 個・みかん 8 個なら $120 \times 7 + 80 \times 8 = 840 + 640 = 1480$ 円で、1500 円以下。りんご 8 個・みかん 7 個なら $120 \times 8 + 80 \times 7 = 960 + 560 = 1520$ 円で、1500 円を超える。

ここで間違えやすい　 $7.5$ を四捨五入して 8 個としない。 $x ≦ 7.5$ を満たす整数のうち最大のものを選ぶ。

問 5　不等式 $∣2 x - 1∣ < 5$ を解け。

$- 2 < x < 3$

方針　 $a > 0$ のとき、 $∣ X ∣ < a$ は「 $X$ の原点からの距離が $a$ より小さい」ことなので、 $- a < X < a$ と書きかえられる。 $2 x - 1$ を 1 つのかたまり $X$ と見て、まず絶対値を外す。

$X = 2 x - 1$ 、 $a = 5$ として絶対値を外す。 $- 5 < 2 x - 1 < 5$
真ん中を $2 x$ だけにするために、各辺に $1$ を加える。 $- 5 + 1 = - 4$ 、 $5 + 1 = 6$ なので、 $- 4 < 2 x < 6$
各辺を $2$ で割る（正の数なので向きは変わらない）。 $- 2 < x < 3$

確かめ: 範囲の中の $x = 0$ では、中身は $2 \times 0 - 1 = - 1$ で絶対値は $1$ 。 $5$ より小さいので成り立つ。端の $x = 3$ では、中身は $2 \times 3 - 1 = 5$ で絶対値は $5$ 。 $5$ より小さくはないので、端は入らない。

ここで間違えやすい　絶対値を外すときに、 $2 x - 1 < 5$ の片側だけにしない。負の側の $- 5 < 2 x - 1$ を落とすと、 $x < 3$ だけになってしまう。

問 6　方程式 $∣ x - 3∣ = 2 x$ を解け。

$x = 1$

方針　右辺にも $x$ があるので、 $∣ x ∣ = a$ の形の公式はそのまま使えない。絶対値の中身 $x - 3$ が $0$ 以上か負かで場合分けして外し、場合ごとに出た解が、その場合の範囲に入っているかを確かめる。

$x ≧ 3$ のとき、中身は $0$ 以上なので $∣ x - 3 ∣ = x - 3$ 。方程式は $x - 3 = 2 x$
$x$ を右辺に移項して、 $- 3 = 2 x - x$ 。よって $x = - 3$
$x = - 3$ は、この場合の範囲 $x ≧ 3$ を満たさないので捨てる
$x < 3$ のとき、中身は負なので $∣ x - 3 ∣ = - (x - 3)$ 。方程式は $- x + 3 = 2 x$
$- x$ を右辺に移項して、 $3 = 3 x$ 。よって $x = 1$
$x = 1$ は、この場合の範囲 $x < 3$ を満たすので解になる。2 つの場合を合わせて、 $x = 1$

確かめ: $x = 1$ のとき、中身は $1 - 3 = - 2$ で左辺は $2$ 、右辺は $2 \times 1 = 2$ で一致する。捨てた $x = - 3$ では、中身は $- 3 - 3 = - 6$ で左辺は $6$ 、右辺は $2 \times (- 3) = - 6$ で一致しない。

ここで間違えやすい　3 の確認を省くと、 $x = - 3$ も答えにしてしまう。左辺の絶対値は $0$ 以上なので、右辺の $2 x$ が負になる $x$ は、はじめから解になれない。