光電効果

$4.5\times 10^{-19}\mathrm{J}$、$2.8\mathrm{eV}$

方針　波長が与えられているので、$E=\frac{hc}{\lambda }$ を使う。eV に直すには、J の値を $1.6\times 10^{-19}$ で割る。

1. 分子の $hc$ は $6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8=1.98\times 10^{-25}$
2. $E=\frac{hc}{\lambda }$ に値を入れると、$\frac{1.98\times 10^{-25}}{4.4\times 10^{-7}}=4.5\times 10^{-19}\mathrm{J}$
3. eV に直すと、$\frac{4.5\times 10^{-19}}{1.6\times 10^{-19}}=2.8125\fallingdotseq 2.8\mathrm{eV}$

(1) $5.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$　(2) $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$　(3) 起こらない

方針　光子 1 個のエネルギーがちょうど仕事関数に等しいときが境目なので、$h{\nu }_0=W$。波長は $c=\nu \lambda$ で振動数から直す。(3) は限界波長と比べる。

1. (1) $h{\nu }_0=W$ から ${\nu }_0=\frac{W}{h}$
2. 値を入れると、$\frac{3.3\times 10^{-19}}{6.6\times 10^{-34}}=5.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
3. (2) $c={\nu }_0{\lambda }_0$ から ${\lambda }_0=\frac{c}{{\nu }_0}$
4. 値を入れると、$\frac{3.0\times 10^8}{5.0\times 10^{14}}=6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$
5. (3) 当てた光の波長 $7.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ は、限界波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ より長い。光子 1 個のエネルギーが仕事関数に足りないので、光電効果は起こらない

ここで間違えやすい　(3) で「強く当てれば起こる」と考えてしまうこと。光を強くしても光子の数が増えるだけで、1 個あたりのエネルギーは変わらない。また、振動数は「限界より大きい」と起こり、波長は「限界より短い」と起こる。大小が逆になる。

(1) $2.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$　(2) $1.2\mathrm{V}$

方針　光子 1 個のエネルギー $h\nu$ から仕事関数を引くと、運動エネルギーの最大値になる。阻止電圧は $e{V}_0=K_{\max }$ から求める。

1. (1) 光子 1 個のエネルギーは $h\nu$。値を入れると、$6.6\times 10^{-34}\times 8.0\times 10^{14}=5.28\times 10^{-19}\mathrm{J}$
2. $K_{\max }=h\nu -W$ に値を入れると、$5.28\times 10^{-19}-3.3\times 10^{-19}=1.98\times 10^{-19}\fallingdotseq 2.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$
3. (2) $e{V}_0=K_{\max }$ から $V_0=\frac{K_{\max }}{e}$
4. 値を入れると、$\frac{1.98\times 10^{-19}}{1.6\times 10^{-19}}=1.2375\fallingdotseq 1.2\mathrm{V}$

ここで間違えやすい　(2) で、(1) の答えとして丸めた $2.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$ を使うと $\frac{2.0\times 10^{-19}}{1.6\times 10^{-19}}=1.25$ となり、答えがずれる。続きの計算には、丸める前の $1.98\times 10^{-19}\mathrm{J}$ を使う。

(1) $6.5\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$　(2) $6.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$　(3) $3.9\times 10^{-19}\mathrm{J}$

方針　横軸に振動数、縦軸に運動エネルギーの最大値をとると、測定値は直線 $K_{\max }=h\nu -W$ の上にある。傾きが $h$ なので、2 点から傾きを求める。そのあと、直線が横軸と交わる振動数を求める。

1. (1) 振動数の差は $1.0\times 10^{15}-8.0\times 10^{14}=2.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
2. 運動エネルギーの最大値の差は $2.6\times 10^{-19}-1.3\times 10^{-19}=1.3\times 10^{-19}\mathrm{J}$
3. 傾きがプランク定数なので、$\frac{1.3\times 10^{-19}}{2.0\times 10^{14}}=6.5\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$
4. (2) 振動数を $8.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ から下げていくと、$2.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ 下げるごとに $K_{\max }$ は $1.3\times 10^{-19}\mathrm{J}$ 減る。$8.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ での値がちょうど $1.3\times 10^{-19}\mathrm{J}$ なので、$2.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ 下げたところで 0 になる
5. 限界振動数は $8.0\times 10^{14}-2.0\times 10^{14}=6.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
6. (3) 仕事関数は $W=h{\nu }_0$。値を入れると、$6.5\times 10^{-34}\times 6.0\times 10^{14}=3.9\times 10^{-19}\mathrm{J}$

ここで間違えやすい　(1) で、問題文の前に与えた $6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ をそのまま答えてしまうこと。ここで問われているのは、測定値から決まる値である。実験から求めた値は、測定の誤差のぶんだけずれる。

(1) $3.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$　(2) $1.0\times 10^{16}$ 個　(3) $1.6\times 10^{-5}\mathrm{A}$

方針　光が運ぶエネルギーは「光子 1 個のエネルギー × 光子の数」。毎秒のエネルギーを 1 個ぶんで割れば、毎秒の光子の数になる。電流は、毎秒運ばれる電気量である。

1. (1) $E=\frac{hc}{\lambda }$ に値を入れると、$\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{6.6\times 10^{-7}}=3.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$
2. (2) 毎秒のエネルギーを光子 1 個のエネルギーで割ると、$\frac{3.0\times 10^{-3}}{3.0\times 10^{-19}}=1.0\times 10^{16}$ 個
3. (3) 毎秒飛び出す光電子の数は、その 100 分の 1 で $\frac{1.0\times 10^{16}}{100}=1.0\times 10^{14}$ 個
4. 光電子 1 個が運ぶ電気量の大きさは $e$ なので、電流は $1.0\times 10^{14}\times 1.6\times 10^{-19}=1.6\times 10^{-5}\mathrm{A}$

ここで間違えやすい　光を 2 倍に強くしたとき、(1) の値まで 2 倍にしてしまうこと。2 倍になるのは (2) の光子の数と (3) の光電流で、光子 1 個のエネルギーは波長だけで決まる。