波の干渉と回折｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (2) ア (ｱ) ㋑「波の干渉と回折について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、1 本の直線上で 2 つの波が重なって定在波ができることを学びました。面の上を広がる波が重なると、強め合う場所と弱め合う場所が、面の上に模様になって並びます。これが波の干渉です。
また、波は障害物の裏側へ回りこみます。これが回折です。
干渉と回折は、波に特有の現象です。ここでは、水面の 2 点を同じ周期でたたいてできる水面波で考えます。同じ考え方を、あとのフォルダで音と光に使います。

記号は、2 つの波源 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ から観測点までの距離 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、波長 $λ$ 、整数 $m$ （ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）です。距離の差 $∣ l_{1} - l_{2} ∣$ を経路差といいます。

波源の振動	強め合う点	弱め合う点
同位相	$∣ l_{1} - l_{2} ∣ = mλ$	$∣ l_{1} - l_{2} ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$
逆位相	$∣ l_{1} - l_{2} ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$	$∣ l_{1} - l_{2} ∣ = mλ$

分かれ目は次の 3 つ。

条件の式を使う前に、波源が同位相か逆位相かを確かめる。逆位相なら、強め合う条件と弱め合う条件がそっくり入れかわる
強め合う点は「いつも山」ではない。大きく振動している点で、変位が 0 になる瞬間もある。弱め合う点は、いつもほとんど振動しない
回折が目立つかどうかは、すき間や障害物の大きさと波長の比べ合いで決まる。波長と同じくらいか、それより小さいときに目立つ

1. 水面波の干渉

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋑

2 つの波源から出た波が同じ点に届くと、その点の変位は 2 つの波の変位の和になります（重ね合わせの原理）。届いた 2 つの波の位相がそろうかどうかで、振動の大きさが決まります。

波の干渉とは？

2 つ以上の波が重なって、強め合ったり弱め合ったりする現象

干渉の模様が時間がたっても動かないのは、2 つの波源が同じ振動数で振動し続けているとき。

水面波の干渉で、強め合う点と弱め合う点では、それぞれ 2 つの波がどう重なっているか？

強め合う点では、山と山、谷と谷が重なる（2 つの波が同位相で届く）。弱め合う点では、山と谷が重なる（逆位相で届く）

2 つの波の振幅がどちらも $A$ なら、強め合う点は振幅 $2 A$ で振動し、弱め合う点は振動しない。

同位相で振動する 2 つの波源からの距離が $l_{1}$ 、 $l_{2}$ の点で、波が強め合う条件と弱め合う条件は？

強め合うのは $∣ l_{1} - l_{2} ∣ = mλ$ 、弱め合うのは $∣ l_{1} - l_{2} ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$ （ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）

経路差が波長の整数倍なら強め合い、半波長の奇数倍なら弱め合う。

2 つの波源が逆位相で振動しているとき、強め合う条件と弱め合う条件は、同位相のときと比べてどうなるか？

入れかわる。強め合うのは $∣ l_{1} - l_{2} ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$ 、弱め合うのは $∣ l_{1} - l_{2} ∣ = mλ$

出発の時点で半周期ぶん（位相で $π$ ）ずれているので、経路差が半波長の奇数倍のときに、ちょうど同位相で届く。

同位相の波源で、経路差が波長の整数倍のときに強め合うのはなぜか？

波は 1 波長進むごとに位相が $2 π$ 遅れる。経路差が波長の整数倍なら、2 つの波の位相の差が $2 π$ の整数倍になり、同位相で届くから

経路差が半波長の奇数倍なら、位相の差が $π$ の奇数倍になり、逆位相で届いて弱め合う。

水面波の干渉で強め合う点は、いつも山になっている点か？

そうではない。大きな振幅で振動している点で、山にも谷にもなり、変位が 0 になる瞬間もある

「強め合う・弱め合う」は、ある瞬間の変位の大小ではなく、振動の振幅の大小を言っている。

干渉する水面波の「腹線」「節線」とは？

強め合う点を連ねた線が腹線、弱め合う点を連ねた線が節線

どちらも、2 つの波源を焦点とする双曲線になる（経路差が一定の点の集まり）。経路差が 0 の線だけは、2 つの波源を結ぶ線分の垂直二等分線で、直線である。

2 つの波源を結ぶ線分の垂直二等分線の上の点は、強め合うか、弱め合うか？

波源が同位相なら強め合う（腹線）。逆位相なら弱め合う（節線）

垂直二等分線の上では $l_{1} = l_{2}$ で、経路差が 0。 $m = 0$ の場合にあたる。

2 つの波源を結ぶ線分の上では、強め合う点はどんな間隔で並ぶか？

半波長 $\frac{λ}{2}$ の間隔で並ぶ（弱め合う点はその中間にある）

線分の上では、2 つの波が逆向きに進んで重なるので定在波ができる。強め合う点が定在波の腹、弱め合う点が節にあたる。

2 つの波源のあいだに腹線や節線が何本できるかは、どう数えるか？（波源の間隔を $d$ とする）

波源を結ぶ線分の上で、経路差は 0 から $d$ 未満の値をとる。条件を満たす経路差のうち $d$ より小さいものを数え、経路差 0 の線は 1 本、0 でないものは垂直二等分線の両側に 1 本ずつあるので 2 本と数える

例えば同位相で $d = 2.5 λ$ なら、腹線は経路差 $0$ 、 $λ$ 、 $2 λ$ で、 $1 + 2 + 2$ の 5 本。

波源の間隔を変えずに波長を長くすると、腹線・節線の本数と間隔はどうなるか？波長を変えずに波源の間隔を広げると？

波長を長くすると、本数は減り、間隔は広がる。波源の間隔を広げると、本数は増え、間隔はせばまる

本数は、波源の間隔が波長の何倍か（ $\frac{d}{λ}$ ）で決まる。振動数を大きくすると波長が短くなるので、本数は増える。

2. 回折

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋑

波は、すき間を通りぬけたあとや障害物の端を通ったあと、まっすぐ進むだけでなく、陰になる部分にも広がります。

波の回折とは？

波が、すき間や障害物の裏側（陰になる部分）へ回りこんで伝わる現象

塀の向こうの音が聞こえるのも回折による。回折しても、同じ媒質の中なので、波長・振動数・速さは変わらない。

回折が目立つのは、すき間の幅や障害物の大きさが、波長と比べてどんなときか？

波長と同じくらいか、それより小さいとき

すき間の幅が波長より十分大きいと、波はほぼまっすぐ進み、回りこみはわずかになる。同じすき間でも、波長が長い波ほどよく回折する。

せまいすき間を通りぬけた水面波が、すき間を中心とする円形波になって広がるのを、ホイヘンスの原理で説明すると？

すき間に達した波面上の点が波源になって素元波を出す。すき間がせまいと、波源になる点がほぼ 1 点だけなので、その素元波（円形波）がそのまま広がる

すき間が広いと、すき間の中に並んだたくさんの点から素元波が出る。それらに共通に接する線は直線に近くなり、波は主にまっすぐ進む。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋑

問 1　水面上の 2 点 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ を同位相で振動させ、波長 $4.0 cm$ の水面波を出している。点 P は $S_{1}$ から $14 cm$ 、 $S_{2}$ から $8.0 cm$ 、点 Q は $S_{1}$ から $20 cm$ 、 $S_{2}$ から $12 cm$ の位置にある。(1) P と Q は、それぞれ強め合う点か、弱め合う点か。(2) 波源を逆位相で振動させると、P と Q はどうなるか。

(1) P は弱め合う点、Q は強め合う点　(2) P は強め合う点、Q は弱め合う点

方針　経路差を求め、それが波長の何倍かを見る。同位相の波源なら、整数倍で強め合い、整数に $\frac{1}{2}$ を足した倍数で弱め合う。逆位相なら入れかわる。

(1) P の経路差は $14 - 8.0 = 6.0 cm$
波長で割ると $\frac{6.0}{4.0} = 1.5$ 。 $1 + \frac{1}{2}$ 倍なので、P は弱め合う点
Q の経路差は $20 - 12 = 8.0 cm$
波長で割ると $\frac{8.0}{4.0} = 2.0$ 。整数倍なので、Q は強め合う点
(2) 逆位相の波源では条件が入れかわるので、P は強め合う点、Q は弱め合う点

問 2　水面上で $9.0 cm$ 離れた 2 点 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ を同じ周期で振動させ、波長 $4.0 cm$ の水面波を出している。(1) 波源が同位相のとき、 $S_{1}$ と $S_{2}$ のあいだにできる腹線と節線の本数を、それぞれ求めよ。(2) 波源が同位相のとき、線分 $S_{1} S_{2}$ 上で強め合う点の、 $S_{1}$ からの距離をすべて求めよ。(3) 波源が逆位相のとき、腹線と節線の本数を、それぞれ求めよ。

(1) 腹線 5 本、節線 4 本　(2) $0.5 cm$ 、 $2.5 cm$ 、 $4.5 cm$ 、 $6.5 cm$ 、 $8.5 cm$ 　(3) 腹線 4 本、節線 5 本

方針　線分 $S_{1} S_{2}$ の上では、経路差は 0 から $9.0 cm$ 未満の値をとる。この範囲で条件を満たす経路差を並べ、0 は 1 本、0 でないものは両側に 1 本ずつあるので 2 本と数える。

(1) 腹線の経路差は波長の整数倍で、 $9.0 cm$ より小さいものは $0$ 、 $4.0$ 、 $8.0 cm$ の 3 つ
腹線の本数は $1 + 2 + 2 = 5$ 本
節線の経路差は半波長の奇数倍で、 $9.0 cm$ より小さいものは $2.0$ 、 $6.0 cm$ の 2 つ
節線の本数は $2 + 2 = 4$ 本
(2) $S_{1}$ からの距離を $x$ 〔cm〕とすると、 $S_{2}$ からの距離は $9.0 - x$ 。経路差は $x$ と $9.0 - x$ の差である。
経路差 0 の点は中点で、 $x = 4.5$
強め合う点は半波長 $2.0 cm$ ごとに並ぶので、中点から両側へ $2.0 cm$ ずつ進んで、 $x = 2.5$ 、 $6.5$ 、さらに $x = 0.5$ 、 $8.5$
(3) 逆位相では条件が入れかわる。(1) の節線が腹線に、腹線が節線になるので、腹線 4 本、節線 5 本

ここで間違えやすい　0 でない経路差を 1 本と数えて、腹線を 3 本としてしまうこと。経路差 $4.0 cm$ の線は、 $S_{1}$ に近い側と $S_{2}$ に近い側に 1 本ずつある。

問 3　問 2 と同じ $9.0 cm$ 離れた同位相の波源で、振動数を 2 倍にした。波の速さは変わらないものとする。(1) 波長を求めよ。(2) $S_{1}$ と $S_{2}$ のあいだにできる腹線と節線の本数を、それぞれ求めよ。

(1) $2.0 cm$ 　(2) 腹線 9 本、節線 8 本

方針　速さが同じで振動数が 2 倍なので、 $v = f λ$ から波長は半分になる。あとは問 2 と同じ数え方をする。

(1) 波長は振動数に反比例するので、 $\frac{4.0}{2} = 2.0 cm$
(2) 腹線の経路差は波長の整数倍で、 $9.0 cm$ より小さいものは $0$ 、 $2.0$ 、 $4.0$ 、 $6.0$ 、 $8.0 cm$ の 5 つ
0 が 1 本、残りの 4 つが 2 本ずつなので、腹線は $1 + 2 \times 4 = 9$ 本
節線の経路差は半波長の奇数倍で、 $9.0 cm$ より小さいものは $1.0$ 、 $3.0$ 、 $5.0$ 、 $7.0 cm$ の 4 つ
どれも 2 本ずつなので、節線は $2 \times 4 = 8$ 本
波長が短くなったので、問 2 のとき（腹線 5 本、節線 4 本）より本数が増え、間隔はせまくなる。

問 4　水面上の 2 点 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ を、振動数 $5.0 Hz$ で同位相に振動させている。 $S_{1}$ から $15 cm$ 、 $S_{2}$ から $9.0 cm$ の点 P は、線分 $S_{1} S_{2}$ の垂直二等分線から数えて 2 本目の節線の上にあった。(1) 波長を求めよ。(2) 水面波の速さを求めよ。

(1) $4.0 cm$ 　(2) $0.20 m/s$

方針　同位相の波源では、節線の経路差は垂直二等分線に近い順に $\frac{1}{2} λ$ 、 $\frac{3}{2} λ$ 、… となる。2 本目は $\frac{3}{2} λ$ 。これを P の経路差と等しいと置く。

(1) P の経路差は $15 - 9.0 = 6.0 cm$
2 本目の節線なので、経路差は $1.5 λ$ 。 $1.5 λ = 6.0$ から、波長は $\frac{6.0}{1.5} = 4.0 cm$
(2) $v = f λ$ に入れる。波長 $4.0 cm$ は $0.040 m$ なので、 $5.0 \times 0.040 = 0.20 m/s$

ここで間違えやすい　2 本目だからといって経路差を $2 λ$ や $2.5 λ$ としてしまうこと。1 本目が $m = 0$ の $0.5 λ$ なので、2 本目は $m = 1$ の $1.5 λ$ である。

問 5　水槽の水面波の速さは $0.30 m/s$ である。振動数 $15 Hz$ の直線波を、2 枚の板のあいだのすき間に、板に垂直な向きから当てる。(1) この波の波長を求めよ。(2) すき間の幅が $1.0 cm$ のときと $20 cm$ のときとで、回折が目立つのはどちらか。(3) すき間の幅を $20 cm$ にしたまま、振動数を $3.0 Hz$ に下げた。回折は、 $15 Hz$ のときと比べて目立つようになるか、目立たなくなるか。

(1) $0.020 m$ （ $2.0 cm$ ）　(2) 幅 $1.0 cm$ のとき　(3) 目立つようになる

方針　回折が目立つかどうかは、すき間の幅と波長を比べて決める。まず $v = f λ$ で波長を出す。

(1) 波長は $λ = \frac{v}{f}$ なので、 $\frac{0.30}{15} = 0.020 m$
(2) 幅 $1.0 cm$ は波長 $2.0 cm$ より小さく、幅 $20 cm$ は波長の 10 倍ある。回折が目立つのは、幅が波長と同じくらいか小さいときなので、 $1.0 cm$ のとき
(3) 振動数 $3.0 Hz$ のときの波長は、 $\frac{0.30}{3.0} = 0.10 m$
波長が $10 cm$ になり、すき間の幅 $20 cm$ に近づいた。波長が長くなったので、回折は目立つようになる。