命題の証明｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (イ)「集合と命題に関する基本的な概念を理解すること」。

0. どういうまとまりか

命題 $p ⟹ q$ から、仮定と結論を入れかえたり否定したりして、3 つの命題が作れます。
このうち対偶は元の命題と真偽が必ず一致するので、元の命題を直接示しにくいときに、対偶を示して代わりにできます。

名前	形	元の命題との真偽
元の命題	$p ⟹ q$
逆	$q ⟹ p$	一致するとは限らない
裏	$p ⟹ q$	一致するとは限らない
対偶	$q ⟹ p$	必ず一致する

分かれ目は次の 3 つ。

元の命題が真でも、逆が真とは限らない
結論が「〜でない」の形のときは、対偶か背理法を考える
背理法は「結論を否定すると矛盾が出る」ことを示す（矛盾の相手は仮定でも既知の事実でもよい）

1. 逆・裏・対偶

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

逆・裏・対偶は、仮定と結論の「入れかえ」と「否定」の組み合わせです。
対偶は、入れかえと否定を両方おこなったものです。

命題 $p ⟹ q$ の逆・裏・対偶は？

逆: $q ⟹ p$ 　裏: $p ⟹ q$ 　対偶: $q ⟹ p$

逆は入れかえ、裏は否定、対偶は入れかえて否定。

命題とその対偶の真偽の関係は？集合で見た理由は？

真偽は必ず一致する。 $P \subset Q$ と $Q \subset P$ は同じことを表すから

$P$ が $Q$ に含まれるなら、 $Q$ の外側は $P$ の外側に含まれる。

命題の逆と裏の真偽の関係は？

必ず一致する（逆と裏は、たがいに対偶の関係にある）

逆 $q ⟹ p$ の対偶は $p ⟹ q$ 、つまり裏。

元の命題が真なら、その逆も真といえるか？

いえない（真とは限らない）

「 $x = 2 ⟹ x^{2} = 4$ 」は真だが、逆「 $x^{2} = 4 ⟹ x = 2$ 」は $x = - 2$ が反例で偽。

2. 対偶を利用した証明

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

「 $n^{2}$ が偶数ならば $n$ は偶数」を直接示そうとすると、 $n^{2}$ の形から $n$ を取り出すのに困ります。
対偶「 $n$ が奇数ならば $n^{2}$ は奇数」なら、 $n = 2 k + 1$ とおいて計算するだけで示せます。

対偶を利用した証明とは、どういう証明か？どんなときに使うか？

元の命題の代わりに対偶 $q ⟹ p$ を証明し、元の命題が真だと結論する。仮定や結論が「〜でない」の形のときや、元の向きで式が扱いにくいときに使う

命題と対偶は真偽が一致するから、この証明が成り立つ。

「整数 $n$ について、 $n^{2}$ が偶数ならば $n$ は偶数」を対偶で示すとき、何を証明するか？

「 $n$ が奇数ならば $n^{2}$ は奇数」

$n = 2 k + 1$ （ $k$ は整数）とおくと、 $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ で奇数。

3. 背理法

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

背理法は、「結論が成り立たない」と仮定して議論を進め、矛盾が出ることから、仮定が誤り、つまり結論が成り立つと示す方法です。
「無理数である」は「有理数でない」という否定の形の性質なので、背理法がよく使われます。

背理法とは、どんな証明の方法か？

結論が成り立たないと仮定して矛盾を導き、それによって結論が成り立つと示す方法

矛盾の相手は、仮定・定義・すでに知っている事実のどれでもよい。

対偶を利用した証明と背理法の違いは？

対偶の証明は $q$ から $p$ を導く。背理法は「 $p$ かつ $q$ 」から、何らかの矛盾を導く

背理法は、矛盾の相手が $p$ の否定でなくてよい。そのぶん使える場面が広い。

「 $2$ は無理数である」を背理法で示すとき、最初に何と仮定するか？

$2$ は有理数である、つまり $2 = \frac{m}{n}$ （ $m, n$ は互いに素な自然数）と表せると仮定する

「互いに素」（1 以外の公約数をもたない）と置くのが、あとで矛盾を出す鍵になる。

$2 = \frac{m}{n}$ （ $m, n$ は互いに素）と仮定したあと、どんな矛盾が出るか？

$m$ も $n$ も偶数になり、互いに素であることに矛盾する

$m^{2} = 2 n^{2}$ から $m^{2}$ が偶数、よって $m$ が偶数。 $m = 2 k$ を代入して $n^{2} = 2 k^{2}$ 、よって $n$ も偶数。

$p, q$ が有理数で、 $p + q 2$ の値が $0$ になるとき、 $p, q$ はどうなるか？（ $2$ は無理数とする）

$p = 0$ かつ $q = 0$

$q \neq = 0$ と仮定すると $2 = - \frac{p}{q}$ で、右辺は有理数になり矛盾（背理法）。よって $q = 0$ 、そこから $p = 0$ 。

練習問題

問 1　命題「 $x = 1 ⟹ x^{2} = 1$ 」（ $x$ は実数）の逆・裏・対偶を書き、それぞれの真偽を答えよ。

逆「 $x^{2} = 1 ⟹ x = 1$ 」偽　裏「 $x \neq = 1 ⟹ x^{2} \neq = 1$ 」偽　対偶「 $x^{2} \neq = 1 ⟹ x \neq = 1$ 」真

方針　仮定 $p$ を「 $x = 1$ 」、結論 $q$ を「 $x^{2} = 1$ 」として、逆は入れかえ、裏は両方を否定、対偶は入れかえて否定して作る。真偽は「元の命題と対偶」「逆と裏」がそれぞれ一致するので、2 つ調べれば 4 つとも決まる。

否定を用意する。「 $x = 1$ 」の否定は「 $x \neq = 1$ 」、「 $x^{2} = 1$ 」の否定は「 $x^{2} \neq = 1$ 」
3 つの命題を作る。逆は「 $x^{2} = 1 ⟹ x = 1$ 」、裏は「 $x \neq = 1 ⟹ x^{2} \neq = 1$ 」、対偶は「 $x^{2} \neq = 1 ⟹ x \neq = 1$ 」
元の命題の真偽を調べる。 $x = 1$ なら $1^{2} = 1$ で $x^{2} = 1$ が成り立つので真。対偶は元の命題と真偽が一致するので、対偶も真
逆の真偽を調べる。 $x^{2} = 1$ を満たすのは $x = 1$ と $x = - 1$ で、 $x = - 1$ は $x = 1$ を満たさない。反例があるので偽
裏は逆の対偶なので、逆と同じく偽。実際、 $x = - 1$ は $x \neq = 1$ を満たすが、 $(- 1)^{2} = 1$ で $x^{2} \neq = 1$ を満たさない

ここで間違えやすい　元の命題が真でも、逆と裏は真とは限らない。逆と裏は、元の命題とは別に調べる。

問 2　整数 $n$ について、「 $n^{2}$ が奇数ならば $n$ は奇数」を証明せよ。

対偶「 $n$ が偶数ならば $n^{2}$ は偶数」を示す。

方針　仮定の「 $n^{2}$ が奇数」からは、 $n$ そのものを式で表しにくい。対偶にすると「 $n$ が偶数」から始められ、 $n = 2 k$ とおいて $n^{2}$ を計算するだけになる。

対偶を作る。「 $n$ は奇数」の否定は「 $n$ は偶数」、「 $n^{2}$ は奇数」の否定は「 $n^{2}$ は偶数」なので、対偶は「 $n$ が偶数ならば $n^{2}$ は偶数」
$n$ が偶数のとき、整数 $k$ を使って $n = 2 k$ とおける
2 乗する。 $n^{2} = (2 k)^{2} = 4 k^{2}$
$2 \times$ （整数）の形にする。 $4 k^{2} = 2 \times 2 k^{2}$ で、 $2 k^{2}$ は整数なので、 $n^{2}$ は偶数
対偶が真なので、元の命題も真

ここで間違えやすい　最後に「対偶が真なので、元の命題も真」と書いて終える。対偶を示しただけで止めると、元の命題の証明になっていない。

問 3　実数 $x, y$ について、「 $x + y > 2$ ならば $x > 1$ または $y > 1$ 」を証明せよ。

対偶「 $x ≦ 1$ かつ $y ≦ 1$ ならば $x + y ≦ 2$ 」を示す。

方針　結論が「または」なので、そのまま示そうとすると場合分けが要る。対偶にすると、結論の「または」の否定が「かつ」になり、仮定が 2 つそろうので、辺ごとに加えるだけで示せる。

結論を否定する。「 $x > 1$ または $y > 1$ 」の否定は、「または」が「かつ」に変わって、「 $x ≦ 1$ かつ $y ≦ 1$ 」
仮定を否定する。「 $x + y > 2$ 」の否定は「 $x + y ≦ 2$ 」。よって対偶は「 $x ≦ 1$ かつ $y ≦ 1$ ならば $x + y ≦ 2$ 」
対偶を示す。 $x ≦ 1$ と $y ≦ 1$ を辺ごとに加えると、 $x + y ≦ 1 + 1$
右辺を計算して、 $x + y ≦ 2$ 。対偶が成り立つ
対偶が真なので、元の命題も真

ここで間違えやすい　否定するときに「または」をそのままにしない。また、 $x > 1$ の否定は $x < 1$ ではなく $x ≦ 1$ （等号が入る）。

問 4　 $3$ が無理数であることを用いて、 $1 + 3$ が無理数であることを証明せよ。

背理法で示す。

方針　「無理数である」は「有理数でない」という否定の形なので、直接は示しにくい。そこで有理数だと仮定し、使ってよい事実「 $3$ は無理数」と食い違うことを導く。そのために、式を $3 = \dots$ の形に直す。

結論を否定して仮定する。 $1 + 3$ が有理数であると仮定し、 $1 + 3 = r$ （ $r$ は有理数）とおく
$1$ を移項して、 $3$ について解く。 $3 = r - 1$
右辺を調べる。 $r$ も $1$ も有理数で、有理数から有理数を引いた数は有理数なので、 $r - 1$ は有理数
すると左辺の $3$ も有理数ということになり、 $3$ が無理数であることに矛盾する
矛盾が出たので、最初の仮定が誤り。よって $1 + 3$ は無理数

ここで間違えやすい　「有理数と無理数を足すと無理数だから」とだけ書くと、示したいことをそのまま使っていて証明にならない。有理数が四則で閉じていることを使って、矛盾を出す。

問 5　 $2$ が無理数であることを、背理法で証明せよ。ただし「整数 $m$ について、 $m^{2}$ が偶数ならば $m$ は偶数」は用いてよい。

解答例

方針　有理数だと仮定して、分数 $\frac{m}{n}$ とおく。このとき、これ以上約分できない形（ $m, n$ は互いに素）にしておくのが鍵で、あとで $m$ も $n$ も偶数になることを導いて、これと矛盾させる。

結論を否定して仮定する。 $2$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 $m, n$ を用いて $2 = \frac{m}{n}$ と表せる
根号を消すために、両辺を 2 乗する。 $2 = \frac{m ^{2}}{n ^{2}}$
両辺に $n^{2}$ を掛けて分母を払う。 $m^{2} = 2 n^{2}$
右辺は $2 \times$ （整数）で偶数なので、 $m^{2}$ は偶数。用いてよい事実から、 $m$ も偶数
$m$ は偶数なので、 $m = 2 k$ （ $k$ は自然数）とおける。3 の式に代入すると、 $(2 k)^{2} = 2 n^{2}$ 、つまり $4 k^{2} = 2 n^{2}$
両辺を $2$ で割る。 $n^{2} = 2 k^{2}$ 。右辺は偶数なので $n^{2}$ は偶数で、4 と同じ理由から $n$ も偶数
$m, n$ がともに偶数なので、公約数 $2$ をもつ。これは $m, n$ が互いに素であることに矛盾する
矛盾が出たので、最初の仮定が誤り。よって $2$ は無理数である

ここで間違えやすい　1 で「互いに素」と断っておかないと、 $m, n$ がともに偶数になっても矛盾にならない（約分すればよいだけになる）。

問 6　 $a, b$ が有理数で、 $(a - 1) + (b + 2) 2 = 0$ が成り立つとき、 $a, b$ の値を求めよ。

$a = 1, b = - 2$

方針　有理数の部分と $2$ の付いた部分が混じった等式なので、「 $p, q$ が有理数で $p + q 2$ の値が $0$ ならば $p = q = 0$ 」を使い、2 つの部分を別々に $0$ とおく。この事実は $p, q$ が有理数のときだけ使えるので、先にそれを確かめる。

式を $p + q 2$ の形と見比べる。 $p$ にあたるのは $a - 1$ 、 $q$ にあたるのは $b + 2$
$a, b$ は有理数なので、有理数どうしの差 $a - 1$ と和 $b + 2$ も有理数。上の事実が使える
$p = 0$ から、 $a - 1 = 0$ 。よって $a = 1$
$q = 0$ から、 $b + 2 = 0$ 。よって $b = - 2$

確かめ: $a = 1, b = - 2$ を入れると、 $a - 1 = 0$ 、 $b + 2 = 0$ なので、左辺は $0 + 0 \times 2$ で $0$ になる。

ここで間違えやすい　「有理数」の条件がなければ、答えは 1 組に決まらない。たとえば $a = 1 + 2, b = - 3$ も、 $2 + (- 1) \times 2$ となって等式を満たす。