電流と抵抗率｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋓「電気回路に関する実験などを行い，電気回路における基本的な法則を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、金属の電流が自由電子の流れであること、オームの法則、抵抗が $R = ρ \frac{L}{S}$ と表せることを学びました。
ここでは、その先を 3 つ扱います。電流を自由電子の数と速さで表すこと、抵抗率が温度で変わること、そして温度が変わるために電流と電圧が比例しなくなる例（電球）です。

扱うこと	式や性質	文字の意味
電流と自由電子の運動	$I = e n S v$	$e$ は電気素量、 $n$ は単位体積あたりの自由電子の数、 $S$ は導線の断面積、 $v$ は自由電子の平均の速さ
抵抗率の温度変化	$ρ = ρ_{0} (1 + α t)$	$ρ_{0}$ は $0^{\circ} C$ のときの抵抗率、 $t$ はセ氏温度、 $α$ は抵抗率の温度係数
電球の電流と電圧	比例しない（グラフが曲線になる）	電流が大きいほどフィラメントが高温になり、抵抗が大きくなる

分かれ目は次の 3 つ。

$I = e n S v$ の $v$ は、自由電子が導線に沿って進む平均の速さで、とても遅い。電子 1 個 1 個が飛びまわる速さのことではない
金属の抵抗率は、温度が上がると大きくなる。式の $ρ_{0}$ は $0^{\circ} C$ のときの値で、室温の値ではない
電流と電圧が比例するのは、温度が一定とみなせるときだけ。電球は温度が大きく変わるので、抵抗は「その点での $\frac{V}{I}$ 」として求める

1. 電流と自由電子の運動

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

電流の大きさは、導線の断面を 1 秒間に通る電気量です。これを、自由電子の数と速さから組み立てます。

断面積 $S$ の導線の中を、単位体積あたり $n$ 個の自由電子が平均の速さ $v$ で進んでいる。電気素量を $e$ として、電流の大きさ $I$ は？

$I = e n S v$

$n$ の単位は $/ m^{3}$ （1 立方メートルあたりの個数）。電流の向きは、自由電子が進む向きと逆である。

$I = e n S v$ は、どう導かれるか？

時間 $Δ t$ のあいだにある断面を通るのは、その手前の長さ $v Δ t$ 、体積 $S v Δ t$ の部分にいた自由電子 $n S v Δ t$ 個。運ばれる電気量 $e n S v Δ t$ を $Δ t$ で割る

「体積の中の個数を数え、電気量に直し、時間で割る」の 3 段。電流の定義 $I = \frac{Δ Q}{Δ t}$ に入れている。

導線の中を自由電子が進む平均の速さ $v$ は、ふつうどのくらいか？それでもスイッチを入れるとすぐ電流が流れるのはなぜか？

とても遅い（1 秒間に $1 mm$ も進まない程度）。スイッチを入れると電界が導線全体にほぼ一瞬で伝わり、導線の中の自由電子がいっせいに動きだすから

電子がスイッチから電球まで走っていくのではない。自由電子は熱運動で激しく飛びまわっているが、向きがばらばらなので、平均すると導線に沿ってゆっくり進むだけになる。

太さが途中で変わる 1 本の導線に電流が流れている。細い部分と太い部分で、自由電子の平均の速さはどちらが大きいか？

細い部分のほうが大きい

1 本の導線ではどの断面でも電流 $I$ が等しい。同じ材質なら $e$ と $n$ も同じなので、 $I = e n S v$ から $v$ は断面積 $S$ に反比例する。

2. 抵抗率の温度変化

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

物理基礎では、抵抗率は物質の種類で決まると学びました。くわしく見ると、同じ物質でも温度によって抵抗率が変わります。

金属の抵抗率は、温度が上がるとどうなるか？セ氏温度 $t$ のときの抵抗率 $ρ$ を式で表せ。

大きくなる。 $ρ = ρ_{0} (1 + α t)$

$ρ_{0}$ は $0^{\circ} C$ のときの抵抗率、 $α$ は抵抗率の温度係数。温度の範囲があまり広くなければ、抵抗率は温度とともにほぼ直線的に増える。

抵抗率の温度係数 $α$ は、何を表す量か？単位は？

温度が $1 K$ 上がるごとに、抵抗率が $0^{\circ} C$ のときの値の何倍ずつ増えるかを表す。単位は $/K$

物質によって決まる値で、問題では与えられる。金属では正の値である。

金属の抵抗率が、温度が上がると大きくなるのはなぜか？

金属の中の陽イオンの熱運動（振動）が激しくなり、自由電子の進行をさまたげるはたらきが大きくなるから

抵抗の原因は、自由電子が陽イオンにさまたげられること。温度が高いほど陽イオンが大きく振動し、さまたげが増える。

$0^{\circ} C$ のときの抵抗が $R_{0}$ の金属線がある。セ氏温度 $t$ のときの抵抗 $R$ は？

$R = R_{0} (1 + α t)$

$R = ρ \frac{L}{S}$ で、温度による長さと断面積の変化は小さいので無視する。すると抵抗は抵抗率に比例し、同じ形の式になる。

ある金属線の、温度 $t_{1}$ での抵抗 $R_{1}$ が分かっている。別の温度 $t_{2}$ での抵抗 $R_{2}$ を求めるには、どうするか？

$R_{1} = R_{0} (1 + α t_{1})$ と $R_{2} = R_{0} (1 + α t_{2})$ の比をとり、 $R_{2} = R_{1} \times \frac{1 + α t _{2}}{1 + α t _{1}}$ とする

$R_{2} = R_{1} {1 + α (t_{2} - t_{1})}$ としてはいけない。式の基準は $0^{\circ} C$ のときの値 $R_{0}$ である。

3. 電球の電流と電圧

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

抵抗率が温度で変わるので、電流を流すと温度が大きく変わるものでは、電流と電圧が比例しなくなります。その代表が電球です。

オームの法則（電流が電圧に比例する）が成り立つのは、どんなときか？

導体の温度が一定とみなせるとき

温度が変わると抵抗率が変わり、抵抗 $R$ が一定でなくなる。ふつうの抵抗器は、温度の変化が小さい範囲で使うので、 $R$ を一定として扱える。

非直線抵抗（非オーム抵抗）とは？例を挙げよ。

電流と電圧が比例せず、電流と電圧の関係のグラフが直線にならない抵抗。電球やダイオードがその例

かける電圧によって抵抗の値が変わる。これに対し、電流と電圧が比例するものを直線抵抗（オーム抵抗）という。

電球にかける電圧を大きくしていくと、電流と電圧の関係のグラフ（横軸が電圧、縦軸が電流）が直線にならず、増え方がにぶくなっていくのはなぜか？

電流が大きくなるほどジュール熱でフィラメントの温度が上がり、抵抗率が大きくなって、抵抗が増えるから

抵抗が一定なら原点を通る直線になる。電球では、電圧を 2 倍にしても電流は 2 倍にはならない。

電球の電流と電圧の関係のグラフ（曲線）上の 1 点で、電球の抵抗はどう求めるか？

その点の電圧 $V$ と電流 $I$ の比 $R = \frac{V}{I}$ で求める

グラフの接線の傾きから求めるのではない。点ごとに $\frac{V}{I}$ の値が違い、それがそのときの電球の抵抗である。

電球と抵抗値 $R$ の抵抗を直列にして、起電力 $E$ の電池（内部抵抗は無視）につないだ。電球に流れる電流は、どんな手順で求めるか？

電球の電圧を $V$ 、電流を $I$ として、回路の式 $E = V + R I$ を立てる。この式と、電球の電流と電圧の関係のグラフとを、同時にみたす点（交点）を探す

電球の抵抗が分からないので、オームの法則だけでは解けない。未知数は $V$ と $I$ の 2 つで、条件は「回路の式」と「グラフ」の 2 つ。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

問 1　断面積 $1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ の銅線に $3.4 A$ の電流が流れている。銅の単位体積あたりの自由電子の数を $8.5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ 、電気素量を $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ として、自由電子が導線に沿って進む平均の速さを求めよ。

$2.5 \times 1 0^{- 4} m/s$

方針　電流を自由電子の数と速さで表す式 $I = e n S v$ を、 $v$ について解く。指数の計算は、数の部分と $10$ の累乗の部分に分けて行う。

$I = e n S v$ を $v$ について解くと、 $v = \frac{I}{e n S}$
分母の数の部分は $1.6 \times 8.5 \times 1.0 = 13.6$
分母の $10$ の累乗の部分は $1 0^{- 19} \times 1 0^{28} \times 1 0^{- 6} = 1 0^{3}$ 。したがって $e n S = 13.6 \times 1 0^{3} = 1.36 \times 1 0^{4} C/m$
$v = \frac{3.4}{1.36 \times 1 0 ^{4}} = 2.5 \times 1 0^{- 4} m/s$

ここで間違えやすい　答えがとても小さいので計算ちがいを疑ってしまうこと。1 秒間に $0.25 mm$ しか進まないが、これで正しい。

問 2　導線に $0.80 A$ の電流が流れている。導線のある断面を、 $1.0 s$ のあいだに通る自由電子の数を求めよ。電気素量を $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。

$5.0 \times 1 0^{18}$ 個

方針　電流は「1 秒間に断面を通る電気量」。通った電気量を、電子 1 個の電気量の大きさ $e$ で割ると個数になる。

$1.0 s$ のあいだに断面を通る電気量は $Q = I t$ から、 $0.80 \times 1.0 = 0.80 C$
電子 1 個が運ぶ電気量の大きさは $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$
個数は $\frac{Q}{e}$ なので、 $\frac{0.80}{1.6 \times 1 0 ^{- 19}} = 5.0 \times 1 0^{18}$ 個

問 3　 $0^{\circ} C$ のときの抵抗が $50 Ω$ の銅線がある。銅の抵抗率の温度係数を $4.0 \times 1 0^{- 3} /K$ として、 $75^{\circ} C$ のときの抵抗を求めよ。温度による銅線の長さと断面積の変化は無視する。

$65 Ω$

方針　長さと断面積が変わらないので、抵抗は抵抗率に比例する。 $R = R_{0} (1 + α t)$ に、 $0^{\circ} C$ のときの抵抗とセ氏温度を入れる。

$α t$ を先に計算すると、 $4.0 \times 1 0^{- 3} \times 75 = 0.30$
かっこの中は $1 + 0.30 = 1.30$
$R = R_{0} (1 + α t)$ に入れると、 $50 \times 1.30 = 65 Ω$

問 4　ある電球のフィラメントの抵抗は、 $0^{\circ} C$ のとき $10 Ω$ である。この電球を点灯させて電圧と電流を測ったところ、 $60 V$ で $0.50 A$ であった。フィラメントの金属の抵抗率の温度係数を $5.0 \times 1 0^{- 3} /K$ とし、高温までこの値のまま使えるものとして、点灯しているときのフィラメントの温度を求めよ。

$2.2 \times 1 0^{3}^{\circ} C$

方針　まず、点灯しているときの抵抗を、測った電圧と電流の比で求める。次に、 $R = R_{0} (1 + α t)$ を $t$ について解いて、その抵抗になる温度を求める。

点灯しているときの抵抗は $R = \frac{V}{I}$ から、 $\frac{60}{0.50} = 120 Ω$
$R = R_{0} (1 + α t)$ の両辺を $R_{0}$ で割ると、 $1 + α t = \frac{R}{R _{0}}$ 。値を入れると $\frac{120}{10} = 12$
$α t$ は、12 から 1 を引いた 11
$t = \frac{11}{α}$ なので、 $\frac{11}{5.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 2200$ 。有効数字 2 桁で $2.2 \times 1 0^{3}^{\circ} C$

ここで間違えやすい　点灯しているときの抵抗が、点灯していないときの 12 倍にもなること。電球の抵抗を「一定の値」として扱えないのは、このためである。

問 5　ある電球にかける電圧と流れる電流を測ったところ、次のようになった。電圧 $1.0 V$ で $0.20 A$ 、 $2.0 V$ で $0.30 A$ 、 $4.0 V$ で $0.40 A$ 、 $6.0 V$ で $0.48 A$ 、 $8.0 V$ で $0.55 A$ 。この電球と $15 Ω$ の抵抗を直列にして、起電力 $10 V$ の電池（内部抵抗は無視）につないだ。(1) 電球に流れる電流と、電球にかかる電圧を求めよ。(2) このときの電球の抵抗と消費電力を求めよ。

(1) 電流 $0.40 A$ 、電圧 $4.0 V$ 　(2) 抵抗 $10 Ω$ 、消費電力 $1.6 W$

方針　電球の抵抗は電圧によって変わるので、先に決められない。電球の電圧を $V$ 、電流を $I$ とおいて回路の式を立て、測定値の中から、その式もみたす組を探す（グラフでいえば、電球の曲線と回路の式の直線の交点）。

直列なので、抵抗にも電球と同じ電流 $I$ が流れる。抵抗での電圧降下は $15 I$
電池の起電力は、電球の電圧と抵抗の電圧降下の和に等しい。回路の式は $10 = V + 15 I$ 、つまり $V = 10 - 15 I$
測定値の電流を回路の式に入れて、電圧が測定値と合うものを探す。 $I = 0.30 A$ では $15 I$ が $4.5 V$ で $V$ は $5.5 V$ となり、測定値の $2.0 V$ と合わない
$I = 0.40 A$ では $15 I$ が $15 \times 0.40 = 6.0 V$ で、 $V$ は残りの $4.0 V$ 。測定値の $4.0 V$ と合う
$I = 0.48 A$ では $15 I$ が $7.2 V$ で $V$ は $2.8 V$ となり、測定値の $6.0 V$ と合わない。(1) の答えは $I = 0.40 A$ 、 $V = 4.0 V$
(2) 抵抗は $\frac{V}{I}$ なので、 $\frac{4.0}{0.40} = 10 Ω$
消費電力は $P = V I$ なので、 $4.0 \times 0.40 = 1.6 W$

ここで間違えやすい　電球の抵抗を、ほかの測定値から決めた一定の値（たとえば $1.0 V$ で $0.20 A$ から $5.0 Ω$ ）として計算してしまうこと。電球の抵抗は、かかる電圧ごとに違う。

【発展】自由電子の運動から、オームの法則と抵抗率を導くとどうなるか

自由電子が電界から受ける力と、陽イオンから受ける抵抗力がつり合うと考えると、 $I = \frac{e ^{2} n S}{k L} V$ となって電流が電圧に比例する。抵抗率は $ρ = \frac{k}{e ^{2} n}$

長さ $L$ 、断面積 $S$ の導線の両端に電圧 $V$ をかけると、導線の中に強さ $E = \frac{V}{L}$ の電界ができ、自由電子は大きさ $e E = \frac{e V}{L}$ の力を受けます。一方、自由電子は陽イオンにさまたげられ、平均すると速さ $v$ に比例する抵抗力 $k v$ （ $k$ は比例定数）を受けるとみなせます。2 つの力がつり合って一定の速さになるとすると $\frac{e V}{L} = k v$ なので、 $v = \frac{e V}{k L}$ です。これを $I = e n S v$ に入れると $I = \frac{e ^{2} n S}{k L} V$ となり、電流は電圧に比例します。 $V = R I$ と比べると $R = \frac{k}{e ^{2} n} \cdot \frac{L}{S}$ で、物理基礎で学んだ $R = ρ \frac{L}{S}$ の抵抗率が $ρ = \frac{k}{e ^{2} n}$ と表せたことになります。温度が上がると陽イオンの熱運動が激しくなって $k$ が大きくなる、と考えれば、抵抗率の温度変化ともつながります。