原子の構造とスペクトル｜高校物理

学習指導要領物理 (4) ア (ｲ) ㋐「原子の構造及びスペクトルと電子のエネルギー準位との関係について理解すること。」。
内容の取扱いは「水素原子の構造を中心にスペクトルと関連させて扱うこと。」としています。

0. どういうまとまりか

原子が「中心の小さな原子核と、そのまわりの電子」でできていることは、α 粒子を金属の箔に当てる実験から分かりました。
ところが、この模型をそれまでの物理学（力学と電磁気学）でそのまま考えると、原子はすぐにつぶれてしまうことになり、原子が出す光のスペクトルも説明できません。
一方で、水素原子が出す光のスペクトルには、整数だけで書けるきれいな規則性が見つかっていました。
このノートでは「原子核の発見」「模型の困難」「スペクトルの規則性」の 3 つを押さえます。困難を解いて規則性を説明するのは、次のノート（ボーアの原子模型）です。

水素原子のスペクトルの波長 $λ$ は、リュードベリ定数を $R$ として、次の 1 つの式にまとまります（ $n^{'}$ と $n$ は整数で、 $n > n^{'}$ ）。

\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{n ^{'2}} - \frac{1}{n ^{2}})

系列	$n^{'}$	$n$	現れる領域
ライマン系列	1	2、3、4、…	紫外線
バルマー系列	2	3、4、5、…	可視光線（系列の端のほうは紫外線）
パッシェン系列	3	4、5、6、…	赤外線

分かれ目は次の 3 つ。

α 粒子の大部分は素通りし、ごく一部だけが大きく曲がる。「大部分が素通り」は原子がすきまだらけであること、「ごく一部が大きく曲がる」は正の電気と質量が 1 点に集まっていることを示す
$n^{'}$ が系列を決め、 $n$ が系列の中の線を決める。 $n^{'}$ のほうが小さい整数で、式では先に書く
系列の中で波長が最も長いのは $n = n^{'} + 1$ の線。 $n$ を大きくすると波長は短くなり、ある波長（系列の端）に近づいて詰まっていく

1. α 粒子の散乱実験と原子核

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

電子が見つかったあと、原子の中で正の電気がどこにあるかが問題になりました。それを決めたのが、ラザフォードの指導のもとで行われた α 粒子の散乱実験です。

原子の構造について、トムソンの模型とラザフォードの模型は、正の電気のありかがどう違うか？

トムソンの模型では、正の電気が原子全体に広がり、その中に電子が散らばっている。ラザフォードの模型では、正の電気が中心の小さな原子核に集まり、そのまわりを電子が回っている

ラザフォードの模型は、太陽のまわりを惑星が回る様子に似ている。電子を原子核に引きとめているのは静電気力である。

α 粒子の散乱実験では、何に何を当て、どんな結果が得られたか？

薄い金箔に α 粒子を当てた。大部分の α 粒子はほぼまっすぐ通り抜けたが、ごく一部は大きな角度で曲げられ、はね返されるものもあった

α 粒子はヘリウムの原子核で、正の電気をもち、電子よりはるかに重い。

α 粒子の散乱実験で、ごく一部の α 粒子が大きな角度で曲げられたことから、原子について何が分かるか？

原子の正の電気と質量の大部分が、中心のごく小さな部分（原子核）に集中している

正の電気が原子全体に広がっていると、α 粒子を大きく曲げるほど強い反発力は生じない。軽い電子にぶつかっても、重い α 粒子の進路はほとんど変わらない。

原子核の大きさは、原子の大きさのおよそ何分の 1 か？

およそ 1 万分の 1 から 10 万分の 1（原子は $1 0^{- 10} m$ 程度、原子核は $1 0^{- 15} m$ から $1 0^{- 14} m$ 程度）

原子の中はほとんどがすきまである。α 粒子の大部分が素通りするのはこのため。

2. ラザフォードの模型の困難

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

原子核のまわりを電子が回る、という模型は実験に合います。しかし、それまでの電磁気学を当てはめると、2 つの点で事実と食い違います。

ラザフォードの模型を電磁気学で考えると、原子は安定に存在できないことになる。その理由は？

円運動をする電子は加速度運動をしているので、電磁波を出してエネルギーを失い、原子核に落ちこんでしまうはずだから

電磁気学では、加速度運動をする荷電粒子は電磁波を出す。実際の原子は安定に存在しているので、この考え方のどこかが原子には当てはまらない。

ラザフォードの模型を電磁気学で考えると、原子が出す光のスペクトルはどうなるはずか？実際はどうか？

電子は回る半径を連続的に変えながら電磁波を出すので、連続スペクトルになるはず。実際には、気体の原子が出す光は、決まった波長だけの線スペクトルである

原子が安定であることと、線スペクトルを出すこと。この 2 つを説明するには、新しい考え方が必要になる。

3. 水素原子のスペクトル

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

高温の気体や、放電している気体の原子が出す光を分光器で分けると、とびとびの波長の線が並びます。最も単純な水素原子では、線の波長に規則性があります。

気体の原子が出す光の線スペクトルには、元素についてどんな特徴があるか？

現れる線の波長の組は、元素の種類ごとに決まっている

このため、スペクトルを調べると、光を出している元素が分かる。遠くの星をつくる元素も、この方法で調べられている。

水素原子のスペクトルの波長 $λ$ を表す式は？（リュードベリ定数を $R$ とする）

$\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{n ^{'2}} - \frac{1}{n ^{2}})$ 。 $n^{'}$ は正の整数、 $n$ は $n^{'}$ より大きい整数

$n^{'} = 1, 2, 3, \dots$ で、 $n = n^{'} + 1, n^{'} + 2, n^{'} + 3, \dots$ 。左辺は波長そのものでなく、波長の逆数である。

水素原子のスペクトルで、ライマン系列・バルマー系列・パッシェン系列は、それぞれ $n^{'}$ がいくつで、どの領域に現れるか？

ライマン系列は $n^{'} = 1$ で紫外線。バルマー系列は $n^{'} = 2$ で可視光線。パッシェン系列は $n^{'} = 3$ で赤外線

$n^{'}$ が小さい系列ほど、波長が短い。バルマー系列も、 $n$ の大きい線は紫外線の領域に入る。

水素原子のスペクトルの 1 つの系列の中で、波長が最も長い線は $n$ がいくつのときか？最も短い波長（系列の端）は、どう求めるか？

最も長いのは $n = n^{'} + 1$ のとき。最も短い波長は、 $n$ を限りなく大きくして $\frac{1}{n ^{2}}$ を 0 としたときで、 $\frac{1}{λ} = \frac{R}{n ^{'2}}$

$n$ が大きいほどかっこの中が大きくなり、 $\frac{1}{λ}$ が大きくなる（波長は短くなる）。

水素原子のスペクトルの 1 つの系列の中で、 $n$ を大きくしていくと、となりあう線の間隔はどうなるか？

しだいにせまくなり、線は系列の端の波長に向かって詰まっていく

$\frac{1}{n ^{2}}$ は、 $n$ が大きくなるほど変わり方が小さくなるため。

連続スペクトルの光を、低温の気体に通して分光器で見ると、どんなスペクトルになるか？

連続スペクトルの中に、暗い線が入る（吸収スペクトル）。暗い線の波長は、その気体の原子が出す線スペクトルの波長と同じ

原子は、自分が出すことのできる波長の光だけを吸収する。太陽光のスペクトルに見られる暗い線も、この吸収による。

リュードベリ定数 $R$ の単位は何か？それはなぜか？

$/m$ （毎メートル）。式の左辺 $\frac{1}{λ}$ が長さの逆数で、かっこの中は単位をもたない数だから

$R$ に数をかけると $\frac{1}{λ}$ が出る。波長を求めるには、最後に逆数をとる。

スペクトルの式が整数だけで書けることは、原子の中の電子のエネルギーが、とびとびの値しかとれないことを表しています。これを説明するのが、次のノートのボーアの原子模型です。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

以下、リュードベリ定数を $R = 1.1 \times 1 0^{7} /m$ とします。

問 1　水素原子のスペクトルのバルマー系列のうち、波長が最も長い線の波長を求めよ。

$6.5 \times 1 0^{- 7} m$

方針　バルマー系列は $n^{'} = 2$ 。系列の中で波長が最も長いのは $n = n^{'} + 1$ の線なので、 $n = 3$ を式に入れる。求まるのは波長の逆数なので、最後に逆数をとる。

$n^{'} = 2$ 、 $n = 3$ を入れると、かっこの中は $\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{5}{36}$
したがって $\frac{1}{λ} = R \times \frac{5}{36}$
逆数をとると $λ = \frac{36}{5 R}$
値を入れると、 $\frac{36}{5 \times 1.1 \times 1 0 ^{7}} ≒ 6.5 \times 1 0^{- 7} m$

ここで間違えやすい　 $R \times \frac{5}{36}$ を計算したところで止めてしまうこと。それは $\frac{1}{λ}$ で、波長ではない。

問 2　水素原子のスペクトルのライマン系列について、(1) 最も長い波長と、(2) 最も短い波長（系列の端）を求めよ。

(1) $1.2 \times 1 0^{- 7} m$ 　(2) $9.1 \times 1 0^{- 8} m$

方針　ライマン系列は $n^{'} = 1$ 。最も長い波長は $n = 2$ のとき。最も短い波長は、 $n$ を限りなく大きくして $\frac{1}{n ^{2}}$ を 0 としたとき。

(1) $n^{'} = 1$ 、 $n = 2$ を入れると、かっこの中は $\frac{1}{1 ^{2}} - \frac{1}{2 ^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{λ} = R \times \frac{3}{4}$ なので、逆数をとって $λ = \frac{4}{3 R}$
値を入れると、 $\frac{4}{3 \times 1.1 \times 1 0 ^{7}} ≒ 1.2 \times 1 0^{- 7} m$
(2) $\frac{1}{n ^{2}}$ を 0 とすると、かっこの中は 1 になるので $\frac{1}{λ} = R$
逆数をとると $λ = \frac{1}{R}$ 。値を入れると、 $\frac{1}{1.1 \times 1 0 ^{7}} ≒ 9.1 \times 1 0^{- 8} m$

問 3　水素原子のスペクトルのバルマー系列で、 $n = 4$ の線の波長は、 $n = 3$ の線の波長の何倍か。分数で答えよ。

$\frac{20}{27}$ 倍

方針　リュードベリ定数の値は使わない。それぞれの線について $\frac{1}{λ}$ を $R$ で表し、比をとる。波長の比は、 $\frac{1}{λ}$ の比の逆になる。

$n = 3$ の線は、 $\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}} = \frac{5}{36}$ なので $\frac{1}{λ _{3}} = \frac{5}{36} R$
$n = 4$ の線は、 $\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ なので $\frac{1}{λ _{4}} = \frac{3}{16} R$
波長は $λ_{3} = \frac{36}{5 R}$ 、 $λ_{4} = \frac{16}{3 R}$
比をとると $R$ が消えて、 $\frac{16}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$

ここで間違えやすい　 $\frac{3}{16}$ を $\frac{5}{36}$ で割って $\frac{27}{20}$ 倍としてしまうこと。それは $\frac{1}{λ}$ の比である。 $n$ が大きい線のほうが波長は短いので、答えは 1 より小さくなる。

問 4　水素原子のスペクトルのバルマー系列で、最も短い波長（系列の端）を求めよ。また、その光は可視光線か。可視光線の波長は $3.8 \times 1 0^{- 7} m$ から $7.7 \times 1 0^{- 7} m$ までとする。

$3.6 \times 1 0^{- 7} m$ 。可視光線ではない（紫外線）

方針　バルマー系列は $n^{'} = 2$ 。系列の端は、 $\frac{1}{n ^{2}}$ を 0 としたときの波長である。求めた波長を、可視光線の範囲と比べる。

$n^{'} = 2$ で $\frac{1}{n ^{2}}$ を 0 とすると、 $\frac{1}{λ} = \frac{R}{2 ^{2}}$
逆数をとると $λ = \frac{4}{R}$
値を入れると、 $\frac{4}{1.1 \times 1 0 ^{7}} ≒ 3.6 \times 1 0^{- 7} m$
これは可視光線の短いほうの限界 $3.8 \times 1 0^{- 7} m$ より短いので、紫外線である

問 5　水素原子のスペクトルのパッシェン系列のうち、波長が最も長い線の波長を求めよ。また、その光は可視光線より波長が長いか、短いか。可視光線の波長は $3.8 \times 1 0^{- 7} m$ から $7.7 \times 1 0^{- 7} m$ までとする。

$1.9 \times 1 0^{- 6} m$ 。可視光線より波長が長い（赤外線）

方針　パッシェン系列は $n^{'} = 3$ 。波長が最も長いのは $n = 4$ の線。

$n^{'} = 3$ 、 $n = 4$ を入れると、かっこの中は $\frac{1}{3 ^{2}} - \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{7}{144}$
$\frac{1}{λ} = R \times \frac{7}{144}$ なので、逆数をとって $λ = \frac{144}{7 R}$
値を入れると、 $\frac{144}{7 \times 1.1 \times 1 0 ^{7}} ≒ 1.9 \times 1 0^{- 6} m$
これは可視光線の長いほうの限界 $7.7 \times 1 0^{- 7} m$ より長いので、赤外線である

ここで間違えやすい　 $1 0^{- 6}$ と $1 0^{- 7}$ を、指数を見ずに $1.9$ と $7.7$ だけで比べてしまうこと。 $1.9 \times 1 0^{- 6} m$ は $19 \times 1 0^{- 7} m$ である。