粒子の波動性

$3.6\times 10^{-10}\mathrm{m}$

方針　質量と速さが分かっているので、運動量 $mv$ を求めて $\lambda =\frac{h}{mv}$ に入れる。

1. 運動量は $mv$。値を入れると、$9.1\times 10^{-31}\times 2.0\times 10^6=1.82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
2. $\lambda =\frac{h}{mv}$ に値を入れると、$\frac{6.6\times 10^{-34}}{1.82\times 10^{-24}}\fallingdotseq 3.6\times 10^{-10}\mathrm{m}$

(1) $1.1\times 10^{-34}\mathrm{m}$　(2) 波長が原子の大きさと比べても桁違いに短く、回折や干渉を起こさせるすき間や障害物が存在しないから

方針　電子と同じ式 $\lambda =\frac{h}{mv}$ がそのまま使える。(2) は、回折が目立つのは波長とすき間の大きさが同じくらいのとき、という波の性質と比べる。

1. (1) 運動量は $mv$。値を入れると、$0.15\times 40=6.0\mathrm{kg}\cdot m/s$
2. $\lambda =\frac{h}{mv}$ に値を入れると、$\frac{6.6\times 10^{-34}}{6.0}=1.1\times 10^{-34}\mathrm{m}$
3. (2) この波長は、原子の大きさ $10^{-10}\mathrm{m}$ の、さらに $10^{24}$ 分の 1 ほどしかない
4. 回折や干渉がはっきり現れるのは、すき間や障害物の大きさが波長と同じくらいのときである。そのような小さなものは無いので、波の性質は観察できない

(1) $1.0\times 10^{-10}\mathrm{m}$　(2) $5.0\times 10^{-11}\mathrm{m}$

方針　加速された電子の運動エネルギーは $eV$。運動量は $p=\sqrt{2meV}$ でつくれるので、$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}$ に入れる。(2) は計算し直さず、波長が $\sqrt{V}$ に反比例することを使う。

1. (1) 根号の中は $2meV$。値を入れると、$2\times 9.1\times 10^{-31}\times 1.6\times 10^{-19}\times 150=4.368\times 10^{-47}$
2. 平方根を取りやすいように、10 の指数を偶数にそろえる。$4.368\times 10^{-47}=43.68\times 10^{-48}$
3. $6.6^2=43.56$ なので $\sqrt{43.68}\fallingdotseq 6.6$。したがって運動量は $p\fallingdotseq 6.6\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
4. $\lambda =\frac{h}{p}$ に値を入れると、$\frac{6.6\times 10^{-34}}{6.6\times 10^{-24}}=1.0\times 10^{-10}\mathrm{m}$
5. (2) 電圧は $\frac{600}{150}=4$ 倍。波長は $\sqrt{V}$ に反比例するので、$\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ 倍になる
6. $1.0\times 10^{-10}\times \frac{1}{2}=5.0\times 10^{-11}\mathrm{m}$

ここで間違えやすい　(2) で、波長が電圧に反比例すると考えて $\frac{1}{4}$ 倍にしてしまうこと。電圧に比例するのは運動エネルギーで、運動量はその平方根に比例する。

$\frac{\sqrt{2}}{4}$ 倍（約 $0.35$ 倍）

方針　波長は運動量に反比例するので、2 つの粒子の運動量を比べる。運動量は、質量と運動エネルギーから $p=\sqrt{2mK}$ でつくる。電荷が違うので、同じ電圧でも得る運動エネルギーが違うことに注意する。

1. 電荷 $q$ の粒子が電圧 $V$ で加速されて得る運動エネルギーは $qV$。陽子は $eV$、α 粒子は $2eV$
2. 陽子の運動量は $\sqrt{2\cdot M\cdot eV}=\sqrt{2MeV}$
3. α 粒子の運動量は $\sqrt{2\cdot 4M\cdot 2eV}=\sqrt{16MeV}=4\sqrt{MeV}$
4. 波長の比は運動量の比の逆なので、$\frac{\text{α 粒子の波長}}{\text{陽子の波長}}=\frac{\sqrt{2MeV}}{4\sqrt{MeV}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
5. 値にすると、$\frac{1.41}{4}=0.3525\fallingdotseq 0.35$ 倍

ここで間違えやすい　質量だけを比べて $\frac{1}{2}$ 倍としてしまうこと。α 粒子は電荷も 2 倍なので、得る運動エネルギーも 2 倍になる。

(1) $1.0\times 10^{-10}\mathrm{m}$　(2) $7.3\times 10^{6}m/s$

方針　電子線回折にも、X 線と同じブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$ が使える。最初の強い反射なので $n=1$。波長が分かれば、$\lambda =\frac{h}{mv}$ を $v$ について解いて速さが出る。

1. (1) $n=1$ として $\lambda =2d\sin \theta$
2. 値を入れると、$2\times 1.0\times 10^{-10}\times 0.50=1.0\times 10^{-10}\mathrm{m}$
3. (2) $\lambda =\frac{h}{mv}$ を $v$ について解くと $v=\frac{h}{m\lambda }$
4. 分母は $9.1\times 10^{-31}\times 1.0\times 10^{-10}=9.1\times 10^{-41}$
5. 値を入れると、$\frac{6.6\times 10^{-34}}{9.1\times 10^{-41}}\fallingdotseq 7.3\times 10^{6}m/s$