ボーアの原子模型｜高校物理

学習指導要領物理 (4) ア (ｲ) ㋐「原子の構造及びスペクトルと電子のエネルギー準位との関係について理解すること。」。
内容の取扱いは「水素原子の構造を中心にスペクトルと関連させて扱うこと。」としています。

0. どういうまとまりか

ラザフォードの模型には、「原子がつぶれてしまう」「線スペクトルを説明できない」という 2 つの困難がありました。
ボーアは、水素原子について 2 つの仮説を置くことで、この両方を解きました。
1 つめは「電子は、決まった条件を満たす軌道の上でだけ、電磁波を出さずに回り続ける」（量子条件）。2 つめは「電子が軌道を移るときに、エネルギーの差を光子 1 個として出し入れする」（振動数条件）です。
この 2 つから、電子のエネルギーがとびとびの値（エネルギー準位）しかとれないことと、水素原子のスペクトルの式が導かれます。

水素原子のエネルギー準位は、 $n$ を正の整数として $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ です。

$n$	状態	軌道の半径（ $n = 1$ の何倍か）	エネルギー $E_{n}$
1	基底状態	1 倍	$- 13.6 eV$
2	励起状態	4 倍	$- 3.40 eV$
3	励起状態	9 倍	$- 1.51 eV$
4	励起状態	16 倍	$- 0.85 eV$
限りなく大きい	電子が原子核から離れた状態	—	$0$

分かれ目は次の 3 つ。

エネルギーは負で、 $n$ が大きいほど高い（0 に近い）。 $- 3.40 eV$ は $- 13.6 eV$ より高い。絶対値の大小と取り違えない
光子のエネルギーは、準位そのものでなく、2 つの準位の差。高い準位から低い準位へ移るときに放出、低い準位から高い準位へ移るときに吸収
半径は $n^{2}$ に比例し、エネルギーは $n^{2}$ に反比例する（負の符号つき）。 $n$ そのものに比例するのではない

このノートでは、クーロンの法則の比例定数を $k_{0}$ 、電気素量を $e$ 、電子の質量を $m$ 、プランク定数を $h$ 、真空中の光の速さを $c$ と書きます。

1. ボーアの 2 つの仮説

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

ボーアの仮説は、それまでの物理学からは導けません。「こう考えると水素原子のスペクトルが説明できる」という出発点として置かれたものです。

ボーアの原子模型でいう「定常状態」とは？

電子が、とびとびに決まったエネルギーをもち、電磁波を出さずに安定に回り続けている状態

定常状態にある電子は、円運動をしていてもエネルギーを失わない。原子がつぶれないのはこのためである。

ボーアの量子条件を式で書くと？（軌道の半径 $r$ 、電子の質量 $m$ 、速さ $v$ 、プランク定数 $h$ ）

$2 π r = n \cdot \frac{h}{m v}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）

$m v r = n \cdot \frac{h}{2 π}$ と書いても同じ。整数 $n$ を量子数という。この条件を満たす軌道だけが、定常状態として許される。

ボーアの量子条件は、電子を波（物質波）と考えると、どういう意味になるか？

軌道 1 周の長さ $2 π r$ が、電子の物質波の波長 $\frac{h}{m v}$ の整数倍になっている。電子の波が軌道を 1 周してなめらかにつながり、定在波ができる

1 周の長さが波長の整数倍でないと、何周もするうちに波が打ち消しあってしまう。

ボーアの振動数条件を式で書くと？（高いほうのエネルギー準位 $E_{n}$ 、低いほうのエネルギー準位 $E_{n^{'}}$ 、光の振動数 $ν$ ）

$E_{n} - E_{n^{'}} = h ν$

電子が 2 つの定常状態のあいだを移るとき、エネルギーの差に等しいエネルギーの光子 1 個を放出または吸収する。波長 $λ$ で書くと $E_{n} - E_{n^{'}} = \frac{h c}{λ}$ 。

2. 水素原子のエネルギー準位

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

水素原子は、電気量 $+ e$ の原子核（陽子）のまわりを、電気量 $- e$ の電子 1 個が回っている原子です。等速円運動の式と量子条件を組み合わせると、許される半径とエネルギーが決まります。

ボーアの原子模型で、水素原子の電子の軌道の半径を求めるとき、連立させる 2 つの式は？

円運動の運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = k_{0} \frac{e ^{2}}{r ^{2}}$ と、量子条件 $2 π r = n \cdot \frac{h}{m v}$

向心力になっているのは、原子核と電子のあいだの静電気力。この 2 つの式から速さ $v$ を消すと、半径 $r$ が $n$ で表される。

ボーアの原子模型で、水素原子の電子の軌道の半径は、量子数 $n$ とどんな関係にあるか？

$n^{2}$ に比例する（ $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k _{0} m e ^{2}} \cdot n^{2}$ ）

$n = 1$ の半径をボーア半径といい、約 $5.3 \times 1 0^{- 11} m$ 。 $n = 2$ ではその 4 倍、 $n = 3$ では 9 倍になる。

水素原子の電子のエネルギー（運動エネルギーと、静電気力による位置エネルギーの和）を、軌道の半径 $r$ で表すと？

$E = \frac{1}{2} m v^{2} - k_{0} \frac{e ^{2}}{r} = - \frac{k _{0} e ^{2}}{2 r}$

位置エネルギーの基準は無限に遠い点。運動方程式から $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k _{0} e ^{2}}{2 r}$ なので、運動エネルギーは位置エネルギーの大きさのちょうど半分になる。

水素原子の電子のエネルギーが負であることは、何を表しているか？

電子が原子核に束縛されていること。電子を原子核から引き離すには、外からエネルギーを与えなければならない

エネルギーが 0 の状態は、電子が原子核から無限に遠く離れて静止している状態にあたる。

水素原子のエネルギー準位を、量子数 $n$ で表すと？

$E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）

文字で書くと $E_{n} = - \frac{2 π ^{2} k _{0}^{2} m e ^{4}}{h ^{2}} \cdot \frac{1}{n ^{2}}$ 。リュードベリ定数 $R$ を使うと $E_{n} = - \frac{R h c}{n ^{2}}$ とも書ける。

準位の間隔は、 $n$ が大きくなるほどせまくなり、エネルギーは 0 に近づいていきます。 $n = 1$ と $n = 2$ の差は $10.2 eV$ ありますが、 $n = 2$ より上の準位は、すべて残りの $3.40 eV$ の幅に入っています。スペクトルの線が系列の端に向かって詰まっていくのは、このためです。

3. 基底状態・励起状態と光

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

エネルギー準位が決まると、原子がどんな光を出し、どんな光を吸収するかが決まります。スペクトルの線 1 本は、2 つの準位の組 1 つにあたります。

原子の基底状態と励起状態とは？

基底状態は、エネルギーが最も低い定常状態（水素原子では $n = 1$ ）。励起状態は、それよりエネルギーが高い定常状態（ $n = 2, 3, \dots$ ）

原子はふつう基底状態にある。励起状態は不安定で、短い時間のうちに光を出して、より低い準位へ移る。

原子が光を放出するのは、電子がどちら向きに準位を移るときか？光を吸収するのは？

放出は、高い準位から低い準位へ移るとき。吸収は、低い準位から高い準位へ移るとき

吸収できるのは、エネルギーが 2 つの準位の差にちょうど等しい光子だけ。このため、原子が出す線スペクトルと吸収スペクトルは、同じ波長に現れる。

水素原子のイオン化エネルギーとは？その値は？

基底状態の水素原子から電子を引き離して、イオンにするのに必要な最小のエネルギー。 $13.6 eV$

$n = 1$ の準位（ $- 13.6 eV$ ）から、エネルギー 0 の状態まで上げるのに必要なエネルギーである。

水素原子のスペクトルのライマン系列・バルマー系列・パッシェン系列は、エネルギー準位の移り変わりでいうと、それぞれどんな光か？

上の準位から、ライマン系列は $n = 1$ へ、バルマー系列は $n = 2$ へ、パッシェン系列は $n = 3$ へ移るときに出る光

スペクトルの式の $n^{'}$ が移る先の準位、 $n$ が移る前の準位にあたる。移る先が低いほど、エネルギーの差が大きく、波長が短い。

ボーアの原子模型から、水素原子のスペクトルの式 $\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{n ^{'2}} - \frac{1}{n ^{2}})$ は、どうやって導かれるか？

振動数条件 $E_{n} - E_{n^{'}} = \frac{h c}{λ}$ に、エネルギー準位 $E_{n} = - \frac{R h c}{n ^{2}}$ を入れる

入れると $\frac{h c}{λ} = R h c (\frac{1}{n ^{'2}} - \frac{1}{n ^{2}})$ となり、両辺を $h c$ で割ればスペクトルの式になる。実験から決められていた $R$ の値が、ボーアの模型の計算と一致した。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋐

以下、プランク定数を $h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 、電気素量を $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、真空中の光の速さを $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とし、水素原子のエネルギー準位を $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ とします。
$1 eV$ は、電子 1 個が $1 V$ の電圧で加速されたときに得るエネルギーで、 $1.6 \times 1 0^{- 19} J$ です。

問 1　水素原子で、電子（質量 $m$ 、電気量 $- e$ ）が原子核（電気量 $+ e$ ）のまわりを半径 $r$ 、速さ $v$ で等速円運動している。クーロンの法則の比例定数を $k_{0}$ 、プランク定数を $h$ とする。(1) 量子条件を使って、量子数 $n$ の軌道の半径 $r_{n}$ を求めよ。(2) そのときの電子のエネルギー $E_{n}$ を求めよ。

(1) $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k _{0} m e ^{2}} \cdot n^{2}$ 　(2) $E_{n} = - \frac{2 π ^{2} k _{0}^{2} m e ^{4}}{h ^{2}} \cdot \frac{1}{n ^{2}}$

方針　円運動の運動方程式と量子条件の 2 つの式から、速さ $v$ を消して $r$ を求める。エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの和を $r$ だけで表してから、求めた $r_{n}$ を入れる。

静電気力が向心力になるので、運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = k_{0} \frac{e ^{2}}{r ^{2}}$ 。両辺に $r$ をかけると $m v^{2} = \frac{k _{0} e ^{2}}{r}$
量子条件 $2 π r = n \cdot \frac{h}{m v}$ を $v$ について解くと $v = \frac{nh}{2 π m r}$
これを $m v^{2} = \frac{k _{0} e ^{2}}{r}$ に入れると、 $m \cdot \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m ^{2} r ^{2}} = \frac{k _{0} e ^{2}}{r}$
左辺を整理すると $\frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m r ^{2}} = \frac{k _{0} e ^{2}}{r}$ 。両辺に $r^{2}$ をかけて $r$ について解くと、(1) $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k _{0} m e ^{2}} \cdot n^{2}$
エネルギーは $E = \frac{1}{2} m v^{2} - k_{0} \frac{e ^{2}}{r}$ 。手順 1 の $m v^{2} = \frac{k _{0} e ^{2}}{r}$ を使うと、 $E = \frac{k _{0} e ^{2}}{2 r} - \frac{k _{0} e ^{2}}{r} = - \frac{k _{0} e ^{2}}{2 r}$
ここに $r_{n}$ を入れると、 $E_{n} = - \frac{k _{0} e ^{2}}{2} \cdot \frac{4 π ^{2} k _{0} m e ^{2}}{h ^{2} n ^{2}}$
整理すると、(2) $E_{n} = - \frac{2 π ^{2} k _{0}^{2} m e ^{4}}{h ^{2}} \cdot \frac{1}{n ^{2}}$

ここで間違えやすい　位置エネルギーの負の符号を落として、 $E = \frac{1}{2} m v^{2} + k_{0} \frac{e ^{2}}{r}$ としてしまうこと。原子核と電子は引きあうので、無限に遠い点を基準にした位置エネルギーは負である。

問 2　水素原子の電子が、 $n = 2$ の準位から $n = 1$ の準位へ移った。(1) 放出される光子のエネルギーは何 $eV$ か。(2) その光の波長を求めよ。

(1) $10.2 eV$ 　(2) $1.2 \times 1 0^{- 7} m$

方針　光子のエネルギーは 2 つの準位の差。波長は $E = \frac{h c}{λ}$ から求めるが、 $h$ の単位が $J \cdot s$ なので、エネルギーを $eV$ から $J$ に直してから入れる。

$n = 1$ の準位は $- 13.6 eV$ 。 $n = 2$ の準位は $- \frac{13.6}{2 ^{2}} eV$ で、 $\frac{13.6}{2 ^{2}} = 3.4$ なので $- 3.40 eV$
(1) 準位の差は $(- 3.40) - (- 13.6) = 10.2 eV$
(2) $J$ に直すと、 $10.2 \times 1.6 \times 1 0^{- 19} = 1.632 \times 1 0^{- 18} J$
$E = \frac{h c}{λ}$ から $λ = \frac{h c}{E}$
値を入れると、 $\frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34} \times 3.0 \times 1 0 ^{8}}{1.632 \times 1 0 ^{- 18}} ≒ 1.2 \times 1 0^{- 7} m$

ここで間違えやすい　 $13.6 - 3.40$ でなく、 $13.6 + 3.40$ としてしまうこと。準位はどちらも負で、差は絶対値の引き算になる。

問 3　基底状態の水素原子に光を当てて、イオン化したい。そのために必要な光の波長は、何 $m$ 以下か。

$9.1 \times 1 0^{- 8} m$ 以下

方針　イオン化には、光子 1 個のエネルギーがイオン化エネルギー $13.6 eV$ 以上であればよい。光子のエネルギー $\frac{h c}{λ}$ は波長が短いほど大きいので、条件は「波長がある値以下」になる。

イオン化エネルギーを $J$ に直すと、 $13.6 \times 1.6 \times 1 0^{- 19} = 2.176 \times 1 0^{- 18} J$
光子のエネルギーがちょうどこの値になる波長は $λ = \frac{h c}{E}$
値を入れると、 $\frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34} \times 3.0 \times 1 0 ^{8}}{2.176 \times 1 0 ^{- 18}} ≒ 9.1 \times 1 0^{- 8} m$
波長がこれより短ければ、光子のエネルギーは $13.6 eV$ より大きい。したがって $9.1 \times 1 0^{- 8} m$ 以下

ここで間違えやすい　「以上」と答えてしまうこと。エネルギーの条件は「以上」でも、波長に直すと向きが逆になる。

問 4　(1) 基底状態の水素原子に、エネルギーが $10.2 eV$ 、 $11.0 eV$ 、 $12.75 eV$ の光子をそれぞれ当てた。電子を上の準位へ移す形で吸収されうるのは、どの光子か。(2) $n = 4$ の準位にある水素原子が、基底状態に戻るまでに出しうる光の波長は、全部で何種類か。

(1) $10.2 eV$ と $12.75 eV$ の光子　(2) 6 種類

方針　(1) 吸収されるのは、エネルギーが「基底状態と、ある励起状態との差」にちょうど等しい光子だけ。 $n = 2, 3, 4$ の準位と基底状態との差を並べて、当てはまるものを探す。(2) 途中の準位に寄りながら下りることもできる。4 つの準位から 2 つを選ぶ組の数を数える。

準位は、 $n = 1$ が $- 13.6 eV$ 、 $n = 2$ が $- 3.40 eV$ 、 $n = 3$ が $- 1.51 eV$ 、 $n = 4$ が $- 0.85 eV$
基底状態との差は、 $n = 2$ が $13.6 - 3.40 = 10.2 eV$ 、 $n = 3$ が $13.6 - 1.51 = 12.09 eV$ 、 $n = 4$ が $13.6 - 0.85 = 12.75 eV$
(1) $10.2 eV$ は $n = 2$ との差に、 $12.75 eV$ は $n = 4$ との差に等しい。 $11.0 eV$ は、どの差にも等しくないので吸収されない
(2) 移り方は、4 から 3、4 から 2、4 から 1、3 から 2、3 から 1、2 から 1 の 6 通り
どの組もエネルギーの差が違うので、波長は 6 種類

ここで間違えやすい　(1) で「 $11.0 eV$ は $10.2 eV$ より大きいから、 $n = 2$ へ上げて余りが出る」と考えてしまうこと。光子は丸ごと吸収されるか、されないかのどちらかで、余りを残す吸収は起こらない。

問 5　水素原子の基底状態（ $n = 1$ ）の軌道の半径は $5.3 \times 1 0^{- 11} m$ である。電子の質量を $9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、円周率を $3.14$ として、ボーアの原子模型で次の値を求めよ。(1) 基底状態の電子の物質波の波長。(2) 基底状態の電子の速さ。

(1) $3.3 \times 1 0^{- 10} m$ 　(2) $2.2 \times 1 0^{6} m/s$

方針　量子条件は「軌道 1 周の長さが、物質波の波長の $n$ 倍」。 $n = 1$ なので、波長は 1 周の長さそのものになる。速さは、量子条件 $2 π r = n \cdot \frac{h}{m v}$ を $v$ について解いて求める。

(1) $n = 1$ なので、物質波の波長は軌道 1 周の長さ $2 π r$ に等しい
値を入れると、 $2 \times 3.14 \times 5.3 \times 1 0^{- 11} = 3.3284 \times 1 0^{- 10} ≒ 3.3 \times 1 0^{- 10} m$
(2) 量子条件で $n = 1$ とすると $2 π r = \frac{h}{m v}$ 。 $v$ について解くと $v = \frac{h}{2 π m r}$
分母は $2 \times 3.14 \times 9.1 \times 1 0^{- 31} \times 5.3 \times 1 0^{- 11} ≒ 3.03 \times 1 0^{- 40}$
したがって $\frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34}}{3.03 \times 1 0 ^{- 40}} ≒ 2.2 \times 1 0^{6} m/s$