電子の比電荷と電気素量｜高校物理

学習指導要領物理 (4) ア (ｱ) ㋐「電子の電荷と質量について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

電子は小さすぎて、はかりに載せることも、電気量を 1 個ぶんだけ直接はかることもできません。
それでも電荷と質量が分かっているのは、2 つの実験を組み合わせたからです。
電子の流れ（陰極線）を電界や磁界で曲げると、曲がり方から電荷と質量の比が分かります。
別の実験で電荷だけを測れば、割り算で質量が決まります。

電子の電荷の大きさを $e$ 、質量を $m$ とします。

実験	測るもの	分かること
トムソンの実験（陰極線を電界・磁界で曲げる）	電子の曲がり方	比電荷 $\frac{e}{m}$
ミリカンの実験（帯電した油滴を電界の中に浮かせる）	油滴の電気量	電気素量 $e$
2 つの結果を合わせる	（計算だけ）	電子の質量 $m = e \div \frac{e}{m}$

電界や磁界の中での荷電粒子の運動（一様な電界の中では放物運動、一様な磁界の中では等速円運動）は、「10 電界と電位」「13 電流と磁界」で学んだものをそのまま使います。

分かれ目は次の 3 つ。

曲がり方から分かるのは、 $e$ と $m$ の比だけ。運動方程式を加速度について解くと、いつも $\frac{e}{m}$ の形でしか現れない
電気素量は、1 回の測定値ではなく、たくさんの測定値に共通する最小の単位として決める
$e V$ （電気量と電圧の積）と $eV$ （電子ボルト。エネルギーの単位）を取り違えない

1. 陰極線と電子の発見

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(ア)-㋐

気体をほとんど抜いたガラス管の電極に高い電圧をかけると、陰極から何かが飛び出して、向かい側のガラス壁を光らせます。これが陰極線で、その正体を調べることが電子の発見につながりました。

陰極線とは何か？

真空放電のとき、陰極から陽極のほうへ飛び出す電子の流れ

気体をほとんど抜いた放電管の電極に高い電圧をかけると現れる。蛍光物質に当たると光らせるので、通り道が分かる。

陰極線が「負の電荷をもつ粒子の流れ」だと分かるのは、どんな性質からか？

電界をかけると、電界と逆の向き（正の極板の側）へ曲がる。磁界をかけると、負の電荷が受けるローレンツ力の向きへ曲がる

このほか、途中に置いた物体の影ができる（直進する）、羽根車に当てると回るという性質がある。羽根車が回るのは、当時は質量をもつ粒子がぶつかるからだと考えられたが、のちに、おもな原因は陰極線の当たった面が熱せられることだと分かった。

トムソンは陰極線の比電荷を測り、陰極の金属や管の中の気体を変えて比べた。その結果と、そこから言えることは？

比電荷は、金属や気体の種類を変えても同じ値だった。陰極線の粒子（電子）は、どの物質にも共通に含まれている

値は約 $1.76 \times 1 0^{11} C/kg$ 。水素イオンの比電荷の約 1800 倍もあり、電子が原子よりずっと軽い粒子であることを示した。

2. 比電荷を求める筋道

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(ア)-㋐

電子の速さ $v$ を先に求め、そのあと曲がり方から比電荷を出す、という 2 段で進みます。電界の強さを $E$ 、磁束密度の大きさを $B$ とします。

比電荷とは何か。単位は？

粒子の電荷の大きさを質量で割った値 $\frac{e}{m}$ 。単位は $C/kg$

電界の中での加速度は $\frac{e E}{m}$ 、磁界の中での円運動の半径は $\frac{m v}{e B}$ で、どちらにも $e$ と $m$ は比の形でしか入らない。だから曲がり方からは、比しか決まらない。

電子の進む向きに垂直に電界 $E$ をかけ、さらに電界にも進む向きにも垂直に磁界 $B$ をかけて、電子を直進させた。電子の速さ $v$ は？

$v = \frac{E}{B}$

電界から受ける力 $e E$ と、磁界から受けるローレンツ力 $e v B$ が逆向きでつり合うので、 $e E = e v B$ 。 $e$ が消えて、速さだけが決まる。

速さ $v$ の電子に、進む向きに垂直な磁界 $B$ だけをかけたら、半径 $r$ の等速円運動をした。比電荷は？

$\frac{e}{m} = \frac{v}{B r}$

ローレンツ力 $e v B$ が向心力になるので、 $m \frac{v ^{2}}{r} = e v B$ 。これを $\frac{e}{m}$ について解く。

速さ $v$ の電子に、進む向きに垂直な電界 $E$ だけをかけた。長さ $l$ の極板の間を通り抜けるあいだに、電界の方向へ $y$ だけずれた。比電荷は？

$\frac{e}{m} = \frac{2 y v ^{2}}{E l ^{2}}$

電界の方向には加速度 $\frac{e E}{m}$ の等加速度運動、進む向きには等速なので、通り抜ける時間は $\frac{l}{v}$ 。 $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e E}{m} \cdot (\frac{l}{v})^{2}$ を解く。

3. 電気素量

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(ア)-㋐

比電荷だけでは、電荷も質量も決まりません。ミリカンは、霧吹きでつくった小さな油滴を帯電させ、その電気量を 1 つずつ測りました。

ミリカンの実験では、何を測って、何を求めたか？

帯電した油滴 1 つ 1 つの電気量を測り、電気素量 $e$ を求めた

油滴を上下に向かい合わせた極板のあいだに入れ、電界をかけたときの動き方から電気量を出す。油滴の質量は、電界をかけずに落下させたときの一定の速さ（終端速度）から求める。

質量 $M$ 、電気量の大きさ $q$ の油滴が、鉛直方向の電界 $E$ の中で静止した。 $q$ を表す式は？

$q = \frac{M g}{E}$

電界から受ける力 $q E$ （鉛直上向き）と重力 $M g$ （鉛直下向き）がつり合うので、 $q E = M g$ 。

ミリカンは、たくさんの油滴の電気量の測定値から、電気素量をどうやって決めたか？

どの測定値も、ある最小の値の整数倍になっていた。その最小の値（測定値に共通する単位）を電気素量とした

油滴についている電子の数は油滴ごとに違うので、1 回の測定値がそのまま $e$ になるわけではない。測定値どうしの差を取ると、共通の単位が見つけやすい。

電気素量 $e$ は、およそいくらか。電子 1 個の電荷は？

$e ≒ 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 。電子 1 個の電荷は $- e$

電気素量は電気量の最小の単位で、物体がもつ電気量は $e$ の整数倍になる。陽子 1 個の電荷は $+ e$ 。

電子の質量は、どうやって求めるか？

電気素量 $e$ を比電荷 $\frac{e}{m}$ で割る

$\frac{1.6 \times 1 0 ^{- 19}}{1.76 \times 1 0 ^{11}} ≒ 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 。質量を直接はかったのではなく、2 つの実験の結果から計算で決まった値である。

4. 電子の加速とエネルギー

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(ア)-㋐

陰極線の電子は、電極のあいだの電圧で加速されています。原子の単元では、このときのエネルギーを物差しにして話を進めます。

静止していた電子を電圧 $V$ で加速した。電子が得る運動エネルギーと、速さ $v$ を求める式は？

運動エネルギーは $e V$ 。速さは $\frac{1}{2} m v^{2} = e V$ から求める

電界がした仕事 $e V$ が、そのまま運動エネルギーになる。 $v$ について解くと $v = \frac{2 e V}{m}$ で、ここにも比電荷 $\frac{e}{m}$ が現れる。

$1 eV$ （電子ボルト）とは、どんな量か？

電子 1 個を $1 V$ の電圧で加速したときに、電子が得るエネルギー。 $1 eV ≒ 1.6 \times 1 0^{- 19} J$

エネルギーの単位である。J で表した値を $1.6 \times 1 0^{- 19}$ で割ると eV になる。 $100 V$ で加速した電子のエネルギーは $100 eV$ と、計算せずに言える。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(ア)-㋐

以下、電気素量を $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、電子の質量を $9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とします。

問 1　紙面の上で、右向きに $x$ 軸、上向きに $y$ 軸をとる。電子が $x$ 軸の正の向きに進んでいる。ここに、 $y$ 軸の負の向きの一様な電界（強さ $2.0 \times 1 0^{4} V/m$ ）と、紙面の表から裏へ向かう一様な磁界（磁束密度 $1.0 \times 1 0^{- 3} T$ ）を同時にかけたところ、電子は曲がらずに直進した。電子の速さを求めよ。

$2.0 \times 1 0^{7} m/s$

方針　直進したのは、電界から受ける力と磁界から受ける力がつり合っているから。つり合いの式を立てると、電荷が消えて速さが決まる。

電子は負の電荷をもつので、電界から受ける力は電界と逆向きで、 $y$ 軸の正の向き。大きさは $e E$
直進しているので、ローレンツ力は $y$ 軸の負の向きで、大きさは $e v B$
つり合いの式は $e E = e v B$ 。両辺を $e B$ で割ると $v = \frac{E}{B}$
値を入れると、 $\frac{2.0 \times 1 0 ^{4}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.0 \times 1 0^{7} m/s$

問 2　問 1 の電子に対して、電界だけを取り去り、磁界（磁束密度 $1.0 \times 1 0^{- 3} T$ ）はそのままにした。電子は半径 $0.11 m$ の等速円運動をした。この結果から、電子の比電荷を求めよ。

$1.8 \times 1 0^{11} C/kg$

方針　磁界の中の等速円運動では、ローレンツ力が向心力になる。運動方程式を $\frac{e}{m}$ について解く。速さは問 1 で求めた値を使う。

円運動の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = e v B$
両辺を $m v B$ で割って整理すると $\frac{e}{m} = \frac{v}{B r}$
分母は $1.0 \times 1 0^{- 3} \times 0.11 = 1.1 \times 1 0^{- 4}$
値を入れると、 $\frac{2.0 \times 1 0 ^{7}}{1.1 \times 1 0 ^{- 4}} ≒ 1.8 \times 1 0^{11} C/kg$

ここで間違えやすい　この問題では、電気素量と電子の質量の値を使って $\frac{e}{m}$ を計算してはいけない。実験の結果（ $v$ 、 $B$ 、 $r$ ）から求めるのが比電荷の測定である。

問 3　ミリカンの実験と同じ方法で、4 つの油滴の電気量の大きさを測ったところ、 $4.8 \times 1 0^{- 19} C$ 、 $6.4 \times 1 0^{- 19} C$ 、 $8.0 \times 1 0^{- 19} C$ 、 $11.2 \times 1 0^{- 19} C$ だった。この結果から電気素量を推定せよ。また、それぞれの油滴の電気量は電気素量の何倍か。

電気素量は $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 。順に 3 倍、4 倍、5 倍、7 倍

方針　どの電気量も電気素量の整数倍なので、測定値どうしの差も電気素量の整数倍になる。差の中でいちばん小さいものを候補にして、全部の測定値が割り切れるかを確かめる。

以下、 $1 0^{- 19} C$ を単位にして数だけを書く。小さい順に並べると 4.8、6.4、8.0、11.2
隣どうしの差は、 $6.4 - 4.8 = 1.6$ 、 $8.0 - 6.4 = 1.6$ 、 $11.2 - 8.0 = 3.2$
差の最小は 1.6 で、 $3.2 = 2 \times 1.6$ もその整数倍。そこで 1.6 を候補にする
割り切れるかを確かめる。 $4.8 \div 1.6 = 3$ 、 $6.4 \div 1.6 = 4$ 、 $8.0 \div 1.6 = 5$ 、 $11.2 \div 1.6 = 7$
すべて整数になったので、電気素量は $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ と推定できる

ここで間違えやすい　いちばん小さい測定値 $4.8 \times 1 0^{- 19} C$ を、そのまま電気素量としてしまうこと。 $6.4 \div 4.8$ は整数にならないので、4.8 は共通の単位ではない。

問 4　水平に向かい合わせた 2 枚の極板（間隔 $5.0 \times 1 0^{- 3} m$ ）のあいだに、質量 $3.2 \times 1 0^{- 15} kg$ の帯電した油滴がある。極板のあいだに $490 V$ の電圧をかけたところ、油滴は静止した。(1) 極板のあいだの電界の強さを求めよ。(2) 油滴の電気量の大きさを求めよ。(3) それは電気素量の何倍か。

(1) $9.8 \times 1 0^{4} V/m$ 　(2) $3.2 \times 1 0^{- 19} C$ 　(3) 2 倍

方針　極板のあいだの電界は一様で、強さは電圧を間隔で割れば出る。油滴が静止しているので、電界から受ける力と重力がつり合っている。

(1) 一様な電界の強さは $E = \frac{V}{d}$ 。値を入れると、 $\frac{490}{5.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 9.8 \times 1 0^{4} V/m$
(2) 油滴の電気量の大きさを $q$ 、質量を $M$ とすると、つり合いの式は $q E = M g$
$q$ について解くと $q = \frac{M g}{E}$
値を入れると、 $\frac{3.2 \times 1 0 ^{- 15} \times 9.8}{9.8 \times 1 0 ^{4}} = 3.2 \times 1 0^{- 19} C$
(3) 電気素量で割ると、 $\frac{3.2 \times 1 0 ^{- 19}}{1.6 \times 1 0 ^{- 19}} = 2$ 倍

問 5　(1) 静止していた電子を $1.0 \times 1 0^{3} V$ の電圧で加速した。電子が得た運動エネルギーを、J と eV の両方で答えよ。(2) 静止していた電子を、速さ $8.0 \times 1 0^{6} m/s$ まで加速したい。必要な電圧を求めよ。

(1) $1.6 \times 1 0^{- 16} J$ 、 $1.0 \times 1 0^{3} eV$ 　(2) $1.8 \times 1 0^{2} V$

方針　電圧 $V$ で加速された電子は、電界から $e V$ の仕事をされ、それがそのまま運動エネルギーになる。(2) は $\frac{1}{2} m v^{2} = e V$ を $V$ について解く。

(1) 運動エネルギーは $e V$ 。値を入れると、 $1.6 \times 1 0^{- 19} \times 1.0 \times 1 0^{3} = 1.6 \times 1 0^{- 16} J$
電子 1 個を $1 V$ で加速したときのエネルギーが $1 eV$ なので、 $1.0 \times 1 0^{3} V$ で加速すれば $1.0 \times 1 0^{3} eV$
(2) $\frac{1}{2} m v^{2} = e V$ を $V$ について解くと $V = \frac{m v ^{2}}{2 e}$
速さの 2 乗は $(8.0 \times 1 0^{6})^{2} = 6.4 \times 1 0^{13}$
分子は $9.1 \times 1 0^{- 31} \times 6.4 \times 1 0^{13} = 5.824 \times 1 0^{- 17}$ 、分母は $2 \times 1.6 \times 1 0^{- 19} = 3.2 \times 1 0^{- 19}$
値を入れると、 $\frac{5.824 \times 1 0 ^{- 17}}{3.2 \times 1 0 ^{- 19}} = 182 ≒ 1.8 \times 1 0^{2} V$

ここで間違えやすい　(1) で eV に直すとき、J の値にもう一度 $1.6 \times 1 0^{- 19}$ を掛けてしまうこと。J から eV へは割り算で、電子 1 個を加速した場合は電圧の数値がそのまま eV の数値になる。