電気振動と電磁波｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｲ) ㋓「電磁波の性質とその利用を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

充電したコンデンサーをコイルにつなぐと、電流が行ったり来たりをくり返します。これが電気振動で、エネルギーがコンデンサー（電界）とコイル（磁界）のあいだを行き来しています。
電気振動のように電界と磁界が変化すると、その変化は電磁波として空間へ伝わっていきます。光も電磁波の一種です。

電気振動は、ばね振り子の単振動と同じ形をしています。対応を表にまとめます。

電気振動（コイル $L$ とコンデンサー $C$ ）	ばね振り子（質量 $m$ 、ばね定数 $k$ ）
コンデンサーの電気量 $Q$	変位 $x$
電流 $I$	速度 $v$
自己インダクタンス $L$	質量 $m$
電気容量の逆数 $\frac{1}{C}$	ばね定数 $k$
コンデンサーのエネルギー $\frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$	弾性力による位置エネルギー $\frac{1}{2} k x^{2}$
コイルのエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$	運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2}$
周期 $T = 2 π L C$	周期 $T = 2 π \frac{m}{k}$

分かれ目は次の 3 つ。

コンデンサーの電気量が最大の瞬間に電流は 0、電気量が 0 の瞬間に電流は最大。ばね振り子の「端で速さ 0、中心で速さ最大」と同じ
周期は $T = 2 π L C$ で、はじめに蓄えた電気量によらない。 $L$ か $C$ を 4 倍にして、はじめて周期が 2 倍になる
電磁波は横波で、伝えるための物質が要らない。真空中の速さは、波長によらず光の速さ $3.0 \times 1 0^{8} m/s$

1. 電気振動

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋓

充電したコンデンサーの両端をコイルにつなぎます。抵抗が無視できれば、回路には電源が無いのに、向きの入れかわる電流が流れ続けます。

電気振動とは何か？

コイルとコンデンサーをつないだ回路で、コンデンサーの放電と逆向きの充電がくり返され、向きが周期的に入れかわる電流が流れ続ける現象

このとき流れる電流を振動電流という。コンデンサーが放電しきっても、コイルが自己誘導で電流を流し続けようとするので、コンデンサーは逆向きに充電される。

電気振動のあいだ、エネルギーはどのように移り変わるか？

コンデンサーの静電エネルギー $\frac{1}{2} C V^{2}$ と、コイルに蓄えられるエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$ のあいだを行き来する。抵抗が無視できれば、2 つの和は一定

ばね振り子で、弾性力による位置エネルギーと運動エネルギーが入れかわるのと同じである。

電気振動で、コンデンサーの電気量が最大の瞬間の電流は？　電気量が 0 の瞬間の電流は？

電気量が最大の瞬間、電流は 0。電気量が 0 の瞬間、電流は最大

電気量が最大のときはエネルギーが全部コンデンサーにあり、電気量が 0 のときは全部コイルにある。電圧と電流の最大値 $V_{0}$ 、 $I_{0}$ のあいだには $\frac{1}{2} C V_{0}^{2} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ が成り立つ。

電気振動の周期と固有周波数を、自己インダクタンス $L$ と電気容量 $C$ で表すと？

周期 $T = 2 π L C$ 、固有周波数 $f = \frac{1}{2 π L C}$

$L$ や $C$ が大きいほど、ゆっくり振動する。はじめにコンデンサーに蓄えた電気量にはよらない。

電気振動をばね振り子に対応させると、電気量 $Q$ 、電流 $I$ 、自己インダクタンス $L$ 、電気容量 $C$ は、それぞれ何にあたるか？

$Q$ は変位 $x$ 、 $I$ は速度 $v$ 、 $L$ は質量 $m$ 、 $\frac{1}{C}$ はばね定数 $k$ にあたる

コイルは電流の変化を妨げるので、速度の変化を妨げる質量（慣性）の役をする。 $T = 2 π \frac{m}{k}$ の $m$ を $L$ に、 $k$ を $\frac{1}{C}$ に置きかえると、 $T = 2 π L C$ になる。

実際の回路では、電気振動はやがて弱まって止まる。なぜか？

導線やコイルの抵抗でジュール熱が発生し、また一部が電磁波として空間へ出ていくので、回路のエネルギーが減っていくから

振幅が小さくなっていく振動を、減衰振動という。摩擦のあるばね振り子が、やがて止まるのと同じである。

2. 電磁波の発生

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋓

電磁誘導では、磁界が変化すると起電力（電界）が生じました。逆に、電界が変化すると磁界が生じます。この 2 つが組になると、電界と磁界の変化が空間を伝わっていきます。

電磁波は、どのようにして発生し、伝わるか？

変化する磁界がまわりに電界をつくり、変化する電界がまわりに磁界をつくる。これが次々にくり返されて、電界と磁界の振動が空間を伝わっていく

振動電流の流れる回路やアンテナでは、電界と磁界が周期的に変化するので、同じ周波数の電磁波が出る。存在はマクスウェルが理論で予言し、ヘルツが実験で確かめた。

電磁波は縦波か、横波か？　電界・磁界・進む向きは、たがいにどういう関係か？

横波。電界と磁界はたがいに垂直に振動し、どちらも進む向きに垂直

電界の向きから磁界の向きへ右ねじを回すと、ねじの進む向きが電磁波の進む向きになる。例えば、電界が $y$ 軸の正の向き、磁界が $z$ 軸の正の向きの瞬間、電磁波は $x$ 軸の正の向きへ進んでいる。

電磁波の真空中の速さは？　伝えるための物質（媒質）は要るか？

約 $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ で、光の速さと同じ。媒質は要らず、真空中でも伝わる

波長や周波数によらず、真空中の速さは同じである。速さ $c$ 、周波数 $f$ 、波長 $λ$ のあいだには $c = f λ$ が成り立つ。速さが光と一致することから、光は電磁波の一種だと分かった。

3. 電磁波の性質と利用

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋓

電磁波は波なので、波に共通する性質を示します。波長の違いによる分類と利用は、物理基礎で学びました。

電磁波が示す、波としての性質を挙げよ。

反射、屈折、回折、干渉。横波なので、偏りも示す

波長の長い電波は、建物や山の後ろへ回りこみやすい（回折）。光が回折や干渉を示すのは光が波だからで、偏光を示すのは横波だからである。

電波・赤外線・可視光線・紫外線・X 線・γ 線は、何の違いで分けられているか？　周波数が大きいのはどちら側か？

波長（周波数）の違い。この順に波長が短くなり、周波数は大きくなる

真空中の速さが同じなので、 $c = f λ$ から、波長が短いほど周波数は大きい。どれも同じ電磁波で、発生のしかたや物質への作用が波長によって違う。

電磁波は、空間を伝わって何を運ぶか？　利用の例は？

エネルギーと情報を運ぶ。エネルギーの例は、太陽光や赤外線ヒーターによる加熱、電子レンジ。情報の例は、放送、携帯電話、無線 LAN、衛星測位システム

情報を送るときは、電磁波の振幅や周波数を信号に合わせて変化させる。受信側は、回路の固有周波数を合わせて、目的の周波数の電波だけを取り出す。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋓

回路の抵抗は無視します。円周率の扱いは、問題ごとに指定します。

問 1　自己インダクタンス $4.0 \times 1 0^{- 3} H$ のコイルと、電気容量 $1.0 \times 1 0^{- 7} F$ のコンデンサーで電気振動を起こした。(1) 周期を求めよ。(2) 固有周波数を求めよ。円周率は $3.14$ とする。

(1) $1.3 \times 1 0^{- 4} s$ 　(2) $8.0 \times 1 0^{3} Hz$

方針　 $T = 2 π L C$ に入れる。先に $L C$ を計算し、10 の指数が偶数になっていることを確かめてから平方根をとる。周波数は周期の逆数。

(1) $L C$ を計算すると、 $4.0 \times 1 0^{- 3} \times 1.0 \times 1 0^{- 7} = 4.0 \times 1 0^{- 10}$
平方根は、 $4.0 \times 1 0^{- 10} = 2.0 \times 1 0^{- 5}$ （単位は s）
$T = 2 π L C$ に入れると、 $2 \times 3.14 \times 2.0 \times 1 0^{- 5} = 1.256 \times 1 0^{- 4} ≒ 1.3 \times 1 0^{- 4} s$
(2) $f = \frac{1}{T}$ に、丸める前の値を入れると、 $\frac{1}{1.256 \times 1 0 ^{- 4}} ≒ 8.0 \times 1 0^{3} Hz$

ここで間違えやすい　平方根をとるときに、10 の指数をそのままにしてしまうこと。 $1 0^{- 10} = 1 0^{- 5}$ で、指数は半分になる。

問 2　電気容量 $2.0 \times 1 0^{- 6} F$ のコンデンサーを $10 V$ に充電し、電源から切り離して、自己インダクタンス $5.0 \times 1 0^{- 3} H$ のコイルにつないだ。(1) はじめにコンデンサーに蓄えられていたエネルギーを求めよ。(2) 振動電流の最大値を求めよ。

(1) $1.0 \times 1 0^{- 4} J$ 　(2) $0.20 A$

方針　電流が最大の瞬間、コンデンサーの電気量は 0 で、はじめの静電エネルギーが全部コイルに移っている。 $\frac{1}{2} C V_{0}^{2} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ を $I_{0}$ について解く。

(1) $\frac{1}{2} C V_{0}^{2}$ に値を入れると、 $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 1 0^{- 6} \times 1 0^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 4} J$
(2) $\frac{1}{2} C V_{0}^{2} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ から、 $I_{0}^{2} = \frac{C}{L} V_{0}^{2}$ 。よって $I_{0} = V_{0} \frac{C}{L}$
$\frac{C}{L}$ を計算すると、 $\frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{5.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 4.0 \times 1 0^{- 4}$
平方根は、 $4.0 \times 1 0^{- 4} = 2.0 \times 1 0^{- 2}$
$I_{0} = V_{0} \frac{C}{L}$ に入れると、 $10 \times 2.0 \times 1 0^{- 2} = 0.20 A$

ここで間違えやすい　電流が最大の瞬間に、コンデンサーの電圧も最大だと考えてしまうこと。電流が最大のとき、コンデンサーの電圧は 0 である。

問 3　コンデンサーの極板 A に $+ Q_{0}$ 、極板 B に $- Q_{0}$ の電気量を蓄え、時刻 $0$ にコイルにつないだ。電気振動の周期を $T$ とする。時刻 $\frac{T}{4}$ 、 $\frac{T}{2}$ 、 $\frac{3 T}{4}$ のそれぞれについて、極板 A の電気量と、電流の大きさ・向きを答えよ。電流の最大値を $I_{0}$ とし、向きは「A からコイルを通って B へ」か「B からコイルを通って A へ」で答えること。

時刻 $\frac{T}{4}$ は、電気量 $0$ 、電流 $I_{0}$ で A からコイルを通って B へ。時刻 $\frac{T}{2}$ は、電気量 $- Q_{0}$ 、電流 $0$ 。時刻 $\frac{3 T}{4}$ は、電気量 $0$ 、電流 $I_{0}$ で B からコイルを通って A へ

方針　ばね振り子で、端で静かに離したおもりの動きに対応させる。4 分の 1 周期ごとに、「端（電気量が最大・電流 0）」と「中心（電気量 0・電流が最大）」が入れかわる。電流の向きは、正の電荷がどちらの極板から流れ出ているかで決める。

時刻 $0$ 。A が正に帯電していて、電流は 0。ここから、A の正の電荷がコイルを通って B へ流れはじめる（放電）。
時刻 $\frac{T}{4}$ 。放電しきって、電気量は 0。エネルギーは全部コイルにあり、電流は最大の $I_{0}$ 。向きは放電のときのまま、A からコイルを通って B へ。
このあとも、コイルが同じ向きに電流を流し続けようとするので、B に正の電荷がたまっていく（逆向きの充電）。
時刻 $\frac{T}{2}$ 。電流が 0 になり、A の電気量は $- Q_{0}$ 、B は $+ Q_{0}$ 。はじめと正負が入れかわっている。
ここから、B の正の電荷がコイルを通って A へ流れはじめる。時刻 $\frac{3 T}{4}$ に電気量は 0、電流は最大の $I_{0}$ で、向きは B からコイルを通って A へ。

ここで間違えやすい　時刻 $\frac{T}{4}$ で放電が終わったから電流も 0、としてしまうこと。電気量が 0 の瞬間に、電流は最大である。

問 4　コイルとコンデンサーをつないだ回路の電気振動の周期が $T$ であった。次のそれぞれの場合の周期を、 $T$ を使って答えよ。(1) コンデンサーの電気容量を 4 倍にする。(2) コイルの自己インダクタンスを 9 倍にする。(3) 電気容量と自己インダクタンスを、どちらも 2 倍にする。(4) はじめにコンデンサーに蓄える電気量を 2 倍にする。

(1) $2 T$ 　(2) $3 T$ 　(3) $2 T$ 　(4) $T$

方針　 $T = 2 π L C$ なので、周期は積 $L C$ の平方根に比例する。積が何倍になるかを数えて、その平方根をとる。

(1) $L C$ は 4 倍。 $4 = 2$ なので、周期は 2 倍。
(2) $L C$ は 9 倍。 $9 = 3$ なので、周期は 3 倍。
(3) $L C$ は $2 \times 2 = 4$ 倍。 $4 = 2$ なので、周期は 2 倍。
(4) 周期の式に、はじめの電気量は入っていない。周期は変わらない。

ここで間違えやすい　(1) で、電気容量が 4 倍だから周期も 4 倍、としてしまうこと。平方根の中が 4 倍になって、周期は 2 倍である。

問 5　周波数 $6.0 \times 1 0^{5} Hz$ の電波を受信したい。電磁波の速さを $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ 、円周率を $3.14$ とする。(1) この電波の波長を求めよ。(2) 自己インダクタンス $2.0 \times 1 0^{- 4} H$ のコイルとコンデンサーで、固有周波数がこの電波の周波数に一致する回路を作る。コンデンサーの電気容量をいくらにすればよいか。

(1) $5.0 \times 1 0^{2} m$ 　(2) $3.5 \times 1 0^{- 10} F$

方針　波長は $c = f λ$ から求める。電気容量は、 $f = \frac{1}{2 π L C}$ の両辺を 2 乗して $C$ について解く。

(1) $λ = \frac{c}{f}$ に値を入れると、 $\frac{3.0 \times 1 0 ^{8}}{6.0 \times 1 0 ^{5}} = 500 m$
(2) $f = \frac{1}{2 π L C}$ の両辺を 2 乗すると、 $f^{2} = \frac{1}{4 π ^{2} L C}$
$C$ について解くと、 $C = \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2} L}$
分母を順に計算する。 $4 \times 3.1 4^{2} = 39.4384$ 、 $f^{2}$ は $(6.0 \times 1 0^{5})^{2} = 3.6 \times 1 0^{11}$
分母は、 $39.4384 \times 3.6 \times 1 0^{11} \times 2.0 \times 1 0^{- 4} ≒ 2.84 \times 1 0^{9}$
よって $\frac{1}{2.84 \times 1 0 ^{9}} ≒ 3.5 \times 1 0^{- 10} F$

ここで間違えやすい　2 乗するときに、 $2 π$ の 2 乗を $2 π^{2}$ としてしまうこと。 $(2 π)^{2} = 4 π^{2}$ である。