集合｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (イ)「集合と命題に関する基本的な概念を理解すること」。

0. どういうまとまりか

「10 以下の偶数」のように、範囲がはっきり決まったものの集まりを集合といいます。
集合の言葉と記号は、次の「命題と条件」で必要条件・十分条件を考えるときの道具になります。

記号	読み・意味	例（ $A = {1, 2, 3}$ 、 $B = {2, 3, 4}$ ）
$a \in A$	$a$ は $A$ の要素	$1 \in A$
$A \subset B$	$A$ は $B$ の部分集合	${2, 3} \subset A$
$A \cap B$	共通部分（両方に属する）	${2, 3}$
$A \cup B$	和集合（少なくとも一方に属する）	${1, 2, 3, 4}$
$A$	補集合（全体集合のうち $A$ に属さない）	全体が ${1, 2, 3, 4, 5}$ なら ${4, 5}$
$\emptyset$	空集合（要素が 1 つもない）

分かれ目は次の 3 つ。

$\in$ は要素と集合、 $\subset$ は集合と集合（ $1 \in A$ と ${1} \subset A$ ）
補集合は全体集合が決まって初めて決まる
ド・モルガンの法則では、補集合をとると $\cap$ と $\cup$ が入れかわる

1. 集合と要素

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

「背の高い人の集まり」は、どこからが高いかが決まらないので集合ではありません。
集合をつくっている 1 つ 1 つのものを要素といいます。集合の表し方は 2 通りあります。

集合とは何か？また、要素とは何か？

範囲がはっきりしたものの集まりが集合。集合をつくっている 1 つ 1 つのものが要素

「大きい数の集まり」は範囲が決まらないので集合ではない。

$a \in A$ 、 $b \in / A$ は、それぞれどういう意味か？

$a$ は集合 $A$ の要素である（ $a$ は $A$ に属する）。 $b$ は $A$ の要素でない

記号 $\in$ は、左に要素、右に集合を置く。

集合の表し方の 2 通りは？「12 の正の約数の集合」で書くと？

要素を並べる書き方と、要素の満たす条件を書く書き方

${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ と ${x ∣ x は 12 の正の約数}$ 。

2. 部分集合と相等

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

集合どうしの関係は「含まれるか」で表します。要素と集合の関係（ $\in$ ）と、集合と集合の関係（ $\subset$ ）を混ぜないようにします。

$A \subset B$ （ $A$ は $B$ の部分集合）とは、どういうことか？

$A$ のどの要素も $B$ の要素になっていること

$A$ と $B$ が同じ集合のときも $A \subset B$ といえる。

2 つの集合 $A, B$ が等しい（ $A = B$ ）とは、どういうことか？

$A \subset B$ かつ $B \subset A$ であること（要素がすっかり一致する）

${1, 2}$ と ${2, 1}$ は等しい。並べる順は関係ない。

空集合 $\emptyset$ とは何か？どんな集合の部分集合か？

要素を 1 つももたない集合。すべての集合の部分集合と考える

${x ∣ x は実数, x^{2} = - 1} = \emptyset$ 。

3. 共通部分・和集合・補集合

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(イ)

考える範囲全体を全体集合 $U$ と決めておくと、そこから $A$ を除いた残りを考えられます。これが補集合です。
図で考えるときは、長方形を $U$ 、その中の円を $A, B$ としたベン図を描きます。

共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ は、それぞれ何か？

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に属する要素の集合。 $A \cup B$ は $A$ と $B$ の少なくとも一方に属する要素の集合

$\cap$ は「かつ」、 $\cup$ は「または」にあたる。

補集合 $A$ とは何か？

全体集合 $U$ の要素のうち、 $A$ に属さないもの全体の集合

全体集合が変われば補集合も変わる。 $A \cap A = \emptyset$ 、 $A \cup A = U$ 、 $A = A$ 。

ド・モルガンの法則で、 $A \cup B$ と $A \cap B$ は？

$A \cup B = A \cap B$ 、 $A \cap B = A \cup B$

全体の補集合をばらすと、 $\cup$ と $\cap$ が入れかわる。

実数の範囲の集合 $A = {x ∣ x < 2}$ の補集合は？（全体集合は実数全体）

$A = {x ∣ x ≧ 2}$

端の $2$ は $A$ に入らないので、補集合の側に入る。 $x > 2$ とすると $2$ がどちらにも入らなくなる。

練習問題

問 1　全体集合を $U = {x ∣ x は 10 以下の自然数}$ 、 $A = {x ∣ x は 2 の倍数}$ 、 $B = {x ∣ x は 3 の倍数}$ とする（ $A, B$ は $U$ の部分集合）。次の集合を、要素を並べて表せ。　(1) $A \cap B$ 　(2) $A \cup B$ 　(3) $A \cap B$ 　(4) $A \cap B$

(1) ${6}$ 　(2) ${2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}$ 　(3) ${3, 9}$ 　(4) ${1, 5, 7}$

方針　条件で書かれた集合は、まず要素を並べた形に直す。そのあと「両方に入る」「少なくとも一方に入る」「入らない」を、 $U$ の要素で 1 つずつ確かめる。

全体集合と $A, B$ を、要素を並べて書く。 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ 、 $A = {2, 4, 6, 8, 10}$ 、 $B = {3, 6, 9}$
(1) $A$ と $B$ の両方に入る要素を探す。 $B$ の $3, 6, 9$ のうち $A$ にも入るのは $6$ だけなので、 $A \cap B = {6}$
(2) $A$ の要素に、 $B$ の要素のうちまだ入っていない $3, 9$ を加える。 $A \cup B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}$
(3) まず $U$ から $A$ の要素を除いて、 $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ 。このうち $B$ にも入るのは $3, 9$ なので、 $A \cap B = {3, 9}$
(4) $U$ から $B$ の要素を除いて、 $B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}$ 。 $A$ と $B$ の両方に入るのは $1, 5, 7$ なので、 $A \cap B = {1, 5, 7}$

確かめ: (4) はド・モルガンの法則で $A \cup B$ と同じ。 $U$ の要素のうち (2) の答えに入らないものを並べると $1, 5, 7$ で、一致する。

ここで間違えやすい　(2) で $6$ を 2 回書かない。両方に入る要素も、和集合では 1 回だけ書く。

問 2　実数全体を全体集合とし、 $A = {x ∣ - 1 < x ≦ 3}$ 、 $B = {x ∣ 1 ≦ x < 5}$ とする。次の集合を求めよ。　(1) $A \cap B$ 　(2) $A \cup B$ 　(3) $A$

(1) ${x ∣ 1 ≦ x ≦ 3}$ 　(2) ${x ∣ - 1 < x < 5}$ 　(3) ${x ∣ x ≦ - 1 または 3 < x}$

方針　不等式で表された集合は、数直線に $A, B$ を描いて重ねる。範囲はすぐ読めるので、端の点が入るか（ $≦$ ）入らないか（ $<$ ）を 1 つずつ確かめる。

端の点を整理する。 $A$ は $- 1$ を含まず $3$ を含む。 $B$ は $1$ を含み $5$ を含まない
(1) 両方に入る範囲は、 $1$ から $3$ まで。端の $1$ は $A$ にも $B$ にも入り、端の $3$ も $A$ にも $B$ にも入る。よって $A \cap B = {x ∣ 1 ≦ x ≦ 3}$
(2) $A$ と $B$ は $1$ から $3$ で重なっているので、合わせるとひと続きの範囲になる。左端の $- 1$ は $A$ にも $B$ にも入らず、右端の $5$ も $A$ にも $B$ にも入らない。よって $A \cup B = {x ∣ - 1 < x < 5}$
(3) $A$ の外側は、 $- 1$ より左と $3$ より右の 2 つに分かれる。 $- 1$ は $A$ に入らないので補集合に入り、 $3$ は $A$ に入るので補集合に入らない
よって $A = {x ∣ x ≦ - 1 または 3 < x}$

ここで間違えやすい　補集合では、端の等号の有無が入れかわる。 $A$ の「 $- 1 < x$ 」の側は「 $x ≦ - 1$ 」に、「 $x ≦ 3$ 」の側は「 $3 < x$ 」になる。

問 3　集合 ${1, 2, 3}$ の部分集合をすべて書け。

$\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}$ の 8 個

方針　部分集合は、 $1, 2, 3$ のそれぞれを「入れる・入れない」と選んでできる。落としを防ぐために、要素の個数が 0 個・1 個・2 個・3 個のものを順に書き出す。

要素が 0 個のもの。空集合 $\emptyset$
要素が 1 個のもの。 ${1}, {2}, {3}$
要素が 2 個のもの。 ${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$
要素が 3 個のもの。元の集合そのものの ${1, 2, 3}$
個数を数えると、 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 個

確かめ: 3 つの要素それぞれに「入れる・入れない」の 2 通りがあるので、 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 個。書き出した個数と一致する。

ここで間違えやすい　空集合と、元の集合そのものも部分集合に入る。この 2 つを落として 6 個としない。

問 4　次の集合を、要素を並べて表せ。　(1) ${x ∣ x は 20 以下の自然数で 4 の倍数}$ 　(2) ${x ∣ x^{2} = 4}$

(1) ${4, 8, 12, 16, 20}$ 　(2) ${- 2, 2}$

方針　かっこの中の条件を満たすものを、残らず探して並べる。(1) は 4 の倍数を小さい順に書き出し、(2) は方程式を解く。

(1) 4 の倍数を小さい順に作る。 $4 \times 1 = 4$ 、 $4 \times 2 = 8$ 、 $4 \times 3 = 12$ 、 $4 \times 4 = 16$ 、 $4 \times 5 = 20$
次の $4 \times 6 = 24$ は 20 を超えるので、ここまで。よって ${4, 8, 12, 16, 20}$
(2) $x^{2} = 4$ を満たす $x$ を探す。 $2^{2} = 4$ 、 $(- 2)^{2} = 4$ なので、 $x = 2$ と $x = - 2$
要素を並べて、 ${- 2, 2}$

ここで間違えやすい　(2) は $x = 2$ だけでなく $x = - 2$ も条件を満たす。全体集合の指定がないので、負の数も落とさない。