音の干渉と回折｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (2) ア (ｲ) ㋐「音の干渉と回折について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

音は空気を伝わる波なので、波に共通の性質である干渉・回折・屈折を示します。
「07 波の伝わり方」で水面波について学んだ条件が、そのまま音にも使えます。
違うのは、目で見るかわりに耳で聞く大きさで確かめることです。強め合うところでは音が大きく、弱め合うところでは音が小さく聞こえます。

現象	何が起こるか	決まり
干渉	2 つの音が重なり、場所によって大きく聞こえたり小さく聞こえたりする	同位相の音源なら、経路差が波長の整数倍で強め合い、整数倍から半波長ずれると弱め合う
回折	音が障害物の裏側へ回り込む	波長が、すき間や障害物の大きさと同じくらいか、それより長いほど目立つ
屈折	音の速さが違う空気の層を通るとき、進む向きが曲がる	音の速さが小さい側へ曲がる

分かれ目は次の 3 つ。

干渉は経路差を波長で割って判定する。割った答えが整数なら強め合い、整数と半分なら弱め合う（音源が同位相のとき。逆位相なら入れかわる）
クインケ管は、管を引き出した長さの 2 倍だけ経路差が変わる。音は引き出した部分を行って戻るから
回折は波長の長い音（低い音）ほど目立つ。高い音は回り込みにくい

1. 2 つの音源からの音の干渉

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋐

同じ振動数の音を出す 2 つのスピーカーのまわりを歩くと、音が大きく聞こえる場所と小さく聞こえる場所が交互に現れます。条件は水面波の干渉と同じ形です。

音の干渉とは、どういう現象か？

2 つの音源から出た同じ振動数の音が重なり合い、場所によって強め合ったり弱め合ったりする現象

音も波なので、重ね合わせの原理に従う。強め合う場所では音が大きく、弱め合う場所では音が小さく聞こえる。

同位相で同じ振動数の音を出す 2 つのスピーカーから、距離 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ の点がある。音の波長を $λ$ として、強め合う条件と弱め合う条件は？

強め合う: $∣ l_{1} - l_{2} ∣ = mλ$ 　弱め合う: $∣ l_{1} - l_{2} ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$ （ $m$ は 0 以上の整数）

$∣ l_{1} - l_{2} ∣$ を経路差という。経路差を波長で割り、整数になれば強め合い、整数と半分になれば弱め合う。

2 つのスピーカーを逆位相で鳴らすと、干渉の条件は同位相のときと比べてどうなるか？

強め合う条件と弱め合う条件が入れかわる（経路差が $mλ$ で弱め合い、 $(m + \frac{1}{2}) λ$ で強め合う）

出たときにすでに半波長ぶんずれているので、経路差によるずれと合わせて考える。問題文で「同位相」か「逆位相」かを先に確かめる。

同位相で鳴らした 2 つのスピーカーから等しい距離にある点では、音はどう聞こえるか？

大きく聞こえる（経路差が 0 なので、強め合う）

2 つのスピーカーを結ぶ線分の垂直二等分線上の点は、どこも経路差が 0。振動数を変えても強め合ったままである。

同位相で鳴らした 2 つのスピーカーを結ぶ線分の上で、音が大きく聞こえる点は、どんな間隔で並ぶか？

半波長 $\frac{λ}{2}$ ごと

線分の上を一方へ $x$ だけ動くと、一方のスピーカーに $x$ 近づき、もう一方から $x$ 遠ざかるので、経路差は $2 x$ 変わる。 $2 x = λ$ になるごとに次の強め合う点が来る。向かい合って進む 2 つの波がつくる定在波の腹の間隔と同じである。

干渉で弱め合う点でも、音が完全には消えないことが多い。なぜか？

2 つの音の振幅が、その点で等しいとは限らないから

音は音源から離れるほど小さくなるので、2 つの音源からの距離が違えば届く音の大きさも違う。部屋の中では、壁や床で反射した音も重なる。

2. クインケ管

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋐

2 つのスピーカーを使わなくても、1 つの音を 2 つの道に分ければ干渉を起こせます。そのための装置がクインケ管です。

クインケ管とは、どんな装置か？

1 つの音源から出た音を 2 つの経路に分け、ふたたび合わせて干渉させる装置。一方の管を出し入れして、経路の長さを変えられる

入口から入った音は、左右の管に分かれて進み、出口で重なる。もとが 1 つの音なので、2 つの経路の音は同位相で出発している。

クインケ管で、出し入れできる管を $d$ だけ引き出すと、2 つの経路の経路差はどれだけ変わるか？

$2 d$ だけ変わる

音は引き出した部分を行って戻るので、その経路は行きと帰りで $d$ ずつ長くなる。 $d$ のままにして波長を半分に求めてしまう誤りが多い。

クインケ管で、出口の音が最も小さい位置から管をさらに $Δ d$ だけ引き出すと、次に音が最も小さくなった。音の波長 $λ$ は？

$λ = 2Δ d$

小さい状態から次の小さい状態までに、経路差は 1 波長ぶん変わる。経路差の変化は $2Δ d$ なので $2Δ d = λ$ 。振動数が分かっていれば、 $V = f λ$ から音の速さも求められる。

3. 音の回折と屈折

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋐

音は、姿の見えない相手の声でも聞こえます。障害物の裏へ回り込む回折と、空気の温度の違いで進む向きが曲がる屈折を扱います。壁や山で音がはね返る反射（やまびこ）は、音が波であることの現れとして知っておけば足ります。

音の回折とは、どういう現象か。身のまわりの例は？

音が障害物の裏側へ回り込んで伝わる現象。塀の向こうにいる人の声が聞こえる、開いた戸口の横にいても部屋の中の音が聞こえる、など

光は塀の裏へほとんど回り込まないので姿は見えないが、音は回り込むので声は聞こえる。光の波長が音の波長に比べてはるかに短いことによる違いである。

音の回折が目立つのは、波長と、すき間や障害物の大きさとが、どんな関係にあるときか。高い音と低い音では、どちらが回り込みやすいか？

波長が、すき間や障害物の大きさと同じくらいか、それより長いとき。低い音（波長の長い音）のほうが回り込みやすい

$λ = \frac{V}{f}$ なので、振動数の小さい低い音ほど波長が長い。建物の陰では、低い音はよく聞こえ、高い音は聞こえにくくなる。

空気中を進む音が屈折するのは、どんなときか。どちら側へ曲がるか？

気温が場所によって違い、音の速さが違う空気の層を通るとき。音の速さが小さい側（気温の低い側）へ曲がる

音の速さは気温が高いほど大きい。波は、速さの違う媒質へ斜めに進むと向きを変える（屈折の法則）。気温が少しずつ変わる空気の中では、音の進む道すじがなめらかに曲がる。

晴れた夜に、昼間は聞こえない遠くの音が聞こえることがある。なぜか？

夜は地面の近くの空気が冷え、上空のほうが気温が高くなる。音は速さの小さい地面の側へ曲がるので、上へ逃げずに遠くまで届く

昼間は逆に、地面の近くのほうが気温が高い。音は上空の側へ曲がって上へ逃げるので、地上の遠くには届きにくい。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋐

以下、音の速さを $340 m/s$ とします。

問 1　2 つのスピーカー A、B から、振動数 $680 Hz$ の音を同位相で出している。(1) 点 P は A から $3.0 m$ 、B から $4.0 m$ の距離にある。P で音は強め合うか、弱め合うか。(2) 点 Q は A から $2.50 m$ 、B から $3.25 m$ の距離にある。Q ではどうか。

(1) 強め合う　(2) 弱め合う

方針　まず $V = f λ$ から波長を求める。次に、経路差を波長で割る。答えが整数なら強め合い、整数と半分なら弱め合う。

波長は $λ = \frac{V}{f}$ なので、 $\frac{340}{680} = 0.50 m$
(1) P の経路差は $4.0 - 3.0 = 1.0 m$
波長で割ると $\frac{1.0}{0.50} = 2$ 。整数なので、P では強め合う。
(2) Q の経路差は $3.25 - 2.50 = 0.75 m$
波長で割ると $\frac{0.75}{0.50} = 1.5$ 。整数と半分なので、Q では弱め合う。

問 2　 $2.0 m$ 離して向かい合わせに置いた 2 つのスピーカー A、B から、振動数 $850 Hz$ の音を同位相で出している。A と B を結ぶ線分の上を、マイクをゆっくり動かして音の大きさを調べた。(1) 音が大きくなる点は、何 m ごとに現れるか。(2) 音が大きくなる点は、線分の上に何個あるか。両端の A、B の位置は数えない。

(1) $0.20 m$ ごと　(2) 9 個

方針　線分の上では、中点から $x$ だけ動くと経路差が $2 x$ になる。経路差が波長の整数倍になる点を、中点から順に数える。

波長は $λ = \frac{V}{f}$ なので、 $\frac{340}{850} = 0.40 m$
中点は A、B から等しい距離にあり、経路差が 0 なので強め合う。
中点から $x$ だけ離れた点の経路差は $2 x$ 。強め合う条件は $2 x = mλ$ なので、 $x = m \times \frac{λ}{2}$
(1) 間隔は半波長で、 $\frac{0.40}{2} = 0.20 m$
(2) 中点から端までは $1.0 m$ で、 $\frac{1.0}{0.20} = 5$ 。 $m = 5$ の点はちょうど端なので数えない。片側には $m = 1$ から $m = 4$ までの 4 個がある。
両側の 4 個ずつと中点の 1 個を合わせて、 $4 \times 2 + 1 = 9$ 個

ここで間違えやすい　間隔を波長 $0.40 m$ としてしまうこと。線分の上では、動いた長さの 2 倍だけ経路差が変わるので、間隔は半波長になる。

問 3　クインケ管の入口に、一定の振動数の音を出すスピーカーを置いた。出し入れできる管を少しずつ引き出していくと、出口の音が最も小さくなる位置があり、そこからさらに $10 cm$ 引き出したところで、次に音が最も小さくなった。(1) この音の波長と振動数を求めよ。(2) 音が最も小さい位置から $5.0 cm$ だけ引き出したとき、出口の音はどうなるか。

(1) 波長 $0.20 m$ 、振動数 $1.7 \times 1 0^{3} Hz$ 　(2) 最も大きくなる

方針　管を $d$ 引き出すと経路差は $2 d$ 変わる。音が小さい状態から次の小さい状態までに、経路差は 1 波長ぶん変わる。

引き出した長さを m で表すと $0.10 m$
(1) 経路差の変化は引き出した長さの 2 倍で、これが 1 波長にあたる。 $2 \times 0.10 = 0.20 m$
振動数は $f = \frac{V}{λ}$ なので、 $\frac{340}{0.20} = 1700 = 1.7 \times 1 0^{3} Hz$
(2) $0.050 m$ 引き出すと、経路差の変化は $2 \times 0.050 = 0.10 m$
これは半波長にあたる。弱め合っていた状態から半波長ぶんずれるので、強め合う状態になり、音は最も大きくなる。

ここで間違えやすい　引き出した長さ $0.10 m$ をそのまま波長としてしまうこと。振動数が 2 倍の $3.4 \times 1 0^{3} Hz$ になってしまう。

問 4　座標の単位を m として、点 A $(0, 0)$ と点 B $(0, 3.0)$ にスピーカーを置き、同じ振動数の音を同位相で出す。点 P $(4.0, 0)$ で音を聞きながら、振動数をごく低いところからゆっくり上げていった。(1) P で音が最初に最も小さくなるときの振動数を求めよ。(2) そのあと、P で音が最初に最も大きくなるときの振動数を求めよ。

(1) $170 Hz$ 　(2) $340 Hz$

方針　P の位置は動かないので、経路差は一定。振動数を上げると波長が短くなっていく。経路差が半波長に等しくなったとき最初に弱め合い、1 波長に等しくなったとき次に強め合う。

A から P までの距離は $4.0 m$
B から P までの距離は、三平方の定理から $4. 0^{2} + 3. 0^{2} = 5.0 m$
経路差は $5.0 - 4.0 = 1.0 m$
(1) 振動数がごく低いあいだは、波長が経路差よりずっと長く、2 つの音はほぼそろって届く。波長が短くなって、経路差が半波長に等しくなったときに最初に弱め合う。このときの波長は $2 \times 1.0 = 2.0 m$
振動数は $f = \frac{V}{λ}$ なので、 $\frac{340}{2.0} = 170 Hz$
(2) さらに波長が短くなり、経路差が 1 波長に等しくなったときに強め合う。このときの波長は $1.0 m$ なので、 $\frac{340}{1.0} = 340 Hz$

問 5　部屋の中のスピーカーから、振動数 $100 Hz$ の低い音と $10000 Hz$ の高い音が出ている。幅 $0.80 m$ の戸口の外で、戸口の正面から横にずれたところに立って聞くと、どちらの音がよく聞こえるか。それぞれの波長を求めて答えよ。

$100 Hz$ の音（波長 $3.4 m$ ）のほうがよく聞こえる。 $10000 Hz$ の音の波長は $0.034 m$

方針　戸口の横へ音が届くのは回折による。回折は、波長がすき間の幅と同じくらいか、それより長いときに目立つ。2 つの音の波長を求めて、戸口の幅と比べる。

$100 Hz$ の音の波長は $\frac{340}{100} = 3.4 m$
$10000 Hz$ の音の波長は $\frac{340}{10000} = 0.034 m$
戸口の幅 $0.80 m$ と比べると、 $100 Hz$ の音は波長のほうが長く、 $10000 Hz$ の音は波長のほうがずっと短い。
波長の長い $100 Hz$ の音はよく回り込むので、横にずれたところでもよく聞こえる。 $10000 Hz$ の音はほぼまっすぐ進み、横には届きにくい。