コンデンサーの接続｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋒「コンデンサーの性質を理解するとともに，電気容量を電界や電位差と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

複数のコンデンサーをつないだものは、全体を 1 個のコンデンサーとみなせます。そのときの電気容量が合成容量です。
接続のしかたは並列と直列の 2 つで、「何が共通になるか」が入れかわります。

	並列接続	直列接続（はじめ電荷が無いとき）
共通な量	電位差 $V$	電気量 $Q$
分かれる量	電気量（ $Q = Q_{1} + Q_{2}$ ）	電位差（ $V = V_{1} + V_{2}$ ）
合成容量	$C = C_{1} + C_{2}$	$\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$
合成容量の大きさ	どのコンデンサーよりも大きい	どのコンデンサーよりも小さい
分かれ方	電気量は電気容量に比例	電位差は電気容量に反比例

分かれ目は次の 3 つ。

並列は電位差が共通で、容量はそのまま足す。直列は電気量が共通で、容量の逆数を足す
合成の式の形は、抵抗の合成とちょうど逆。抵抗は直列がそのままの和、コンデンサーは並列がそのままの和
スイッチを切りかえる問題は、どこにもつながっていない部分の電気量の和が変わらないことを使う

1. 並列接続

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

並列接続では、それぞれのコンデンサーの両端が同じ 2 点につながります。だから電位差がどれも同じになります。

コンデンサーの合成容量とは？

接続した複数のコンデンサーを、同じはたらきをする 1 個のコンデンサーとみなしたときの電気容量

全体にかかる電位差を $V$ 、電源から流れこんだ電気量を $Q$ として、 $Q = C V$ をみたす $C$ のこと。

2 つのコンデンサーを並列に接続したとき、共通になる量は何か？

極板間の電位差。どちらのコンデンサーにも同じ電位差 $V$ がかかる

両端が同じ 2 点につながっているから。蓄えられる電気量は $Q_{1} = C_{1} V$ 、 $Q_{2} = C_{2} V$ で、ふつうは等しくない。

電気容量 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ のコンデンサーを並列に接続したときの合成容量 $C$ は？

$C = C_{1} + C_{2}$

全体の電気量は $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1} V + C_{2} V = (C_{1} + C_{2}) V$ 。これを $Q = C V$ と比べる。3 つ以上でも、そのまま足せばよい。

並列に接続したコンデンサーでは、電気量はどんな割合で分かれるか？

電気容量の比に分かれる（ $Q_{1} : Q_{2} = C_{1} : C_{2}$ ）

電位差が共通なので、 $Q = C V$ から電気量は電気容量に比例する。容量の大きいほうに多くたまる。

2. 直列接続

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

直列接続では、コンデンサーが 1 本の道に並びます。あいだにはさまれた部分はどこにもつながっていないので、そこの電気量の和が 0 のまま変わらないことが効いてきます。

電荷を蓄えていない 2 つのコンデンサーを直列に接続して電圧をかけたとき、共通になる量は何か？その理由は？

蓄えられる電気量。2 つのコンデンサーにはさまれた部分は外とつながっておらず、電気量の和がはじめの 0 のままだから

一方のコンデンサーの極板に $- Q$ がたまると、導線でつながったもう一方のコンデンサーの極板には $+ Q$ が現れる。だからどちらも電気量は $Q$ になる。

電気容量 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ のコンデンサーを直列に接続したときの合成容量 $C$ は？

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ （2 個なら $C = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$ ）

全体の電位差は $V = V_{1} + V_{2} = \frac{Q}{C _{1}} + \frac{Q}{C _{2}}$ 。これを $V = \frac{Q}{C}$ と比べる。

直列に接続したコンデンサーでは、電位差はどんな割合で分かれるか？

電気容量の逆数の比に分かれる（ $V_{1} : V_{2} = \frac{1}{C _{1}} : \frac{1}{C _{2}} = C_{2} : C_{1}$ ）

電気量が共通なので、 $V = \frac{Q}{C}$ から電位差は電気容量に反比例する。容量の小さいほうに大きな電位差がかかる。

並列と直列で、合成容量は、もとのコンデンサーの電気容量と比べてそれぞれ大きいか小さいか？

並列の合成容量は、どのコンデンサーの電気容量よりも大きい。直列の合成容量は、どのコンデンサーの電気容量よりも小さい

計算の答えを確かめるのに使える。直列なのに合成容量がもとより大きくなったら、逆数にもどし忘れている。

3. 抵抗の合成との違い

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

合成容量の式は、物理基礎で学んだ合成抵抗の式と、並列と直列が入れかわった形をしています。丸暗記すると取り違えるので、理由と合わせて持っておきます。

合成容量の式と合成抵抗の式は、どういう関係にあるか？

式の形が、並列と直列で逆になる。そのまま足すのは、コンデンサーでは並列、抵抗では直列。逆数を足すのは、コンデンサーでは直列、抵抗では並列

コンデンサーは $Q = C V$ 、抵抗は $V = R I$ で、電位差の付く側が逆になっているから。

平行板コンデンサーの式 $C = ε \frac{S}{d}$ で考えると、並列接続と直列接続は、それぞれ何を変えたことにあたるか？

並列接続は極板の面積 $S$ を広げたことに、直列接続は極板間隔 $d$ を広げたことにあたる

だから並列では容量が増え、直列では容量が減る。同じコンデンサー 2 個なら、並列で 2 倍、直列で $\frac{1}{2}$ 倍になる。

4. 電気量の保存を使う

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

スイッチを切りかえてコンデンサーをつなぎかえると、電荷が移動します。このとき手がかりになるのは、電気量の保存です。

コンデンサーをつなぎかえる問題で、電気量の保存はどの部分に使うか？

導線でつながっているが、電池にも接地にもつながっていない部分（孤立した部分）。そこにある極板の電気量の和は、つなぎかえの前後で変わらない

電荷は導線を通ってその部分の中を移動できるが、外へ出ることも、外から入ることもできないから。和をとるときは、極板の電気量を符号つきで足す。

スイッチを切りかえてコンデンサーをつなぎかえる問題は、どんな手順で解くか？

①切りかえる前の各極板の電気量を符号つきで求める　②切りかえたあとの電位差や電気量を文字でおく　③孤立した部分の電気量の和が変わらない式を立てる　④導線でつながった極板は等電位、という条件と合わせて解く

十分に時間がたつと電流は流れなくなり、導線でつながった部分はどこも同じ電位になる。

電気量 $Q_{1}$ を蓄えた電気容量 $C_{1}$ のコンデンサーと、電気量 $Q_{2}$ を蓄えた電気容量 $C_{2}$ のコンデンサーを、正の極板どうし、負の極板どうしでつないだ。十分に時間がたったあとの電位差 $V$ は？

$V = \frac{Q _{1} + Q _{2}}{C _{1} + C _{2}}$

つないだあとは並列で、電位差が共通になる。正の極板の側の電気量の和が保存されるので $C_{1} V + C_{2} V = Q_{1} + Q_{2}$ 。正の極板と負の極板をつないだときは、分子が差 $∣ Q_{1} - Q_{2} ∣$ になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

問 1　電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサー $C_{1}$ と $3.0 μ F$ のコンデンサー $C_{2}$ を並列に接続し、 $10 V$ の電池につないだ。(1) 合成容量を求めよ。(2) それぞれのコンデンサーに蓄えられる電気量を求めよ。

(1) $5.0 μ F$ 　(2) $C_{1}$ は $2.0 \times 1 0^{- 5} C$ 、 $C_{2}$ は $3.0 \times 1 0^{- 5} C$

方針　並列接続なので、どちらのコンデンサーにも電池の電圧 $10 V$ がそのままかかる。合成容量はそのまま足し、電気量はコンデンサーごとに $Q = C V$ で求める。

(1) 並列の合成容量は $C = C_{1} + C_{2}$ なので、 $2.0 + 3.0 = 5.0 μ F$
(2) どちらにも $10 V$ がかかる。 $C_{1}$ の電気量は $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 10 = 2.0 \times 1 0^{- 5} C$
$C_{2}$ の電気量は $3.0 \times 1 0^{- 6} \times 10 = 3.0 \times 1 0^{- 5} C$
確かめ。合計は $5.0 \times 1 0^{- 5} C$ で、合成容量から求めた $5.0 \times 1 0^{- 6} \times 10 = 5.0 \times 1 0^{- 5} C$ と一致する

問 2　電荷を蓄えていない、電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサー $C_{1}$ と $3.0 μ F$ のコンデンサー $C_{2}$ を直列に接続し、 $10 V$ の電池につないだ。(1) 合成容量を求めよ。(2) それぞれのコンデンサーに蓄えられる電気量を求めよ。(3) それぞれのコンデンサーにかかる電位差を求めよ。

(1) $1.2 μ F$ 　(2) どちらも $1.2 \times 1 0^{- 5} C$ 　(3) $C_{1}$ は $6.0 V$ 、 $C_{2}$ は $4.0 V$

方針　直列接続なので、蓄えられる電気量が共通になる。まず合成容量を求め、全体を 1 個のコンデンサーとみて電気量を出す。その電気量から、 $V = \frac{Q}{C}$ でコンデンサーごとの電位差を求める。

(1) 2 個の直列の合成容量は $C = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$ なので、 $\frac{2.0 \times 3.0}{2.0 + 3.0} = \frac{6.0}{5.0} = 1.2 μ F$
(2) 全体に $10 V$ がかかるので、電気量は $1.2 \times 1 0^{- 6} \times 10 = 1.2 \times 1 0^{- 5} C$ 。直列なので、どちらのコンデンサーもこの値
(3) $C_{1}$ の電位差は $\frac{1.2 \times 1 0 ^{- 5}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 6.0 V$
$C_{2}$ の電位差は $\frac{1.2 \times 1 0 ^{- 5}}{3.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 4.0 V$
確かめ。2 つの電位差を合わせると $10 V$ で、電池の電圧と一致する

ここで間違えやすい　抵抗の直列と同じつもりで $2.0 + 3.0 = 5.0 μ F$ としてしまうこと。直列の合成容量は、どちらのコンデンサーの電気容量よりも小さくなる。

問 3　電荷を蓄えていない 3 つのコンデンサー $C_{1}$ （ $1.0 μ F$ ）、 $C_{2}$ （ $2.0 μ F$ ）、 $C_{3}$ （ $6.0 μ F$ ）がある。 $C_{1}$ と $C_{2}$ を並列に接続し、それに $C_{3}$ を直列に接続して、全体を $12 V$ の電池につないだ。(1) 全体の合成容量を求めよ。(2) $C_{3}$ にかかる電位差を求めよ。(3) $C_{1}$ に蓄えられる電気量を求めよ。

(1) $2.0 μ F$ 　(2) $4.0 V$ 　(3) $8.0 \times 1 0^{- 6} C$

方針　内側の並列部分を先に 1 個にまとめ、それと $C_{3}$ の直列として全体をまとめる。電気量と電位差は、まとめたのと逆の順（全体、直列の 2 つ、並列の中）にほどいていく。

$C_{1}$ と $C_{2}$ の並列部分の合成容量は、 $1.0 + 2.0 = 3.0 μ F$
(1) これと $C_{3}$ の直列なので、全体の合成容量は $\frac{3.0 \times 6.0}{3.0 + 6.0} = \frac{18}{9.0} = 2.0 μ F$
全体に蓄えられる電気量は、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 2.4 \times 1 0^{- 5} C$ 。直列なので、並列部分の全体にも $C_{3}$ にも、この電気量がたまる
(2) $C_{3}$ の電位差は、 $\frac{2.4 \times 1 0 ^{- 5}}{6.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 4.0 V$
並列部分の電位差は、 $\frac{2.4 \times 1 0 ^{- 5}}{3.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 8.0 V$ （ $C_{3}$ の分と合わせると $12 V$ で、電池の電圧と合う）
(3) $C_{1}$ には $8.0 V$ がかかるので、電気量は $1.0 \times 1 0^{- 6} \times 8.0 = 8.0 \times 1 0^{- 6} C$

問 4　電気容量 $3.0 μ F$ のコンデンサー $C_{1}$ を $20 V$ の電池で充電し、電池から切り離した。次にスイッチを切りかえて、電荷を蓄えていない電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサー $C_{2}$ を $C_{1}$ の両端につないだ。十分に時間がたったあとについて答えよ。(1) $C_{1}$ の極板間の電位差を求めよ。(2) $C_{1}$ から $C_{2}$ へ移った電気量を求めよ。

(1) $12 V$ 　(2) $2.4 \times 1 0^{- 5} C$

方針　電池から切り離してあるので、 $C_{1}$ の正の極板と、それにつないだ $C_{2}$ の極板とを合わせた部分は孤立している。この部分の電気量の和が変わらない。つないだあとは 2 つのコンデンサーの電位差が等しくなる（並列）ので、それを $V$ とおいて式を立てる。

切りかえる前の $C_{1}$ の電気量は、 $3.0 \times 1 0^{- 6} \times 20 = 6.0 \times 1 0^{- 5} C$ 。 $C_{2}$ の電気量は 0
つないだあとの共通の電位差を $V$ とすると、電気量は $C_{1}$ が $C_{1} V$ 、 $C_{2}$ が $C_{2} V$
孤立した部分の電気量の保存から、 $C_{1} V + C_{2} V = 6.0 \times 1 0^{- 5}$
(1) $V$ について解くと、 $V = \frac{6.0 \times 1 0 ^{- 5}}{3.0 \times 1 0 ^{- 6} + 2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{- 5}}{5.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 12 V$
(2) つないだあとの $C_{2}$ の電気量は、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 2.4 \times 1 0^{- 5} C$ 。はじめ 0 だったので、これが移った電気量
確かめ。 $C_{1}$ に残る電気量は $3.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 3.6 \times 1 0^{- 5} C$ で、 $C_{2}$ の分と合わせると $6.0 \times 1 0^{- 5} C$ にもどる

ここで間違えやすい　電位差が $20 V$ のまま変わらないとしてしまうこと。電池を切り離したあとに保たれるのは、電位差ではなく電気量である。

問 5　電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサー $C_{1}$ を $30 V$ で、電気容量 $4.0 μ F$ のコンデンサー $C_{2}$ を $12 V$ で、それぞれ充電して電池から切り離した。十分に時間がたったあとの極板間の電位差を、次のそれぞれの場合について求めよ。(1) 正の極板どうし、負の極板どうしを導線でつないだとき。(2) $C_{1}$ の正の極板と $C_{2}$ の負の極板、 $C_{1}$ の負の極板と $C_{2}$ の正の極板を導線でつないだとき。

(1) $18 V$ 　(2) $2.0 V$

方針　どちらの場合も、つないだあとは 2 つのコンデンサーの電位差が等しくなる。導線でつないだ 2 枚の極板は孤立した部分になるので、その電気量の和（符号つき）が保存される。(1) は同じ符号の和、(2) は逆の符号の和になる。

つなぐ前の電気量は、 $C_{1}$ が $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 30 = 6.0 \times 1 0^{- 5} C$ 、 $C_{2}$ が $4.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 4.8 \times 1 0^{- 5} C$
(1) 正の極板どうしをつないだ部分の電気量の和は、 $6.0 \times 1 0^{- 5} + 4.8 \times 1 0^{- 5} = 1.08 \times 1 0^{- 4} C$
つないだあとの電位差を $V$ とすると $(C_{1} + C_{2}) V = 1.08 \times 1 0^{- 4}$ なので、 $V = \frac{1.08 \times 1 0 ^{- 4}}{6.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 18 V$
(2) $C_{1}$ の正の極板（ $+ 6.0 \times 1 0^{- 5} C$ ）と $C_{2}$ の負の極板（ $- 4.8 \times 1 0^{- 5} C$ ）をつないだ部分の電気量の和は、 $6.0 \times 1 0^{- 5} - 4.8 \times 1 0^{- 5} = 1.2 \times 1 0^{- 5} C$
つないだあとの電位差を $V^{'}$ とすると $(C_{1} + C_{2}) V^{'} = 1.2 \times 1 0^{- 5}$ なので、 $V^{'} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{- 5}}{6.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.0 V$

ここで間違えやすい　(2) でも電気量を足して $18 V$ としてしまうこと。正と負の極板をつなぐと、電荷の一部が打ち消しあう。