X 線

散乱の角を $\varphi$、電子の質量を $m$ とすると、${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \varphi )$

入射した X 線の波長を $\lambda$、散乱された X 線の波長を ${\lambda }^{\prime }$ とする。$\varphi$ は、入射の向きと散乱の向きのなす角である。はじめ静止していた電子が、衝突のあと速さ $v$ で、入射の向きと角 $\alpha$ をなす向きへ飛ぶとして、次の 3 つの式を立てる。

• エネルギー保存の法則: $\frac{hc}{\lambda }=\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}+\frac{1}{2}m{v}^2$
• 運動量保存の法則（入射の向きの成分）: $\frac{h}{\lambda }=\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\cos \varphi +mv\cos \alpha$
• 運動量保存の法則（入射の向きに垂直な成分）: $0=\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\sin \varphi -mv\sin \alpha$

この 3 つから $v$ と $\alpha$ を消し、波長の伸びが波長そのものに比べて小さいとして整理すると、上の式になる。
$\varphi =0^{\circ }$（まっすぐ進む）なら伸びは 0、$\varphi =180^{\circ }$（はね返る）なら伸びは最大で $\frac{2h}{mc}$ になる。伸びは入射した X 線の波長によらず、角だけで決まる。

(1) $4.1\times 10^{-11}\mathrm{m}$　(2) $\frac{1}{2}$ 倍

方針　電子 1 個の運動エネルギー $eV$ がすべて光子 1 個のエネルギーになるとき、波長が最短になる。$eV=\frac{hc}{{\lambda }_0}$ を立てて ${\lambda }_0$ について解く。

1. (1) 電子の運動エネルギーは $eV$。値を入れると、$1.6\times 10^{-19}\times 3.0\times 10^4=4.8\times 10^{-15}\mathrm{J}$
2. $hc$ は $6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8=1.98\times 10^{-25}$
3. $eV=\frac{hc}{{\lambda }_0}$ から ${\lambda }_0=\frac{hc}{eV}$
4. 値を入れると、$\frac{1.98\times 10^{-25}}{4.8\times 10^{-15}}=4.125\times 10^{-11}\fallingdotseq 4.1\times 10^{-11}\mathrm{m}$
5. (2) ${\lambda }_0=\frac{hc}{eV}$ は $V$ に反比例する。$V$ を 2 倍にすると、${\lambda }_0$ は $\frac{1}{2}$ 倍になる

(1) $0.25$　(2) $n=2$

方針　ブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$ を使う。$\theta$ を $0^{\circ }$ から大きくしていくと、$\sin \theta$ も大きくなるので、最初に条件を満たすのは $n=1$ のときである。

1. (1) $n=1$ として、$2d\sin \theta =\lambda$ から $\sin \theta =\frac{\lambda }{2d}$
2. 値を入れると、$\frac{1.5\times 10^{-10}}{2\times 3.0\times 10^{-10}}=0.25$
3. (2) $2d\sin \theta =n\lambda$ から $n=\frac{2d\sin \theta }{\lambda }$
4. 値を入れると、$\frac{2\times 3.0\times 10^{-10}\times 0.50}{1.5\times 10^{-10}}=2$

ここで間違えやすい　回折格子の式 $d\sin \theta =m\lambda$ と混ぜて、左辺の 2 を落としてしまうこと。ブラッグの条件の経路の差は、行きと帰りの 2 回ぶんである。角の測り方も、回折格子とは違う。

(1) $2.0\times 10^{-23}\mathrm{kg}\cdot m/s$　(2) $6.0\times 10^{-15}\mathrm{J}$

方針　光子の運動量は $p=\frac{h}{\lambda }$。エネルギーは $E=\frac{hc}{\lambda }$ で、これは運動量に光の速さを掛けたものと同じである。

1. (1) $p=\frac{h}{\lambda }$ に値を入れると、$\frac{6.6\times 10^{-34}}{3.3\times 10^{-11}}=2.0\times 10^{-23}\mathrm{kg}\cdot m/s$
2. (2) $E=\frac{hc}{\lambda }=pc$ なので、(1) の値に光の速さを掛ける
3. 値を入れると、$2.0\times 10^{-23}\times 3.0\times 10^8=6.0\times 10^{-15}\mathrm{J}$

(1) $9.9\times 10^{-15}\mathrm{J}$　(2) $9.0\times 10^{-15}\mathrm{J}$　(3) $9.0\times 10^{-16}\mathrm{J}$

方針　コンプトン効果は、光子と電子の衝突である。光子のエネルギーは $\frac{hc}{\lambda }$ で、衝突の前後でエネルギーが保存するので、光子が失ったぶんが電子の運動エネルギーになる。

1. $hc$ は $6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8=1.98\times 10^{-25}$
2. (1) 入射した光子は、$\frac{1.98\times 10^{-25}}{2.0\times 10^{-11}}=9.9\times 10^{-15}\mathrm{J}$
3. (2) 散乱された光子は、$\frac{1.98\times 10^{-25}}{2.2\times 10^{-11}}=9.0\times 10^{-15}\mathrm{J}$
4. (3) エネルギー保存の法則から、電子が得た運動エネルギーは光子が失ったエネルギーに等しい
5. 差を取ると、$9.9\times 10^{-15}-9.0\times 10^{-15}=0.9\times 10^{-15}\mathrm{J}$。つまり $9.0\times 10^{-16}\mathrm{J}$

ここで間違えやすい　波長が長くなったので、エネルギーも増えたと考えてしまうこと。光子のエネルギーは波長に反比例するので、波長が伸びた散乱 X 線のほうがエネルギーは小さい。