式の展開と因数分解｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (ウ)「二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深めること」。

0. どういうまとまりか

中学の乗法公式は $x$ の係数が 1 の形が中心でした。高校では、係数が 1 でない $(a x + b) (c x + d)$ と、文字が 3 つの $(a + b + c)^{2}$ を加え、
因数分解ではたすき掛け・置き換え・1 つの文字に着目して整理という 3 つの工夫を使います。

式の形	まず試すこと
すべての項に共通の因数がある	共通因数をくくり出す
$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$	たすき掛け
同じかたまり（ $x^{2} - 2 x$ など）がくり返し出る	かたまりを 1 つの文字に置き換える
文字が 2 つ以上ある	次数の最も低い文字について整理する

分かれ目は次の 3 つ。

どの文字に着目するかで、次数も係数も定数項も変わる
因数分解は、まず共通因数。そのあとで公式やたすき掛け
置き換えたら、最後に元に戻して、まだ因数分解できないか確かめる

1. 整式の用語

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ウ)

単項式と、単項式の和で表された多項式をまとめて整式といいます。
文字が 2 つ以上ある式では、どの文字に着目するかを決めると、ほかの文字は数と同じように扱います。

単項式 $- 3 a x^{2} y$ で、 $x$ に着目したときの次数と係数は？

次数 $2$ 、係数 $- 3 a y$

着目した文字以外（ $a, y$ ）は数と同じに扱う。すべての文字に着目すると、次数 $4$ 、係数 $- 3$ 。

同類項とは何か？整式の次数とは何か？

同類項は、着目した文字の部分が同じ項。整式の次数は、同類項をまとめたあとの各項の次数のうち最も高いもの

$x^{2} + 3 x - x^{2} + 5$ は同類項をまとめると $3 x + 5$ で、一次式。

整式 $x^{2} + 2 x y - 3 y + 4$ を $x$ に着目して整理したとき、定数項は？

$- 3 y + 4$

$x$ を含まない項が、 $x$ に着目したときの定数項。 $x^{2} + 2 y \cdot x + (- 3 y + 4)$ と降べきの順に書く。

指数法則を 3 つ書くと？（ $m, n$ は正の整数）

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 、 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ 、 $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

$(2 x^{3})^{2} = 4 x^{6}$ 。 $(a^{m})^{n}$ を $a^{m + n}$ にしない。

2. 乗法公式

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ウ)

展開は分配法則のくり返しですが、よく出る形は乗法公式として覚えておくと速く正確になります。

中学で学んだ 4 つの乗法公式は？

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ 、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ 、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ 、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

高校ではここに $(a x + b) (c x + d)$ と $(a + b + c)^{2}$ が加わる。

乗法公式で $(a x + b) (c x + d)$ を展開すると？

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

$x$ の係数は、外側どうし $a d$ と内側どうし $b c$ の和。 $(2 x + 3) (x - 4) = 2 x^{2} - 5 x - 12$ 。

$(a + b + c)^{2}$ を展開すると？

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a$

$a + b$ を 1 つのかたまりと見て $(A + c)^{2}$ を展開しても導ける。2 乗の項 3 つと、2 つずつの積の 2 倍 3 つ。

3. 因数分解

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ウ)

整式をいくつかの整式の積の形に表すことを因数分解といいます。展開の逆向きの計算なので、乗法公式を右から左へ読んで使います。
数学Ⅰでは、係数が有理数の範囲で、それ以上分けられないところまで因数分解します。

因数分解とは何か？最初に確かめることは？

整式を、いくつかの整式の積の形に表すこと。最初に、すべての項に共通の因数がないかを確かめてくくり出す

$2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4) = 2 (x + 2) (x - 2)$ 。くくり出したあとも、まだ分けられないか見る。

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ の形の式を因数分解する方法は？

たすき掛け。 $x^{2}$ の係数を $a \times c$ 、定数項を $b \times d$ に分け、 $a d + b c$ が $x$ の係数になる組を探す

結果は $(a x + b) (c x + d)$ 。 $3 x^{2} + 7 x + 2$ は $3 = 3 \times 1$ 、 $2 = 1 \times 2$ で $3 \times 2 + 1 \times 1 = 7$ なので $(3 x + 1) (x + 2)$ 。

同じ式のかたまりがくり返し出てくる整式は、どう因数分解するか？

かたまりを 1 つの文字に置き換えて因数分解し、最後に元に戻す

$(x + y)^{2} - 3 (x + y) + 2$ は $x + y = A$ とおいて $(A - 1) (A - 2) = (x + y - 1) (x + y - 2)$ 。戻したあと、さらに分けられないか確かめる。

文字が 2 つ以上ある式を因数分解するとき、どの文字について整理するか？

次数の最も低い文字について整理する

$x^{2} y + x^{2} - y - 1$ は $y$ について一次なので、 $(x^{2} - 1) y + (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) (y + 1) = (x + 1) (x - 1) (y + 1)$ 。
次数がどれも同じなら、1 つの文字について降べきの順に整理してたすき掛けをする。

$x^{4} + 4$ のように、そのままでは公式が使えない四次式はどう因数分解するか？

平方の差 $A^{2} - B^{2}$ の形を作る

$x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ 。

練習問題

問 1　次の式を展開せよ。　(1) $(3 x - 2) (2 x + 5)$ 　(2) $(a - 2 b + c)^{2}$

(1) $6 x^{2} + 11 x - 10$ 　(2) $a^{2} + 4 b^{2} + c^{2} - 4 ab - 4 b c + 2 c a$

方針　(1) は $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ 、(2) は $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a$ の形なので、乗法公式を使う。引き算は「負の数を足す」と見て、符号ごと公式に当てはめる。

(1) 公式の $a, b, c, d$ にあたる数は、順に $3, - 2, 2, 5$ 。 $x^{2}$ の係数は $3 \times 2 = 6$
$x$ の係数は、外側どうしの積と内側どうしの積の和。 $3 \times 5 + (- 2) \times 2 = 15 - 4 = 11$
定数項は $(- 2) \times 5 = - 10$ 。よって $6 x^{2} + 11 x - 10$
(2) $a - 2 b + c$ を $a + (- 2 b) + c$ と見て、公式の $b$ の代わりに $- 2 b$ を入れる。2 乗の項は $a^{2}$ 、 $(- 2 b)^{2} = 4 b^{2}$ 、 $c^{2}$
2 つずつの積の 2 倍は、 $2 \times a \times (- 2 b) = - 4 ab$ 、 $2 \times (- 2 b) \times c = - 4 b c$ 、 $2 \times c \times a = 2 c a$
全部を合わせて、 $a^{2} + 4 b^{2} + c^{2} - 4 ab - 4 b c + 2 c a$

ここで間違えやすい　 $(- 2 b)^{2}$ は係数も符号も 2 乗するので $4 b^{2}$ （ $- 4 b^{2}$ でも $2 b^{2}$ でもない）。 $- 2 b$ を含む積の項（ $ab$ と $b c$ ）だけが負になる。

問 2　 $6 x^{2} - x - 2$ を因数分解せよ。

$(2 x + 1) (3 x - 2)$

方針　 $x^{2}$ の係数が $1$ でないので、たすき掛けを使う。 $x^{2}$ の係数 $6$ と定数項 $- 2$ をそれぞれ 2 つの数の積に分け、斜めに掛けて足した値が $x$ の係数 $- 1$ になる組を探す。

分け方の候補を挙げる。 $6$ は $1 \times 6$ か $2 \times 3$ 、 $- 2$ は $1 \times (- 2)$ か $(- 1) \times 2$
$6 = 2 \times 3$ 、 $- 2 = 1 \times (- 2)$ の組を試す。 $(2 x + 1) (3 x - 2)$ の形で、 $x$ の係数は $2 \times (- 2) + 1 \times 3 = - 4 + 3 = - 1$
$x$ の係数 $- 1$ に一致したので、 $6 x^{2} - x - 2 = (2 x + 1) (3 x - 2)$
展開して確かめる。 $(2 x + 1) (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x + 3 x - 2$ で、まとめると $6 x^{2} - x - 2$

ここで間違えやすい　符号を逆にした $(2 x - 1) (3 x + 2)$ では、 $x$ の係数が $2 \times 2 + (- 1) \times 3 = 1$ になり、符号が合わない。組が決まったら、必ず斜めの積の和を計算して確かめる。

問 3　 $(x^{2} - 2 x)^{2} - 11 (x^{2} - 2 x) + 24$ を因数分解せよ。

$(x + 1) (x - 3) (x + 2) (x - 4)$

方針　 $x^{2} - 2 x$ というかたまりが 2 回出てくるので、1 つの文字 $A$ に置き換えると、 $A$ の二次式になって見通しがよくなる。因数分解してから元に戻し、まだ分けられないかを確かめる。

$x^{2} - 2 x = A$ とおく。式は $A^{2} - 11 A + 24$
掛けて $24$ 、足して $- 11$ になる 2 つの数を探す。 $(- 3) \times (- 8) = 24$ 、 $(- 3) + (- 8) = - 11$ なので、 $A^{2} - 11 A + 24 = (A - 3) (A - 8)$
$A$ を元に戻す。 $(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 8)$
$x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解する。掛けて $- 3$ 、足して $- 2$ になるのは $1$ と $- 3$ なので、 $(x + 1) (x - 3)$
$x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解する。掛けて $- 8$ 、足して $- 2$ になるのは $2$ と $- 4$ なので、 $(x + 2) (x - 4)$
合わせて、 $(x + 1) (x - 3) (x + 2) (x - 4)$

ここで間違えやすい　元に戻した 3 の形で止めない。戻したあとの二次式が、それぞれまだ因数分解できる。

問 4　 $x^{2} y + x^{2} - y - 1$ を因数分解せよ。

$(x + 1) (x - 1) (y + 1)$

方針　文字が 2 つあるときは、次数の低い文字について整理する。この式は $x$ について二次、 $y$ について一次なので、 $y$ について整理すると共通因数が見えてくる。

$y$ を含む項と含まない項に分けて並べる。 $x^{2} y - y + x^{2} - 1$
$y$ を含む項を $y$ でくくる。 $(x^{2} - 1) y + (x^{2} - 1)$
共通因数 $x^{2} - 1$ をくくり出す。 $(x^{2} - 1) (y + 1)$
$x^{2} - 1$ は平方の差で、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ とまだ分けられる。よって $(x + 1) (x - 1) (y + 1)$

ここで間違えやすい　 $(x^{2} - 1) (y + 1)$ で止めない。くくり出したあとの因数が、さらに因数分解できないかを確かめる。

問 5　 $x^{2} + x y - 2 y^{2} + 2 x + 7 y - 3$ を因数分解せよ。

$(x + 2 y - 1) (x - y + 3)$

方針　 $x$ についても $y$ についても二次で、次数に差がない。そこで $x$ について降べきの順に整理し、定数項にあたる $y$ の式を先に因数分解する。そのあと全体を「掛けて定数項、足して $x$ の係数」になる 2 つの式に分ける。

$x$ について整理する。 $x$ を含む項は $x^{2}$ と $x y + 2 x$ 、含まない項は $- 2 y^{2} + 7 y - 3$ なので、 $x^{2} + (y + 2) x - (2 y^{2} - 7 y + 3)$
定数項にあたる $2 y^{2} - 7 y + 3$ を、たすき掛けで因数分解する。 $2 = 2 \times 1$ 、 $3 = (- 1) \times (- 3)$ と分けると、 $2 \times (- 3) + (- 1) \times 1 = - 7$ で $y$ の係数に一致するので、 $2 y^{2} - 7 y + 3 = (2 y - 1) (y - 3)$
式は $x^{2} + (y + 2) x - (2 y - 1) (y - 3)$ になる。掛けて $- (2 y - 1) (y - 3)$ 、足して $y + 2$ になる 2 つの式を探す
$2 y - 1$ と $- (y - 3)$ の組を試す。和は $(2 y - 1) - (y - 3) = 2 y - 1 - y + 3$ で、まとめると $y + 2$ 。 $x$ の係数に一致する
よって ${x + (2 y - 1)} {x - (y - 3)}$
中のかっこを外して、 $(x + 2 y - 1) (x - y + 3)$

確かめ: 展開すると $x^{2} - x y + 3 x + 2 x y - 2 y^{2} + 6 y - x + y - 3$ で、同類項をまとめると $x^{2} + x y - 2 y^{2} + 2 x + 7 y - 3$ 。元の式に戻る。

ここで間違えやすい　符号を逆にした $- (2 y - 1)$ と $y - 3$ の組では、和が $- y - 2$ になって $x$ の係数と合わない。また、1 で定数項をマイナスでくくるとき、 $- (2 y^{2} - 7 y + 3)$ の中の符号を全部変える。

問 6　 $x^{4} + 4$ と同じ考え方（平方の差を作る）で、 $x^{4} + x^{2} + 1$ を因数分解せよ。

$(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

方針　そのままでは公式に合わないので、 $x^{2}$ を足して引くことで $(x^{2} + 1)^{2}$ を作り、平方の差 $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ の形に持ち込む。

$(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$ と比べると、元の式は $x^{2}$ が 1 つ足りない。そこで $x^{2}$ を足して引く。 $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2}$
前のかっこを 2 乗の形にする。 $(x^{2} + 1)^{2} - x^{2}$
$A = x^{2} + 1$ 、 $B = x$ として平方の差の公式を使う。 ${(x^{2} + 1) + x} {(x^{2} + 1) - x}$
それぞれを降べきの順に並べて、 $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

ここで間違えやすい　 $x^{2} = A$ と置き換えて $A^{2} + A + 1$ にしても、掛けて $1$ 、足して $1$ になる 2 つの数が見つからず、先へ進めない。足して引く項は、平方の差が作れるように選ぶ。