命題と条件｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (イ)「集合と命題に関する基本的な概念を理解すること」。

0. どういうまとまりか

正しいか正しくないかがはっきり決まる文や式を命題といいます。 $x$ の値によって正しかったり正しくなかったりする文は条件で、
条件を満たす $x$ 全体を集合と見ると、「 $p$ ならば $q$ 」が正しいかどうかを集合の包含関係で判定できます。

$p ⟹ q$ が真のとき	言い方	集合（ $P, Q$ は $p, q$ の真理集合）
$p$ から見て	$p$ は $q$ であるための十分条件	$P \subset Q$ （ $P$ が小さい側）
$q$ から見て	$q$ は $p$ であるための必要条件	$Q$ は $P$ を含む（大きい側）
両方向とも真	必要十分条件（ $p$ と $q$ は同値）	$P = Q$

分かれ目は次の 3 つ。

偽を示すには反例を 1 つ挙げればよい（真を示すには、すべての場合で成り立つことを言う）
小さい集合の側が十分条件、大きい集合の側が必要条件
否定をとると「かつ」と「または」、「すべて」と「ある」が入れかわる

1. 命題と反例

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

「 $p$ ならば $q$ 」の形の命題を $p ⟹ q$ と書き、 $p$ を仮定、 $q$ を結論といいます。

命題とは何か？

正しいか正しくないか（真か偽か）がはっきり決まる文や式

「 $3$ は素数である」は命題（真）。「 $100$ は大きい数である」は真偽が決まらないので命題ではない。

反例とは何か？命題 $p ⟹ q$ が偽であることを示すには何をすればよいか？

仮定 $p$ を満たすが結論 $q$ を満たさない例。反例を 1 つ挙げれば偽といえる

「 $x^{2} = 1 ⟹ x = 1$ 」は、 $x = - 1$ が反例なので偽。

2. 条件と真理集合

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

「 $x > 3$ 」のように、変数の値を決めて初めて真偽が決まる文や式を条件といいます。
条件 $p$ を満たすもの全体の集合 $P$ を、 $p$ の真理集合といいます。

条件 $p, q$ の真理集合を $P, Q$ とするとき、命題 $p ⟹ q$ が真であることは、集合でどう言いかえられるか？

$P \subset Q$

$p$ を満たすものが、すべて $q$ も満たす。「 $x > 3 ⟹ x > 1$ 」は、 ${x ∣ x > 3} \subset {x ∣ x > 1}$ なので真。

条件 $p$ の否定 $p$ の真理集合は？

$p$ の真理集合 $P$ の補集合 $P$

「 $x > 2$ 」の否定は「 $x ≦ 2$ 」。「 $x < 2$ 」ではない（ $x = 2$ を落とす）。

3. 必要条件と十分条件

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

「必要」「十分」は、矢印のどちら側にあるかで決まります。命題が真のときにだけ使う言葉です。

命題 $p ⟹ q$ が真のとき、 $p$ と $q$ はそれぞれ相手の何条件か？

$p$ は $q$ であるための十分条件、 $q$ は $p$ であるための必要条件

矢印の出る側が十分条件、矢印を受ける側が必要条件。

真理集合で見ると、十分条件と必要条件はそれぞれどちらの集合か？

小さいほう（含まれる側）が十分条件、大きいほう（含む側）が必要条件

$P \subset Q$ なら $p$ は十分、 $q$ は必要。小さい集合に入れば、大きい集合には十分に入っている。

必要十分条件とは何か？そのとき $p$ と $q$ の関係は何というか？

$p ⟹ q$ と $q ⟹ p$ がともに真のこと。 $p$ と $q$ は同値であるといい、 $p ⟺ q$ と書く

真理集合は $P = Q$ になる。

「 $x = 2$ 」は「 $x^{2} = 4$ 」であるための何条件か？

十分条件であるが必要条件ではない

$x = 2 ⟹ x^{2} = 4$ は真。 $x^{2} = 4 ⟹ x = 2$ は $x = - 2$ が反例で偽。

4. 「かつ」「または」「すべて」「ある」の否定

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

条件の否定は、真理集合の補集合をとることです。ド・モルガンの法則がそのまま言葉の規則になります。

「 $p$ かつ $q$ 」の否定と、「 $p$ または $q$ 」の否定は？

「 $p$ または $q$ 」と「 $p$ かつ $q$ 」

ド・モルガンの法則 $P \cap Q = P \cup Q$ 、 $P \cup Q = P \cap Q$ と同じ。

「すべての $x$ について $p$ 」の否定と、「ある $x$ について $p$ 」の否定は？

「ある $x$ について $p$ 」と「すべての $x$ について $p$ 」

「すべて」と「ある」が入れかわり、条件のほうも否定する。「すべての人が賛成」の否定は「賛成しない人がいる」。

練習問題

問 1　次の命題の真偽を答えよ。偽のときは反例を 1 つ挙げよ（ $x, y$ は実数）。　(1) $x^{2} = 1 ⟹ x = 1$ 　(2) $x > 3 ⟹ x > 1$ 　(3) $x y = 0 ⟹ x = 0$

(1) 偽（反例 $x = - 1$ ）　(2) 真　(3) 偽（反例 $x = 1, y = 0$ ）

方針　「ならば」の命題は、仮定を満たすものがすべて結論も満たすかを調べる。仮定を満たすのに結論を満たさない例（反例）が 1 つでも見つかれば偽。見つからないことは、真理集合の包含関係で言う。

(1) 仮定 $x^{2} = 1$ を満たす $x$ をすべて挙げると、 $x = 1$ と $x = - 1$
このうち $x = - 1$ は結論 $x = 1$ を満たさない。反例があるので偽
(2) 仮定と結論の真理集合を比べる。 $3$ より大きい数はどれも $1$ より大きいので、 ${x ∣ x > 3} \subset {x ∣ x > 1}$ 。仮定を満たすものはすべて結論を満たすので真
(3) $x y = 0$ から言えるのは「 $x = 0$ または $y = 0$ 」まで。 $y = 0$ であれば、 $x$ は $0$ でなくてもよい
たとえば $x = 1, y = 0$ は、 $1 \times 0 = 0$ で仮定を満たすが、結論 $x = 0$ を満たさない。反例があるので偽

ここで間違えやすい　反例は「仮定を満たす」ものから選ぶ。(1) で $x = 2$ は仮定 $x^{2} = 1$ を満たさないので、反例にならない。

問 2　次の □ に「必要」「十分」「必要十分」「必要でも十分でもない」のうち最も適するものを入れよ（ $x, y$ は実数）。
(1) $x = 3$ は $x^{2} = 9$ であるための □ 条件
(2) $x > 1$ は $x > 2$ であるための □ 条件
(3) $∣ x ∣ < 2$ は $- 2 < x < 2$ であるための □ 条件
(4) $x y > 0$ は $x > 0$ であるための □ 条件

(1) 十分　(2) 必要　(3) 必要十分　(4) 必要でも十分でもない

方針　「 $p$ は $q$ であるための □ 条件」は、 $p ⟹ q$ と $q ⟹ p$ の 2 つの真偽を別々に調べて決める。 $p ⟹ q$ が真なら $p$ は十分条件、 $q ⟹ p$ が真なら $p$ は必要条件。

(1) $x = 3 ⟹ x^{2} = 9$ は、 $3^{2} = 9$ なので真。逆の $x^{2} = 9 ⟹ x = 3$ は、 $x = - 3$ が反例で偽。前の向きだけ真なので、十分条件
(2) $x > 1 ⟹ x > 2$ は、 $x = 1.5$ が反例で偽。逆の $x > 2 ⟹ x > 1$ は真。後ろの向きだけ真なので、必要条件（真理集合で見ると、 $x > 1$ は大きいほうの集合）
(3) $∣ x ∣ < 2$ は「原点からの距離が $2$ より小さい」ことで、 $- 2 < x < 2$ と同じ範囲を表す。2 つの条件の真理集合が同じなので、どちらの向きも真で、必要十分条件
(4) $x y > 0 ⟹ x > 0$ を調べる。 $x = - 1, y = - 1$ は、 $(- 1) \times (- 1) = 1$ で $x y > 0$ を満たすが、 $x > 0$ でない。反例があるので偽
逆の $x > 0 ⟹ x y > 0$ を調べる。 $x = 1, y = - 1$ は、 $x > 0$ を満たすが、 $1 \times (- 1) = - 1$ で $x y > 0$ でない。反例があるので偽
(4) はどちらの向きも偽なので、必要でも十分でもない

ここで間違えやすい　「必要」と「十分」を逆に答えやすい。主語（「〜は」の側）から矢印が出る向きが真なら十分、主語に矢印が入る向きが真なら必要。

問 3　次の条件・命題の否定を書け。また、(2) は元の命題と否定のどちらが真か答えよ。　(1) 「 $x ≧ 0$ かつ $y ≧ 0$ 」　(2) 「すべての実数 $x$ について $x^{2} > 0$ 」

(1) 「 $x < 0$ または $y < 0$ 」　(2) 「ある実数 $x$ について $x^{2} ≦ 0$ 」。否定のほうが真

方針　否定は決まった手順で作れる。「かつ」と「または」を入れかえ、「すべて」と「ある」を入れかえ、中の条件もそれぞれ否定する。不等式の否定では、等号の有無が入れかわる。

(1) 中の条件をそれぞれ否定する。 $x ≧ 0$ の否定は $x < 0$ 、 $y ≧ 0$ の否定は $y < 0$
「かつ」を「または」に入れかえて、否定は「 $x < 0$ または $y < 0$ 」
(2) 「すべての」を「ある」に入れかえ、 $x^{2} > 0$ を否定して $x^{2} ≦ 0$ にする。否定は「ある実数 $x$ について $x^{2} ≦ 0$ 」
真偽を調べる。 $x = 0$ のとき $0^{2} = 0$ で、 $x^{2} > 0$ は成り立たない。成り立たない $x$ があるので、元の命題は偽
同じ $x = 0$ が $x^{2} ≦ 0$ を満たすので、否定のほうが真

ここで間違えやすい　 $x ≧ 0$ の否定を $x ≦ 0$ としない（ $x = 0$ が両方に入ってしまう）。また、命題とその否定は、必ず一方が真で他方が偽になる。

問 4　 $a, b$ を実数とする。「 $a + b > 0$ かつ $ab > 0$ 」は「 $a > 0$ かつ $b > 0$ 」であるための何条件か。

必要十分条件

方針　何条件かは、両方の向きの真偽で決まる。 $p$ :「 $a + b > 0$ かつ $ab > 0$ 」、 $q$ :「 $a > 0$ かつ $b > 0$ 」として、 $p ⟹ q$ と $q ⟹ p$ を別々に調べる。積の符号から $a, b$ の符号の組が絞れることを使う。

$p ⟹ q$ を調べる。 $ab > 0$ なので、 $a, b$ は同じ符号（ともに正か、ともに負）
ともに負だとすると $a + b < 0$ となり、 $a + b > 0$ に合わない。よって $a, b$ はともに正で、 $p ⟹ q$ は真
$q ⟹ p$ を調べる。 $a > 0$ かつ $b > 0$ なら、正の数どうしの和も積も正なので、 $a + b > 0$ かつ $ab > 0$ 。 $q ⟹ p$ も真
両方の向きが真なので、必要十分条件

ここで間違えやすい　片方だけでは足りない。 $ab > 0$ だけなら $a = - 1, b = - 1$ も満たし、 $a + b > 0$ だけなら $a = 3, b = - 1$ も満たす。2 つを「かつ」で合わせて初めて、ともに正と決まる。

問 5　条件 $p$ : $- 1 ≦ x ≦ 2$ 、 $q$ : $x < 3$ について、命題 $p ⟹ q$ と $q ⟹ p$ の真偽を真理集合で調べよ。

$p ⟹ q$ は真、 $q ⟹ p$ は偽

方針　条件を満たす $x$ の集合（真理集合）を数直線に描いて、どちらがどちらに含まれるかを見る。 $P \subset Q$ なら $p ⟹ q$ が真、 $Q \subset P$ なら $q ⟹ p$ が真。

真理集合を書く。 $P = {x ∣ - 1 ≦ x ≦ 2}$ 、 $Q = {x ∣ x < 3}$
$p ⟹ q$ を調べる。 $P$ の要素はどれも $2$ 以下で、 $2 < 3$ なので、どれも $x < 3$ を満たす。 $P \subset Q$ なので真
$q ⟹ p$ を調べる。 $Q$ には $- 1$ より小さい数も入っている。たとえば $x = - 5$ は $x < 3$ を満たすが、 $- 1 ≦ x ≦ 2$ を満たさない
反例があるので、 $Q$ は $P$ に含まれず、 $q ⟹ p$ は偽

よって $p$ は $q$ であるための十分条件で、必要条件ではない。