実数と数の体系｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (1) 数と式ア (ア)「数を実数まで拡張する意義を理解し，簡単な無理数の四則計算をすること」。

0. どういうまとまりか

中学では、数を自然数・整数・有理数・無理数と段階的に広げてきました。高校ではこれを実数という 1 つの体系にまとめ、
それぞれの数の範囲で「どの計算がその範囲の中で閉じているか」を確かめます。

数の範囲	どんな数か	例	四則のうち、いつでもできるもの
自然数	$1, 2, 3, \dots$	$7$	加法・乗法
整数	自然数と $0$ と負の整数	$- 3$ 、 $0$	加法・減法・乗法
有理数	$\frac{m}{n}$ （ $m, n$ は整数、 $n \neq = 0$ ）の形	$\frac{2}{7}$ 、 $0.4$	四則（0 で割るのを除く）
無理数	有理数でない実数	$5$ 、 $π$	（閉じていない）
実数	有理数と無理数をあわせたもの	上のすべて	四則（0 で割るのを除く）

分かれ目は次の 3 つ。

有理数を小数で表すと、有限小数か循環小数になる（循環しない無限小数は無理数）
既約分数が有限小数になるのは、分母の素因数が 2 と 5 だけのとき
絶対値は数直線上の原点からの距離（ $∣ a ∣$ は $a$ が負なら $- a$ ）

1. 数の範囲の広がり

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

自然数どうしの引き算は自然数になるとは限りません（ $2 - 5 = - 3$ ）。そこで整数に広げ、割り算のために有理数に広げ、
2 乗して 2 になる数のために無理数を加えて、実数になります。
ある範囲の数どうしの計算の結果が、いつでもその範囲に入るとき、その範囲は「その計算について閉じている」といいます。

自然数・整数・有理数・実数の包含関係を、記号 $\subset$ で表すと？

自然数 $\subset$ 整数 $\subset$ 有理数 $\subset$ 実数

実数は、有理数と無理数に分かれる。無理数は整数や自然数を含まない。

実数とは、どんな数か？

有理数と無理数をあわせた数

数直線上の点で表せる数すべて。

無理数とは、どんな数か？小数で表すとどうなるか。

実数のうち、有理数でない数。小数で表すと循環しない無限小数になる

例: $2 = 1.41421356 \dots$ 、 $π = 3.14159 \dots$ 。

自然数・整数は、四則のうちどの計算について閉じているか？

自然数は加法・乗法、整数は加法・減法・乗法

自然数は減法で閉じていない（ $2 - 5$ は自然数でない）。整数は除法で閉じていない（ $1 \div 2$ は整数でない）。

有理数・実数は、四則について閉じているか？

閉じている（ただし 0 で割ることは除く）

有理数どうしの和・差・積・商は、どれも分数の形に表せる。

無理数は、四則について閉じているか？

閉じていない

例: $2 + (- 2) = 0$ 、 $2 \times 2 = 2$ は、無理数どうしの計算なのに有理数になる。

2. 有理数と小数

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

分数を小数に直すと、割り切れて有限小数になるか、割り切れずに同じ数字の並びがくり返す循環小数になります。
くり返す部分の最初と最後の数字の上に点を打って、 $0. 3 ˙$ 、 $0. 1 ˙ 2 ˙$ のように書きます。

有理数を小数で表すと、どんな小数になるか？

有限小数か、循環小数

割り算の余りは $0$ から（分母 $- 1$ ）までの有限通りしかないので、割り切れなければいつか同じ余りが出て、そこから先がくり返す。

既約分数 $\frac{m}{n}$ が有限小数になるのは、分母 $n$ がどんなときか？

$n$ の素因数が 2 と 5 だけのとき

$10 = 2 \times 5$ なので、分母を $1 0^{k}$ の形にそろえられる。 $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0.375$ 。分母に 3 や 7 などを含むと循環小数になる。

循環小数 $x = 0. 1 ˙ 2 ˙$ を分数に直す手順は？

くり返しの桁数だけ 10 倍を重ね、元の式を引いて循環部分を消す

$100 x = 12.1212 \dots$ から $x = 0.1212 \dots$ を引いて $99 x = 12$ 、 $x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$ 。

3. 実数と数直線、絶対値

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(1)-ア-(ア)

数直線上の点には、1 つずつ実数が対応し、どの実数にも数直線上の点が 1 つずつ対応します。
この対応があるので、実数の大小は数直線の左右、差の大きさは 2 点の間の距離として読めます。

実数と数直線上の点は、どう対応しているか？

1 つの実数に 1 つの点、1 つの点に 1 つの実数が対応する（1 対 1 に対応する）

有理数だけでは数直線はうまらない。 $2$ の点のような「すき間」を無理数がうめる。

実数 $a$ の絶対値 $∣ a ∣$ とは何か？場合分けで書くと？

数直線上で原点と $a$ の点との距離。 $a ≧ 0$ なら $∣ a ∣ = a$ 、 $a < 0$ なら $∣ a ∣ = - a$

$∣ - 4∣ = 4$ 。 $a$ が負のとき $- a$ は正の数になる。

数直線上の 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ の間の距離は？

$∣ a - b ∣$ （ $∣ b - a ∣$ でも同じ）

大きいほうから小さいほうを引いた値。どちらが大きいか分からなくても絶対値で書ける。

練習問題

問 1　次の分数のうち、有限小数で表せるものをすべて選べ。　 $\frac{3}{8}, \frac{7}{12}, \frac{9}{40}, \frac{5}{14}$

$\frac{3}{8}, \frac{9}{40}$

方針　割り算を最後までしなくても、分母を見れば判定できる。既約分数が有限小数になるのは、分母の素因数が 2 と 5 だけのとき。まず既約であることを確かめ、分母を素因数分解する。

4 つとも、分子と分母に 1 以外の公約数がないので既約分数である
分母を素因数分解する。 $8 = 2^{3}$ 、 $12 = 2^{2} \times 3$ 、 $40 = 2^{3} \times 5$ 、 $14 = 2 \times 7$
素因数が 2 と 5 だけなのは $8$ と $40$ 。 $12$ は 3 を、 $14$ は 7 を含む
よって、有限小数で表せるのは $\frac{3}{8}$ と $\frac{9}{40}$

確かめ: 実際に $\frac{3}{8} = 0.375$ 、 $\frac{9}{40} = 0.225$ は割り切れ、 $\frac{7}{12}$ は $0.58 3 ˙$ 、 $\frac{5}{14}$ は $0.3 5 ˙ 7142 8 ˙$ と循環する。

ここで間違えやすい　判定は約分してからする。たとえば $\frac{3}{12}$ は分母に 3 を含むが、約分すると $\frac{1}{4}$ で、有限小数 $0.25$ になる。

問 2　次の循環小数を分数で表せ。　(1) $0. 2 ˙ 7 ˙$ 　(2) $1.2 3 ˙$

(1) $\frac{3}{11}$ 　(2) $\frac{37}{30}$

方針　循環小数を $x$ とおき、 $10$ 倍や $100$ 倍して、小数点より下が同じ並びになる式を 2 つ作る。その 2 つを引くと循環部分が消えて、 $x$ の一次方程式になる。

(1) $x = 0.2727 \dots$ とおく。くり返しは 2 桁なので $100$ 倍すると、 $100 x = 27.2727 \dots$
$100 x$ から $x$ を引くと、小数点より下が消える。 $100 x - x = 27$ 、つまり $99 x = 27$
両辺を $99$ で割り、 $9$ で約分する。 $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$
(2) $x = 1.2333 \dots$ とおく。循環が小数第 2 位から始まるので、先に $10$ 倍して循環の始まりを小数点の直後にそろえる。 $10 x = 12.333 \dots$
くり返しは 1 桁なので、さらに $10$ 倍する。 $100 x = 123.333 \dots$
$100 x$ から $10 x$ を引くと、小数点より下が消える。 $100 x - 10 x = 123 - 12$ 、つまり $90 x = 111$
両辺を $90$ で割り、 $3$ で約分する。 $x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$

確かめ: $3 \div 11 = 0.2727 \dots$ 、 $37 \div 30 = 1.2333 \dots$ で、元の循環小数に戻る。

ここで間違えやすい　最後の約分を忘れない。 $\frac{27}{99}$ や $\frac{111}{90}$ のままでは、まだ約分できる。

問 3　次の数を、自然数・整数・有理数・無理数に分類せよ（あてはまるものすべてに入れる）。　 $- 3, 0.4, 9, π, \frac{2}{7}, 5$

自然数: $9$ 　整数: $- 3, 9$ 　有理数: $- 3, 0.4, 9, \frac{2}{7}$ 　無理数: $π, 5$

方針　見た目で決めず、まず根号や小数を簡単な形に直す。そのあと、狭い範囲（自然数）から順に、整数・有理数に入るかを見る。自然数は整数でも有理数でもあるので、広い範囲にも重ねて入れる。

形を直す。 $9 = 3$ 、 $0.4 = \frac{2}{5}$ 。 $- 3$ 、 $π$ 、 $\frac{2}{7}$ 、 $5$ はこのまま
自然数（ $1, 2, 3, \dots$ ）は、 $3$ になる $9$ だけ
整数は、自然数に $0$ と負の整数を加えたもの。 $- 3$ と $9$
有理数は、整数の分数で表せる数。整数の $- 3$ と $9$ に加えて、 $0.4$ と $\frac{2}{7}$
無理数は、有理数でない実数。 $π$ と、根号が外れない $5$

ここで間違えやすい　根号が付いているだけで無理数としない（ $9$ は自然数）。また、 $- 3$ を整数だけに入れて有理数から落とさない。

問 4　次の値を求めよ。　(1) $∣ - 5∣ + ∣3 - 7∣$ 　(2) $∣ 2 - 2∣$

(1) $9$ 　(2) $2 - 2$

方針　絶対値は、中身が $0$ 以上ならそのまま、負なら符号を変えて外す。だから先に中身を計算して（または大小を比べて）、符号を決める。

(1) $- 5$ は負なので、符号を変えて $∣ - 5 ∣ = 5$
$∣ 3 - 7 ∣$ は、先に中身を計算する。 $3 - 7 = - 4$ で負なので、 $∣ - 4 ∣ = 4$
2 つを足す。 $5 + 4 = 9$
(2) 中身 $2 - 2$ の符号を調べる。 $2 ≒ 1.41$ で $2$ より小さいので、 $2 - 2 < 0$
負なので符号を変えて外す。 $∣ 2 - 2 ∣ = - (2 - 2)$ で、かっこを外すと $2 - 2$

ここで間違えやすい　(1) で絶対値を別々に付けて $∣ 3 ∣ - ∣ 7 ∣$ としない（これは $- 4$ になる）。絶対値の中の計算を先にする。

問 5　数直線上の 2 点 $A (- 3)$ 、 $B (5)$ の間の距離を求めよ。

$8$

方針　数直線上の 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ の間の距離は、座標の差の絶対値 $∣ b - a ∣$ 。座標に負の数があっても、この式にそのまま入れればよい。

$a = - 3$ 、 $b = 5$ を入れる。距離は $∣ 5 - (- 3)∣$
中身を計算する。負の数を引くのは足すのと同じなので、 $5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$
$8$ は正なので、絶対値はそのまま $8$

確かめ: 逆の順に引いても $- 3 - 5 = - 8$ で、絶対値は同じ $8$ 。数直線で見ても、 $- 3$ から $0$ までが $3$ 、 $0$ から $5$ までが $5$ で、合わせて $8$ 。

ここで間違えやすい　符号を落として $5 - 3 = 2$ としない。原点をはさむ 2 点の距離は、それぞれの原点からの距離の和になる。