静電エネルギーと誘電体｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋒「コンデンサーの性質を理解するとともに，電気容量を電界や電位差と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

充電したコンデンサーは、放電させると電球を光らせたりモーターを回したりできます。つまりエネルギーを蓄えています。これが静電エネルギーです。
また、極板のあいだに絶縁体（誘電体）をはさむと、電気容量が大きくなります。

量	式	使う場面
静電エネルギー	$U = \frac{1}{2} Q V$	$Q$ と $V$ の両方が分かっているとき
	$U = \frac{1}{2} C V^{2}$	$V$ が一定のとき（電池をつないだまま）
	$U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$	$Q$ が一定のとき（電池を切り離したあと）
充電で電池がした仕事	$W = Q V$	静電エネルギーの 2 倍
誘電体を入れたときの電気容量	$C = ε_{r} C_{0}$	$ε_{r}$ は比誘電率、 $C_{0}$ は真空のときの電気容量

分かれ目は次の 3 つ。

静電エネルギーの 3 つの式は同じもの。一定に保たれる量（ $V$ か $Q$ ）が入った形を選ぶと、変化が追いやすい
電池がした仕事 $Q V$ のうち、蓄えられるのは半分の $\frac{1}{2} Q V$ 。残りの半分は、導線や抵抗でジュール熱になる
誘電体を入れると電気容量は $ε_{r}$ 倍になる。そのあと $Q$ と $V$ のどちらが変わるかは、電池をつないだままか切り離したあとかで決まる

1. 静電エネルギー

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

コンデンサーを充電するには、電荷を電位差に逆らって運ぶ仕事が要ります。その仕事が、コンデンサーにエネルギーとして蓄えられます。

コンデンサーの静電エネルギーとは？

充電したコンデンサーが蓄えているエネルギー。充電のとき、電荷を極板間の電位差に逆らって運ぶのに要した仕事にあたる

単位はジュール（ $J$ ）。放電させると、このエネルギーが熱や光などに変わる。

電気容量 $C$ のコンデンサーに電気量 $Q$ が蓄えられ、極板間の電位差が $V$ のとき、静電エネルギー $U$ を 3 つの形で表すと？

$U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$

もとの形は $\frac{1}{2} Q V$ 。これに $Q = C V$ を入れると $\frac{1}{2} C V^{2}$ 、 $V = \frac{Q}{C}$ を入れると $\frac{Q ^{2}}{2 C}$ になる。

静電エネルギーの式 $\frac{1}{2} C V^{2}$ と $\frac{Q ^{2}}{2 C}$ は、どう使い分けるか？

電池をつないだまま（ $V$ が一定）なら $\frac{1}{2} C V^{2}$ 、電池を切り離したあと（ $Q$ が一定）なら $\frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使う

一定な量が入った式を選ぶと、 $C$ が変わったときの静電エネルギーの増減がすぐ分かる。 $V$ 一定なら $U$ は $C$ に比例し、 $Q$ 一定なら $U$ は $C$ に反比例する。

静電エネルギーが $Q V$ ではなく $\frac{1}{2} Q V$ になるのはなぜか？

充電の途中では、極板間の電位差が 0 から $V$ まで少しずつ大きくなるので、電荷を運ぶ仕事は平均の電位差 $\frac{V}{2}$ で運んだ分になるから

電気量を横軸、電位差を縦軸にとると、グラフは原点を通る直線になる。仕事は、この直線と横軸が囲む三角形の面積 $\frac{1}{2} Q V$ である。

2. 電池がした仕事との関係

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

電池の側から見ると、電池は一定の電圧 $V$ のまま電気量 $Q$ を送り出しています。その仕事と静電エネルギーは一致しません。

電圧 $V$ の電池が、電気量 $Q$ を送り出したとき、電池がした仕事は？

$W = Q V$

電池は、はじめから終わりまで一定の電圧 $V$ で電荷を送り出す。充電の途中の極板間の電位差とは違い、平均をとる必要がない。

電荷を蓄えていないコンデンサーを電池で充電した。電池がした仕事 $Q V$ と、蓄えられた静電エネルギー $\frac{1}{2} Q V$ の差は、どこへ行ったか？

充電のあいだに流れた電流によって、導線や抵抗でジュール熱になった

失われるのは電池がした仕事のちょうど半分 $\frac{1}{2} Q V$ で、回路の抵抗の大きさによらない。

コンデンサーを含む回路で、エネルギーの収支の式はどう書けるか？

電池がした仕事＝静電エネルギーの増加＋発生したジュール熱

電池がした仕事は「電池を通った電気量 × 電池の電圧」。電荷が電池を逆向きに通ったときは、電池がした仕事を負として扱う。極板を動かすなど、外から力を加えて仕事をしたときは、その仕事も左辺に加える。

3. 誘電体

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

極板のあいだにガラスや紙、プラスチックなどの絶縁体をはさむと、電気容量が大きくなります。電気的な性質に注目するとき、絶縁体を誘電体と呼びます。

誘電体とは？

絶縁体のこと。電界の中に置くと、表面に正と負の電荷が現れる（誘電分極）という性質に注目した呼び名

誘電体の中の電子は原子や分子からはなれられないが、位置がわずかにずれる。そのため、電界の向きの側の表面に正、反対側の表面に負の電荷が現れる。

比誘電率 $ε_{r}$ とは？

物質の誘電率 $ε$ が、真空の誘電率 $ε_{0}$ の何倍かを表す値。 $ε_{r} = \frac{ε}{ε _{0}}$

単位は無い。真空は 1 で、物質は 1 より大きい。空気はほぼ 1 なので、空気中のコンデンサーは真空中と同じに扱ってよい。

極板のあいだを比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体で満たすと、電気容量は、真空のときの値 $C_{0}$ と比べてどうなるか？

$ε_{r}$ 倍になる（ $C = ε_{r} C_{0}$ ）

$C_{0} = ε_{0} \frac{S}{d}$ の $ε_{0}$ が $ε = ε_{r} ε_{0}$ に置きかわる。小さな形で大きな電気容量を得るために、実際のコンデンサーには誘電体がはさんである。

誘電体をはさむと電気容量が大きくなるのはなぜか？

誘電分極で誘電体の表面に現れた電荷が、極板の電荷がつくる電界を弱めるので、同じ電気量でも極板間の電位差が小さくなるから

$C = \frac{Q}{V}$ なので、同じ $Q$ で $V$ が小さくなれば $C$ は大きくなる。

充電したコンデンサーを電池から切り離し、極板のあいだを比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体で満たした。 $Q$ 、 $V$ 、静電エネルギー $U$ はそれぞれ何倍になるか？

$Q$ は変わらない。 $V$ は $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍、 $U$ は $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍

$Q$ が一定で $C$ が $ε_{r}$ 倍になるので、 $V = \frac{Q}{C}$ も $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ も $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍になる。

コンデンサーを電池につないだまま、極板のあいだを比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体で満たした。 $Q$ 、 $V$ 、静電エネルギー $U$ はそれぞれ何倍になるか？

$V$ は変わらない。 $Q$ は $ε_{r}$ 倍、 $U$ は $ε_{r}$ 倍

$V$ が一定で $C$ が $ε_{r}$ 倍になるので、 $Q = C V$ も $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ も $ε_{r}$ 倍になる。増えた分の電荷は電池から送りこまれる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

問 1　電気容量 $4.0 μ F$ のコンデンサーを $50 V$ の電源で充電した。(1) 蓄えられた静電エネルギーを求めよ。(2) 蓄えられた電気量を求め、 $U = \frac{1}{2} Q V$ でも同じ値になることを確かめよ。

(1) $5.0 \times 1 0^{- 3} J$ 　(2) 電気量は $2.0 \times 1 0^{- 4} C$ で、静電エネルギーは同じ $5.0 \times 1 0^{- 3} J$ になる

方針　分かっているのは $C$ と $V$ なので、まず $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ を使う。電気量は $Q = C V$ で出し、 $\frac{1}{2} Q V$ に入れて比べる。

電気容量を $F$ で表すと、 $C = 4.0 \times 1 0^{- 6} F$
(1) $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ に入れると、 $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 1 0^{- 6} \times 5 0^{2} = 5.0 \times 1 0^{- 3} J$
(2) $Q = C V$ から、 $4.0 \times 1 0^{- 6} \times 50 = 2.0 \times 1 0^{- 4} C$
$U = \frac{1}{2} Q V$ に入れると、 $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 1 0^{- 4} \times 50 = 5.0 \times 1 0^{- 3} J$ で、(1) と一致する

ここで間違えやすい　 $5 0^{2}$ の 2 乗を落として $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 1 0^{- 6} \times 50$ としないこと。

問 2　電荷を蓄えていない電気容量 $10 μ F$ のコンデンサーを、抵抗を通して $6.0 V$ の電池につなぎ、十分に時間がたった。(1) 電池がした仕事を求めよ。(2) コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーを求めよ。(3) 抵抗で発生したジュール熱を求めよ。

(1) $3.6 \times 1 0^{- 4} J$ 　(2) $1.8 \times 1 0^{- 4} J$ 　(3) $1.8 \times 1 0^{- 4} J$

方針　電池がした仕事は「送り出した電気量 × 電池の電圧」。蓄えられるのは $\frac{1}{2} C V^{2}$ で、その差がジュール熱になる。抵抗の値は与えられていないが、エネルギーの収支で求められる。

充電が終わったときの電気量は $Q = C V$ から、 $1.0 \times 1 0^{- 5} \times 6.0 = 6.0 \times 1 0^{- 5} C$
(1) 電池がした仕事は $W = Q V$ から、 $6.0 \times 1 0^{- 5} \times 6.0 = 3.6 \times 1 0^{- 4} J$
(2) 静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} Q V$ から、 $\frac{1}{2} \times 6.0 \times 1 0^{- 5} \times 6.0 = 1.8 \times 1 0^{- 4} J$
(3) エネルギーの収支から、ジュール熱は $W - U$ 。 $3.6 \times 1 0^{- 4} - 1.8 \times 1 0^{- 4} = 1.8 \times 1 0^{- 4} J$

問 3　極板のあいだが真空で、電気容量 $2.0 μ F$ の平行板コンデンサーを $100 V$ の電源で充電し、電源から切り離した。そのあと、極板のあいだを比誘電率 $5.0$ の誘電体で満たした。(1) 誘電体を入れたあとの極板間の電位差を求めよ。(2) 誘電体を入れる前とあとの静電エネルギーをそれぞれ求めよ。

(1) $20 V$ 　(2) 入れる前は $1.0 \times 1 0^{- 2} J$ 、入れたあとは $2.0 \times 1 0^{- 3} J$

方針　電源から切り離したので、電気量が変わらない。誘電体で電気容量が 5.0 倍になるので、電位差は $V = \frac{Q}{C}$ 、静電エネルギーは $Q$ の入った形 $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ で求める。

切り離す前の電気量は、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 100 = 2.0 \times 1 0^{- 4} C$ 。このあと変わらない
誘電体を入れたあとの電気容量は、 $5.0 \times 2.0 \times 1 0^{- 6} = 1.0 \times 1 0^{- 5} F$
(1) 電位差は $V = \frac{Q}{C}$ から、 $\frac{2.0 \times 1 0 ^{- 4}}{1.0 \times 1 0 ^{- 5}} = 20 V$
(2) 入れる前の静電エネルギーは、 $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 1 0^{- 6} \times 10 0^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 2} J$
入れたあとは $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ から、 $\frac{( 2.0 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}}{2 \times 1.0 \times 1 0 ^{- 5}} = 2.0 \times 1 0^{- 3} J$

ここで間違えやすい　電位差が $100 V$ のままだとして $\frac{1}{2} C V^{2}$ に入れ、静電エネルギーが 5.0 倍になったとしてしまうこと。切り離したあとは、電位差のほうが変わる。

問 4　問 3 と同じコンデンサーを $100 V$ の電源につないだまま、極板のあいだを比誘電率 $5.0$ の誘電体で満たした。十分に時間がたったあとの、蓄えられた電気量と静電エネルギーを求めよ。

電気量 $1.0 \times 1 0^{- 3} C$ 、静電エネルギー $5.0 \times 1 0^{- 2} J$

方針　電源をつないだままなので、電位差が $100 V$ のまま変わらない。電気容量が 5.0 倍になるので、電気量は $Q = C V$ 、静電エネルギーは $V$ の入った形 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ で求める。

誘電体を入れたあとの電気容量は、 $5.0 \times 2.0 \times 1 0^{- 6} = 1.0 \times 1 0^{- 5} F$
電気量は $Q = C V$ から、 $1.0 \times 1 0^{- 5} \times 100 = 1.0 \times 1 0^{- 3} C$
静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ から、 $\frac{1}{2} \times 1.0 \times 1 0^{- 5} \times 10 0^{2} = 5.0 \times 1 0^{- 2} J$
入れる前（問 3 の $2.0 \times 1 0^{- 4} C$ と $1.0 \times 1 0^{- 2} J$ ）と比べると、どちらも 5.0 倍になっている

問 5　電気容量 $6.0 μ F$ の平行板コンデンサーを $20 V$ の電池で充電し、電池から切り離した。そのあと、極板間隔を 2 倍に広げた。(1) 広げる前とあとの静電エネルギーをそれぞれ求めよ。(2) 静電エネルギーが変化した分は、何によってもたらされたか。

(1) 広げる前は $1.2 \times 1 0^{- 3} J$ 、広げたあとは $2.4 \times 1 0^{- 3} J$ 　(2) 極板を引きはなすために外から加えた力がした仕事

方針　電池から切り離したので、電気量が一定。電気容量は間隔に反比例して半分になるので、 $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ から静電エネルギーは 2 倍になる。増えた分は、エネルギーの保存から、外からされた仕事である。

電気量は $Q = C V$ から、 $6.0 \times 1 0^{- 6} \times 20 = 1.2 \times 1 0^{- 4} C$ 。このあと変わらない
(1) 広げる前の静電エネルギーは、 $\frac{1}{2} \times 6.0 \times 1 0^{- 6} \times 2 0^{2} = 1.2 \times 1 0^{- 3} J$
間隔を 2 倍にすると、電気容量は $\frac{1}{2}$ 倍の $3.0 \times 1 0^{- 6} F$ になる
広げたあとは $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ から、 $\frac{( 1.2 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}}{2 \times 3.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.4 \times 1 0^{- 3} J$
(2) 正と負の極板は引きあっている。それに逆らって極板を引きはなすには、外から力を加えて仕事をしなければならない。その仕事 $1.2 \times 1 0^{- 3} J$ の分だけ、静電エネルギーが増えた

【発展】極板を引きはなすのに要る仕事から、極板どうしが引きあう力の大きさを求めるとどうなるか

極板どうしが引きあう力の大きさは $F = \frac{Q ^{2}}{2 εS} = \frac{1}{2} QE$

電池から切り離した平行板コンデンサー（電気量 $Q$ 、極板の面積 $S$ 、極板間の誘電率 $ε$ ）で、極板間隔を $d$ から $d + Δ d$ へ、ゆっくり広げることを考えます。静電エネルギーは $U = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{Q ^{2} d}{2 εS}$ なので、広げたことによる増加は $Δ U = \frac{Q ^{2}}{2 εS} Δ d$ です。この増加は、極板が引きあう力 $F$ とつり合う力を外から加えて $Δ d$ だけ動かした仕事 $F Δ d$ に等しいので、 $F = \frac{Q ^{2}}{2 εS}$ となります。極板間の電界の強さ $E = \frac{Q}{εS}$ を使うと $F = \frac{1}{2} QE$ と書けます。 $QE$ ではなく半分になるのは、一方の極板が受ける力は、もう一方の極板だけがつくる電界（強さ $\frac{E}{2}$ ）から受ける力だからです。この力は極板間隔によらず一定です。