根号を含む計算｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (ア)「数を実数まで拡張する意義を理解し，簡単な無理数の四則計算をすること」。

0. どういうまとまりか

中学で学んだ根号の計算に、高校では 2 つが加わります。文字を含む $a^{2}$ の扱いと、分母が二項の式の有理化です。
計算の規則そのものは中学と同じで、それを文字の式や、答えを使った次の計算（対称式・整数部分）へ広げます。

計算	規則	例
$a^{2}$	$a$ の符号で外し方が変わる	$(- 3)^{2} = 3$
積・商	根号の中どうしをかける・割る	$26 = 12 = 23$
和・差	根号の中が同じものだけまとまる	$23 + 53 = 73$
有理化（一項）	分母と分子に同じ根号を掛ける	$\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$
有理化（二項）	符号を変えた式を掛ける	$\frac{1}{3 + 1} = \frac{3 - 1}{2}$

分かれ目は次の 3 つ。

$a^{2} = a$ とは限らない（ $a^{2} = ∣ a ∣$ ）
$a + b$ は $a + b$ ではない（和はまとまらない）
二項の分母は、和と差の積 $(a + b) (a - b) = a - b$ を使って有理化する

1. 根号の性質

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

$a ≧ 0$ のとき、 $a$ は 2 乗して $a$ になる 0 以上の数です。の値は決して負になりません。
そのため、中身が文字の 2 乗のときは、文字の符号に気をつけて外します。

$a^{2}$ を、 $a$ の符号に関係なく 1 つの式で表すと？

$a^{2} = ∣ a ∣$

$a ≧ 0$ なら $a$ 、 $a < 0$ なら $- a$ 。 $(- 5)^{2} = 25 = 5$ で、 $- 5$ にはならない。

$(x - 2)^{2}$ は、 $x < 2$ のときどう外れるか？

$2 - x$

$(x - 2)^{2} = ∣ x - 2∣$ で、 $x < 2$ なら $x - 2 < 0$ なので $- (x - 2) = 2 - x$ 。

$a > 0, b > 0$ のとき、 $a b$ と $\frac{a}{b}$ は？

$a b = ab$ 、 $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

積と商は根号の中どうしで計算できる。

$k > 0, a > 0$ のとき、 $k^{2} a$ はどう簡単にするか？

$k^{2} a = k a$ （根号の中の平方数を外に出す）

$48 = 4^{2} \times 3 = 43$ 。根号の中はできるだけ小さい自然数にする。

2. 根号を含む式の加減乗除

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

根号を含む式の和と差は、 $3$ を 1 つの文字のように見て、同類項をまとめるように計算します。
積は、乗法公式がそのまま使えます。

$a + b$ を $a + b$ としてよいか？

いけない。和がまとまるのは根号の中が同じときだけ

$9 + 16 = 3 + 4 = 7$ だが、 $9 + 16 = 25 = 5$ 。

$(a + b) (a - b)$ を計算すると？

$a - b$ （根号が消える）

和と差の積の公式 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ を使う。二項の分母の有理化はこの形を作る。

$(a + b)^{2}$ を展開すると？

$a + b + 2 ab$

$2 ab$ を落として $a + b$ としない。 $(3 + 2)^{2} = 5 + 26$ 。

3. 分母の有理化

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

分母に根号を含まない形に変えることを、分母の有理化といいます。
分母が有理数になると、値の見積もりや、ほかの数との足し引きがしやすくなります。

分母の有理化とは、何をすることか？

分母に根号を含まない形に変形すること

分母と分子に同じ数を掛けるので、式の値は変わらない。

分母が一項のとき、 $\frac{1}{a}$ はどう有理化するか？

分母と分子に $a$ を掛けて、 $\frac{a}{a}$

$\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$ 。

分母が二項のとき、 $\frac{1}{a + b}$ はどう有理化するか？

分母と分子に $a - b$ を掛けて、 $\frac{a - b}{a - b}$

分母が $a - b$ なら、 $a + b$ を掛ける。分母の符号を 1 か所変えた式を掛ける。

4. 値を使った計算

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

有理化した値をそのまま代入すると計算が重くなる式があります。 $x + y$ と $x y$ を先に求めて組み立てると、根号の計算を減らせます。
なお、 $5 + 26 = 3 + 2$ のように根号の中に根号がある二重根号は、上の $(a + b)^{2}$ を逆に見たもので、ここでは扱いません。

$x + y$ と $x y$ の値が分かっているとき、 $x^{2} + y^{2}$ はどう求めるか？

$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$

$x, y$ に根号を含む値を直接代入するより、根号の計算が少なくて済む。

正の数 $a$ の小数部分は、どう表すか？

$a -$ （ $a$ の整数部分）

$2 < 7 < 3$ なので、 $7$ の整数部分は $2$ 、小数部分は $7 - 2$ 。

練習問題

問 1　 $12 + 27 - 48$ を計算せよ。

$3$

方針　根号の中が違うままでは足し引きできない。根号の中の平方数を外に出して、根号の中を同じ $3$ にそろえてからまとめる。

それぞれの根号の中を、平方数と残りの数の積に分ける。 $12 = 2^{2} \times 3$ 、 $27 = 3^{2} \times 3$ 、 $48 = 4^{2} \times 3$
平方数を根号の外に出す。 $12 = 23$ 、 $27 = 33$ 、 $48 = 43$
$3$ を 1 つの文字のように見て、係数をまとめる。 $23 + 33 - 43 = (2 + 3 - 4) 3$
$2 + 3 - 4 = 1$ なので、答えは $3$

ここで間違えやすい　根号の中をそのまま足し引きして $12 + 27 - 48$ としない。和と差がまとまるのは、根号の中が同じときだけ。

問 2　 $(23 - 2)^{2}$ を計算せよ。

$14 - 46$

方針　 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ の形なので、 $a = 23$ 、 $b = 2$ として乗法公式で展開する。根号どうしの積は、根号の中どうしを掛ける。

公式に当てはめる。 $(23 - 2)^{2} = (23)^{2} - 2 \times 23 \times 2 + (2)^{2}$
2 乗の項を計算する。 $(23)^{2} = 2^{2} \times 3 = 12$ 、 $(2)^{2} = 2$
真ん中の項を計算する。 $2 \times 23 \times 2 = 4 3 \times 2 = 46$
3 つを合わせる。 $12 - 46 + 2 = 14 - 46$

ここで間違えやすい　 $(23)^{2}$ は係数の $2$ も 2 乗するので $12$ （ $2 \times 3 = 6$ ではない）。また、真ん中の $- 46$ を落として $12 + 2 = 14$ だけにしない。

問 3　次の式の分母を有理化せよ。　(1) $\frac{4}{5 - 1}$ 　(2) $\frac{3}{5 + 2}$

(1) $5 + 1$ 　(2) $5 - 2$

方針　分母が二項なので、分母の符号を 1 か所変えた式を分母と分子に掛ける。和と差の積 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ になって、分母の根号が消える。

(1) 分母が $5 - 1$ なので、 $5 + 1$ を分母と分子に掛ける。 $\frac{4}{5 - 1} = \frac{4 ( 5 + 1 )}{( 5 - 1 ) ( 5 + 1 )}$
分母を計算する。 $(5 - 1) (5 + 1) = (5)^{2} - 1^{2}$ で、 $5 - 1 = 4$
分母と分子の $4$ を約分する。 $\frac{4 ( 5 + 1 )}{4} = 5 + 1$
(2) 分母が $5 + 2$ なので、 $5 - 2$ を分母と分子に掛ける。 $\frac{3}{5 + 2} = \frac{3 ( 5 - 2 )}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )}$
分母を計算する。 $(5 + 2) (5 - 2) = (5)^{2} - (2)^{2}$ で、 $5 - 2 = 3$
分母と分子の $3$ を約分する。 $\frac{3 ( 5 - 2 )}{3} = 5 - 2$

ここで間違えやすい　分母と同じ式（(1) なら $5 - 1$ ）を掛けても、分母は $(5 - 1)^{2} = 6 - 25$ となって根号が残る。掛けるのは符号を変えた式。

問 4　 $x = \frac{1}{3 - 2}$ 、 $y = \frac{1}{3 + 2}$ のとき、 $x^{2} + y^{2}$ の値を求めよ。

$10$

方針　まず $x, y$ の分母を有理化して簡単な形にする。そのあと $x, y$ を直接 2 乗するのではなく、 $x + y$ と $x y$ を求めて $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ に入れると、根号の計算が少なくて済む。

$x$ を有理化する。分母と分子に $3 + 2$ を掛けると、分母は $3 - 2 = 1$ になるので、 $x = 3 + 2$
$y$ を有理化する。分母と分子に $3 - 2$ を掛けると、分母は $3 - 2 = 1$ になるので、 $y = 3 - 2$
和を求める。 $2$ が打ち消し合って、 $x + y = (3 + 2) + (3 - 2) = 23$
積を求める。和と差の積なので、 $x y = (3 + 2) (3 - 2)$ は $3 - 2 = 1$
$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ に代入する。 $x^{2} + y^{2} = (23)^{2} - 2 \times 1$
$(23)^{2} = 12$ なので、 $12 - 2 = 10$

確かめ: 直接 2 乗すると $x^{2} = 5 + 26$ 、 $y^{2} = 5 - 26$ で、足すと $26$ が消えて $10$ 。同じ値になる。

問 5　 $(2 - 3)^{2}$ を、根号を 1 つだけ含む式で表せ。

$3 - 2$

方針　 $a^{2} = ∣ a ∣$ なので、まず絶対値の形に直す。そのあと中身 $2 - 3$ の符号を調べて、絶対値を外す。

$a = 2 - 3$ と見て、絶対値に直す。 $(2 - 3)^{2} = ∣ 2 - 3 ∣$
中身の符号を調べる。 $2 ≒ 1.41$ で $3$ より小さいので、 $2 - 3 < 0$
負の数の絶対値は符号を変えたものなので、 $∣ 2 - 3 ∣ = - (2 - 3)$
かっこを外して、 $3 - 2$

ここで間違えやすい　2 乗と根号をそのまま打ち消して $2 - 3$ としない。これは負の数で、根号の値は負にならない。

問 6　 $\frac{2}{3 - 1}$ の整数部分と小数部分を求めよ。

整数部分 $2$ 、小数部分 $3 - 1$

方針　分母に根号があるままでは値の大きさが見えないので、まず有理化する。次に $3$ を整数ではさんで整数部分を決める。小数部分は「もとの数 $-$ 整数部分」で表す。

分母と分子に $3 + 1$ を掛ける。 $\frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )}$
分母は $3 - 1 = 2$ になるので、約分して $\frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1$
$3$ を整数ではさむ。 $1^{2} = 1$ 、 $2^{2} = 4$ で、 $3$ は $1$ と $4$ の間にあるので、 $1 < 3 < 2$
各辺に $1$ を加えると $2 < 3 + 1 < 3$ 。よって整数部分は $2$
小数部分は、もとの数から整数部分を引く。 $(3 + 1) - 2 = 3 - 1$

ここで間違えやすい　小数部分を $0.732 \dots$ のような近似値で答えない。根号を使えば正確に書ける。